2021-2022学年湖南省常德市桃源县凌津滩乡中学高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省常德市桃源县凌津滩乡中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数，由此能求出3位女生中有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，基本事件总数n==120，3位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数m==72，∴3位女生中有且只有两位女生相邻的概率p==．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．2.设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则＋＝（

）A、3

B、2

C、1

D、0

参考答案：C3.记不等式组表示的区域为，点的坐标为.有下面四个命题：，； ，；，； ，.其中的真命题是（

）A．，

B．，

C.，

D．，参考答案：A4.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18参考答案：D5.已知二次函数，当n依次取时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为（

）A.1

B．

C.

D.

参考答案：B略6.已知集合，集合，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A7.若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．8.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，两条曲线在第一象限的交点记为P，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.已知在上是单调增函数，则的最大值是（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略10.已知=（），直线和点（，0）分别是图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数的单调增区间为（

）A．[，]（）

B．[，]（）C．[，]（）

D．[，]（）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为________．参考答案：略12.已知实数x，y满足则z=的取值范围为．参考答案：[]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：A（2，0），联立，解得B（5，6），z=的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣2，﹣1）连线的斜率，∵，∴z=的取值范围为[]．故答案为：[]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13.给出下列四个结论：①“若，则”的逆命题是真命题；②设，则“或”是“”的充分不必要条件；③函数的图象必过点；④已知服从正态分布，且，则。其中正确结论的序号是_____________。（填上所有正确结论的序号）参考答案：②③①的逆命题为：“若，则”，当时，命题不成立。根据充分条件和必要条件的判断可知②正确。当时，，所以恒过定点，所以③正确；根据正态发布的对称性可知,，所以，所以④错误，所以正确的结论有②③。14.已知，是两个不同的平面向量，满足：，则

．参考答案：

15.已知下列四个命题：（1）等差数列一定是单调数列（2）等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列（3）已知等比数列{an}的公比为q，若,则数列{an}是单调递增数列（4）记等差数列的前n项和为Sn，若，则数列{Sn}的最大值一定在处取到.其中错误的有________（填写所有错误的命题的序号）参考答案：(1)(2)(3)【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式与性质逐个举出反例，或直接推导判定即可.【详解】(1)当等差数列公差时数列不为单调数列，故(1)错误.(2)如等差数列，则前项和，为单调数列.故(2)错误.(3)当数列首项为，公比为2时，数列为为单调递减数列.故(3)错误.(4)，故，.故，.故数列为单调递减的数列，且的最大值在处取到.故(4)正确.综上，(1)(2)(3)错误.故答案为：(1)(2)(3)【点睛】本题主要考查了递增递减数列的性质运用，举反例时一般注意公差与首项等为负数或者0时的特殊情况考虑，属于中档题.16.已知向量共线，则等于

。参考答案：17.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点关于极点的对称点的极坐标是．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，，.（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，求的值.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】（1）根据题意，证明平面，再利用线面垂直的性质定理，得到结论；（2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，求出平面和平面的法向量，利用夹角公式求出，进而得出结论．【详解】（1）由于四边形是正方形，.平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，故；（2）如图，以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，则，则点、、、，，，，设平面的法向量为，由，得，取，则，，，设平面的法向量为，由，得，取，则，，.由条件可得，整理得，，解得.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．19.函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数（xR）是单函数；②若为单函数，且，则；③若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）参考答案：①③略20.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调单调性；（2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围．

参考答案：解：(1)． …………………2分令得 …………………3分（i）当，即时，，在单调递增 ………4分（ii）当，即时，当时，在内单调递增当时，在内单调递减 …………………5分（iii）当，即时，当时，在内单调递增当时，在内单调递减 …………………6分综上，当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减．（其中） ………………………7分（2）当时， 令得 …………………8分将，，变化情况列表如下：100↗极大↘极小↗………………………10分由此表可得， 又 ，故区间内必须含有，即的取值范围是． …………12分21.（本小题满分12分）（如图1）在平面四边形中，为中点，，，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.参考答案：以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，

22.数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项为正，其前项和记为，且，又成等比数列求．参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（3）等比数列基本量的求解是等比