高中数学-两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE6PAGE《两角差的余弦公式》教学设计一、教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。二、教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式。难点：探索过程的组织和适当引导。三、教学过程yOyOxABαβ任意角的三角函数的定义？若角与的终边与单位圆的交点分别是A，B，则公式探究第一步，明确探究途径与目的提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。如右图，在单位圆中作出角，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，先假设，且，提出以下问题：此时的取值范围是多少？图中哪个角可以表示？可以看作是哪两个向量的夹角？（问题设计目的：在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣。）第二步，复习相关知识（1）向量的数量积运算（强调向量夹角的范围）（2）三角函数线（结合图形，特别要强调方向问题）第三步，推导公式在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标。证明：在平面直角坐标系XOY内作单位圆O，以OX为始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则由向量数量积的坐标表示，有：由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有于是（1）由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性。事实上，只要，所表示的就是向量的夹角。（这一点可以结合图形作出说明。）但是，若，（1）式是否依然成立呢？当时，设与的夹角为，则另一方面，，于是所以也有综上所述，得出公式：对任意的，（说明：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，这样安排，能让更多学生参与到探究当中。教材当中对公式给出了两种证明方法，一是几何方法，一是向量方法。几何方法的推导过程较为繁难，教材仅仅对特殊情况作了分析，而向量方法则显得更加直观和简洁。为了让学生体验向量工具的优点，可以布置学生在预习时按照教材的思路采取几何方法进行证明。）第四步，公式的记忆让学生自己总结公式的特点，便于记忆。注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）；2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；3.式子中α、β是任意的。例题讲解例1利用差角余弦公式求。解：方法一：方法二：（设计意图：此题是对公式的直接应用，体现了角的拆分的思想。拆分的多样性，体现了变换的多样性。求解的过程可以完全由学生独立完成。）思考：如何求？（设计意图：由的值求的值，为后面变换函数种类的思考作出铺垫。）课后练习1例2解题思路：解：由，得又由是第三象限角，得所以=（设计意图：此题是应用、理解公式的基础练习，解此题需要思考使用公式前应作出的必要准备，要作出这些必要的准备，需要运用到同角三角函数的知识。解题时必须强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性。）思考：如果去掉条件中的，对题目和结果有没有影响？课后练习3（设计意图：让学生学习分类讨论的思想，提高表达能力。）例3计算:(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(2)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).变式训练计算:(1)sin80°cos55°+cos80°cos35°;(2)cos80°cos20°+sin100°sin380°.（设计意图：让学生练习公式的逆用）例3已知都是锐角，，求的值。（设计意图：此题是对公式的活用，由学生讨论解决。此题一般有两种方法可以求解。一种方法是把分解，此公式还没推导，但部分学生可能会把看作，然后用两角差的余弦公式分解，再结合同角三角函数的基本关系求解。这种方法虽然较繁，但却让学生在无意当中发现了两角和的余弦公式。另一种方法是把看做两角差，即，这种方法显然计算要简单得多。通过不同方法的讲解，鼓励学生从不同的角度思考问题，并指引学生在考试中选择较为简便的方法解题。）（四）当堂检测1.的值为（C）A.B.C.D.2.的值为（ B）A.B.C.D.3.已知，则的值等于（B）A.B.C.D.4.化简=5.若，则=（五）小结1.两角差的余弦公式的推导（注意向量法的应用）。2.两角差的余弦公式及其特点：3.利用两角差的余弦公式解决简单的求值和证明问题。4.三角函数解题的基本要求:思维的有序性和表述的条理性。（六）作业课后练习2、4学情分析从知识层面来看，学生在之前已经学习了同角三角函数式的变换和平面向量有关知识，具备了进一步学习的基础，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定了解，对两角和与差的三角函数知之甚少。从学生自身来讲，本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期需进一步的提高。结合学生本身，创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力。从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位．体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识．通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神。通过自我评价进行自我诊断、自我反思、自我调整和自我激励，是实现自我提高、自我完善和专业发展的重要途径。现将自己的课堂教学工作做以下评价总结。一、上课前做好准备在上课之前，我细致地分析学生，充分地把握教材，精心地设计教学进程，恰当地选择教学方法，准确地拟定教学目标并对学生多种可能的反映做出预期。实践经验告诉我们，课前准备越充分，教师在课堂上就越能游刃有余，得心应手，否则很容易出现问题甚至出现僵局。二、课堂上有效组织教学有许多的事例可以说明，教学效果不好、教学质量不高，主要是因为教师组织教学的意识不强，组织教学的能力欠佳。教师不仅是教育者，还是管理者。因此平时我注意把组织教学贯穿在课堂的始终，而不仅仅是上课时的一个起始环节。注意整合新颖的教学内容，组织学生的学习活动调整自己的教学计划。从不断追问中提高课堂教学管理能力。三、课堂上充分调动学生主动参与教学是师生共同参与的活动，课堂是师生共同活动(学习、生命成长)的场所，甚至在一定意义上教师的活动是为了引发、引导、指导学生的活动，教师的教是为了建构学生成为学习的主体。所以教师教的重要任务之一是如何让学生认真听讲、主动思维、积极配合、自觉学习。为此，在课堂教学中，我注意关注学生非智力因素的作用，包括激发学生的兴趣，培养学生克服困难的自信心和意志力，调动学生积极的情感因素等，使学生产生学习的渴望和动机，真正实现学生的主体性。四、课堂上尊重、激发、引导学生的学习让学生愿意学习、自觉学习、会学习是课堂教学的核心目标。课堂上我尊重学生的学习，尊重学生学习的个体差异。把握学生是否愿意学；清楚学生是否会学，学习方法是否科学。在课堂上我不失时机、有目的地激发学生学习的内在动机，教会学生正确的学习方法和学习策略。同时课堂教学中我注意避免只关注学生知识的获得而忽视其他方面的片面的绩效观。通过借助教材的文化力量和自己的教育理念，促使学生在知识与能力、理解与沟通、理想与追求、情感与态度诸方面获得良好的自我认识与自我发展。五、课堂上恪尽职守、投入激情了课堂是师生生命成长与延续的场所，课堂充满着责任、充满着希望。学生喜欢的是充满激情的教师，喜欢的是充满活力的课堂。课堂上我善意地对待学生出现的各种问题，以最大的热情投入工作，对教育教学充满激情，让师生共同充满阳光。六、让教学设计在课堂上落实到位教学设计是对教学过程以及教学中可能出现的问题和解决方法的一种事先预设，因此我是精心准备，让它具备合理性和科学性，课堂上力争用这一设计来实施。同时做好教学的课后反思，每一节课下来都要思考一下：教学目标是否实现，教学任务是否完成；重点是否突出，难点是否突破；课堂中出现的新情况，是否应对合理；并找出差距，分析原因，总结经验，吸取教训，以便采取补救措施。现在我正逐渐让自己形成反思习惯，努力提升自身的专业水平，优化自身素养。总之，及时的进行自我评价使我找出了自己的优势和不足，促进了自我教育观念、教学方式的转变，使自己的教学方法更加灵活，提高了课堂教学效益，增强了自我发展意识，促进了科研意识和能力的提高。成就了学生和我的共同发展。教材分析本节内容是教材必修4第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。以前教材曾用余弦定理证明两角和的余弦公式，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。引入向量工具后，新教材选择了两角差的余弦公式作为基础，“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。评测练习一、选择题1．cos165°等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4) D．－eq\f(\r(6)－\r(2),4)[答案]C2．若都是锐角，且，，则的值是()A.eq\f(8\r(2)－3,15)B.eq\f(8\r(2)＋3,15)C.eq\f(－8\r(2)－3,15)D.eq\f(－8\r(2)＋3,15)[答案]B3．cos27°cos57°－sin27°cos147°等于()A.eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)[答案]A4．满足的一组的值是()A． B．C． D．[答案]B5．等于()A．B．C．D．[答案]A6.eq\r(3)coseq\f(π,12)＋sineq\f(π,12)的值是()A．0B．－eq\r(2)C.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)D．2[答案]C7．若，，且都是锐角，则的值为()A．－eq\f(1,7)B.eq\f(1,3)C.eq\f(403,867)D．－eq\f(403,867)[答案]B二、填空题8．已知，θ∈(eq\f(π,2)，π)，则的值为___________．[答案]eq\f(\r(3)－2\r(6),10)9．________.[答案]cosβ10．已知，则等于[答案]－eq\f(π,4)11．已知，，则________.[答案]－eq\f(56,65) 12．已知，则的值为[答案]－eq\f(1,2)三、解答题13．设，若，求的值．[解析]∵，，∴，∴＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).14．已知，且，求的值．[解析]∵，且，∴∴.∴＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).课后反思这节课是一节公式推导，无论是从公式的来历，还是从公式的推导都有些难以把握。我应该怎样来组织教学呢？课前我做了大量的研究：本节课的主要任务是，两角和的余弦公式的推导和简单应用。这节课是本单元的开篇公式，它是后续公式推导的基础，地位十分重要。推导的过程综合运用了解析几何、平面几何、三角函数、代数的恒等变形的知识，体现了数学中数形结合、构造、转化与化归的数学思想和方法，我觉得是培养学生数学素养的良好题材。在教学中因为在前面公式的推导过程中耗时较多，有头重脚轻的感觉。后面的练习时间显得紧张。就教学理念和教学过程我做了深刻的反思：一、

反思教学理念：新课程理念的灵魂是三个教学目标的整合，关注学生的发展。知识可以通过传授获得，技能可以通过训练掌握。态度和情感价值观需要学生参与获得。这样，课堂教学中，要重视学生的参与、体验过程。但老师的指导作用也不可忽视，没有老师的引导，学生的行动、思维就很难达到一个较高的程度。教师通过创设激发学生学习欲望的数学情境，营造积极的活跃的学习氛围，才能使学生参与我们的教学中来。另外在关键之处教师的引导作用更是必不可少的。二、反思教学过程：（一）创设问题情境：针对这节课的课题，从课题分析中提出问题，

教师鼓励学生大胆猜想，并验证。学生学习的积极性得到了充分的调动，思维活跃。俗话说，擒贼先擒王。两角差的余弦公式就是他们中的“王”！我们从两角差的余弦公式研究起。这样，才能使本节知识纳入本单元的知识结构中。（二）两角差的余弦公式的探究过程：分成两部分完成，一是公式的准备工作，有两项，三角函数的定义及向量的数量积的坐标运算公式。可以考虑，直接给出公式，作出合理解释、能套用就行，这样可以节省一些教学时间。其实，在我们解决某些数学问题中常会遇到类似的情况。二是公式的推导步骤。⑴在直角坐标系的单位圆中做出角⑵利用三角函数定义写出