线性代数习题(带答案解析)

第一部分同步第一章行列式一、1．下列排列是5偶排列的是((A)24315(B)14325).(C)41523(D)243512．如果n排列jjj的逆序数是k,排列jjj的逆序数是().12nn21n!(D)n(n1)(B)nk(C)2kk(A)k23.n行列式的展开式中含aa的共有(1112).(A)0(B)n2(C)(n2)!(D)(n1)!00014．00101000(1000).(A)0(B)1(C)1(C)1(D)200105.00100010().1000(A)0(B)1(D)2).2xx111x12中x的系数是(6．在函数f(x)3320x3001(A)0(B)1(C)1(D)2aaa2aaa2aa12，D2aaa2a().111213111311127.若Daa212223a121232122aa2aaa2a31323331333132(A)4(B)4(C)2(D)2aa12a，aka22(8．若11).12aaaka21221121(A)ka(B)ka(C)k2a(D)k2a9．已知4行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次2,5,1,x,x().(A)0(B)3(C)3(D)28743623110.若D(A)11，D中第一行元的代数余子式的和().1411375(B)2(C)3(D)0304011.若D1111，D中第四行元的余子式的和().01005322(B)2(A)1(C)3(D)0xxkx012312.k等于下列(A)1中哪个，次性方程xkxx0有非零解.()123kxxx0123(B)2(C)3(D)0二、填空1.2n排列24(2n)13(2n1)的逆序数是.22．在六行列式中aaaaaa所的符号是325441651326.3．四行列式中包含aa且正号的是2243.4．若一个n行列式中至少有n2n1个元素等于0,个行列式的等于.11105.行列式0101.01110010010000026．行列式.000n1n000aaa111(n1)1n7．行列式aa0.212(n1)a00n1aaaaa3a3a121112131113128．如果DaaaM，Daa3a3a.2122322333121232232223aaaaaa3a313133329．已知某5行列式的5，将其第一行与第5行交并置，再用2乘所有元素，所得的新行列式的.111x111x111x111x111110．行列式.11111111．行列式n.11112．已知三行列式中第二列元素依次1,2,3,其的余子式依次3,2,1，行列式的.123413．行列式D5678，A(j1,2,3,4)D中第四行元的代数余子式，43214j87654A3A2AA.41424344abca14．已知Dcbab，D中第四列元的代数余子式的和.baccacbd123415．行列式D156733446，Aa(j1,2,3,4)的代数余子式，4j4j1122AA，AA.414243441351202n1016．已知行列式D1030，D中第一行元的代数余子式的和100n.4kx2xx01230有零解的充要条件是17．次性方程2xkx.12xxx0123x2xx018．若次性方程.1232x5x0有非零解，k=233x2xkx0123三、算abcdxyxya2a3b2b3c2c3d2d31.;2．yxyx；xyxyabcdacdabdabcxaa11122n201x1axaaa1n2n23．解方程101x4．aax1；x1100；1x1012aaax1123aaaan11123a111101a115.11a1(a1,j0,1,,n)；j2111an111111131b6.112b111(n1)b1111xaaaa122nnbaaaaxa111117.bbaa；8．aaxa;122212nbbbaaaa3x123n122101210000001xxxxx21121n9.xx1xxx2n10.01222;21xxxx1x00000021122nn1n21aa00011aa0011．D011aa0.000011aa011a四、明6a2a12abc111a111．abcd1，明：b2b0.b121c2c21c11d2d2d1dabxaxbcabc111111112．abxaxbc(1x2)abc.2222222abc332abxaxbc33333311113．abcd(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)(abcd).abcd2222a4b4c4d4111a1aa2n4．a1aaa(aa).ji2222nnii11ijnaaan2n2n212naaan1n2nn1115．a,b,c两两不等，明abc0的充要条件是abc0.a3b3c3参考答案一．ADACCDABCDBB二．填空2.“”;3.aaaa1422316.(1)n1n!;1.n;;434.;05.;07.n(n1)(1)aa1n2(n1)a;8.3M;9.160;10.x4;11.(n)n1;12.2;2n11n13.0;14.0;15.12,9;16.n!(1);17.k2,3;18.k7kk1三．算1．(abcd)(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dc)；2.2(x3y3)；n13.x2,0,1;(xa)4.kk15.n1n(a1)(1k6.(2b)(1b)((n2)b);a1);k0k0k7.(1)nnnn8.(xa)(xa);kk(ba);kkk1k1k1n9.1x;10.n1;kk111.(1a)(1aa4).2四.明(略)8第二章矩一、1.A、Bn方，下列各式中成立的是()。(a)A2A2(b)A2B2(AB)(AB)(c)(AB)AA2AB(d)(AB)TATBT2.方A、B、C足AB=AC,当A足()，B=C。(a)AB=BA(b)A0(c)方程AX=0有非零解(d)B、C可逆3.若An方，k非零常数，kA()。(a)kA(b)kA(c)knA(d)knA4.An方，且A0，()。(a)A中两行(列)(c)A中至少有一行元素全零5.A，Bn可逆矩,下面各式恒正确的是()。元素成比例(b)A中任意一行其它行的性合(d)A中必有一行其它行的性合(a)(AB)1A1B1(c)(A1B)TA1B(b)(AB)TAB(d)(AB)1A1B16.An方,A*A的伴随矩,()。(a)(a)A*A1(b)A*A(c)A*An1A3方,行列式A1,A*A的伴随矩,行列式(2A)12A*()。(d)A*An17.(a)287(b)8(c)278(d)827278.A，Bn方矩,A2B2,下列各式成立的是()。(b)AB(c)AB(d)A2B2A，B均n方矩,必有()。(a)AB9.(a)ABAB(b)ABBA(c)ABBA(d)A2B210.An可逆矩，下面各式恒正确的是（）。（a）2A2AT(b)(2A)12A1(c)[(A1)1]T[(AT)T]1(d)[(AT)T]1[(A1)T]Taaaa3aa3aa3a111222321311311232133311.如果Aaaaaaaaaa，A（）。2123a33213122322333aa31100103003100（a）010(b)010(c)010(d)01030100110103113112.已知A220，（）。311（a）ATA(b)A1A*100100113113001A202（c）A001202（d）01031101031113.A,B,C,I同方，I位矩，若ABCI，（）。（c）CBAI（d）BACI（a）ACBI（b）CABI1014.An方，且|A|0，（）。（a）A列初等可位I（b）由AXBA，可得XB（c）当(A|I)有限次初等(I|B)，有A1B（d）以上（a）、（b）、（c）都不15.Amn矩，秩(A)rmn，（）。（a）A中r子式不全零（b）A中数小于r的子式全零I0（c）A行初等可化（d）A秩矩r0016.Amn矩，Cn可逆矩，BAC，()。(a)秩(A)>秩(B)(b)秩(A)=秩(B)(c)秩(A)<秩(B)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定17.A，Bn非零矩，且AB0，秩(A)和秩(B)()。(d)一个小于n，一个等于n(a)有一个等于零(b)都n(c)都小于n)。18.n方A可逆的充分必要条件是((a)r(A)rn(b)A的列秩n(d)伴随矩存在(c)A的每一个行向量都是非零向量19.n矩A可逆的充要条件是((a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例)。(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量性表示(d)任何n非零向量X，均有AX0二、填空1.An方,In0ab位,且A2I,行列式A_______2.行列式a0c_______bc01013.2A020，行列式(A3I)1(A29I)的_______00113224.A，且已知A6I，行列式A11_______31225.A5方，A*是其伴随矩，且A3，A*_______6.4方A的秩2，其伴随矩A*的秩_______ababab11121nababab7.非零矩的秩________21222nabababn1n2nn8.A100矩，且任何100非零列向量X，均有AX0，A的秩_______9.若A(a)15矩，ATA的第4行第8列的元素是_______ij10.若方A与4I相似，A_______11.12KK12_______limK11KK3K121n1221312.lim01_______n0014三、算1.解下列矩方程(X未知矩).223220101320100X211)110X32；2)110011012102；310101B404C2123)X(IB1C)TBTI,其中；121422；1014)AXAXI,其中A0202101；4235)AXA2X,其中A110123；2.An称,且A20,求A.1103.已知A021,求(A2I)(A24I)1.10134120012AA4.A,A,A,A,求1201230001AA1234.341125.A224,求一秩2的方B,使AB0.3362110116.A101,B121,求非奇异矩C,使ACTBC.1107.求非奇异矩P,使P1AP角.112211)A2)A13112201A8.已知三方的三个特征根1,1,2,其相的特征向量依次(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩A.5329.A644,求100.A445四、明1.A、B均n非奇异,求可逆.AB2.Ak0(k整数),求IA可逆.3.a.a,,a数,且如果a0,如果方足A12kkAkaAk1aAaI0,求A是非奇异.1k1k4.n方A与B中有一个是非奇异的,求矩相AB似于BA.5.明可逆的称矩的逆也是称矩.6.明两个矩和的秩小于两个矩秩的和.14

7.明两个矩乘的秩不大于两个矩的秩中小者.8.明可逆矩的伴随矩也可逆，且伴随矩的逆等于矩的逆矩的伴随矩.9.明不可逆矩的伴随矩的逆不大于1.10.明每一个方均可表示一个称矩和一个反称矩的和。第二章参考答案一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.15aa；10.I；12.0；11.i4i8i102.00111001432012三、1.1）、132；2）、23；3）、153；4）、030；12102160164012103860315）、296.1315.012121292.0；3.01012；004.1；000311010113111100112)、211；8.不唯一；6.；7.1）、.111000011223（221001）22100310010031100320100（221003100）442100（23100）（231001）；9..111（231001）（213100）（23100）1第三章向量一、m,12311.,,，,都是四列向量，且四行列式12312n,行列式()123212312(a)mn(b)mn(c)mn(d)mn2.An方，且A0,（）。(a)A中两行（列）对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合3.An方，r(A)rn，在A的n个行向量中（）。(a)必有r个行向量线性无关16(b)任意r个行向量线性无关(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示4.n方A可逆的充分必要条件是（）(a)r(A)rn(b)A的列秩为n（c）A的每一个行向量都是非零向量（d）A的伴随矩阵存在s5.n向量,,,性无关的充分条件是()12s(a),,,都不是零向量12s(b),,,中任一向量均不能由其它向量性表示12s(c),,,中任意两个向量都不成比例12s(d),,,中有一个部分性无关126.n向量,,,(s2)性相关的充要条件是()12s(a),,,中至少有一个零向量s12s(b),,,中至少有两个向量成比例12s(c),,,中任意两个向量不成比例12s(d),,,中至少有一向量可由其它向量性表示12s7.n向量,,,(3sn)性无关的充要条件是()1222(a)存在一组不全为零的数k,k,,k使得kkk012s11sss(b),,,中任意两个向量都性无关12s(c),,,中存在一个向量,它不能被其余向量性表示12s(d),,,中任一部分性无关12s8.向量,,,的秩r,()12s(a),,,中至少有一个由r个向量成的部分性无关12s(b),,,中存在由r1个向量成的部分性无关12s(c),,,中由r个向量成的部分都性无关12s(d),,,中个数小于r的任意部分都性无关12s9.,,,均向量,那么下列正确的是()n12,,,s(a)若kkk0,性相关1122ss12(b)若于任意一不全零的数k,k,,k,都有12s22,,,skkk0,性无关11ss12s(c)若,,,性相关,任意不全零的数k,k,,k,都有1212skkk01122ss,,,s(d)若0000,性无关12s12,,,410.已知向量性无关，向量（）12318

1(a),,,性无关性无关12233441(b),,,12233441(c),,,性无关12233441(d),,,性无关122334411.若向量可被向量,,,性表示，（）12s(a)存在一不全零的数k,k,,k使得k1sskk12s122kss(b)存在一全零的数k,k,,k使得kk12s1122ss(c)存在一数k,k,,k使得kkk12s1122(d)的表达式唯一12.下列法正确的是（）k0，2ss(a)若有不全零的数k,k,,k，使得kk12s112,,,性无关12sss(b)若有不全零的数k,k,,k，使得kkk0，12s1122,,,性无关12ss(c)若,,,性相关，其中每个向量均可由其余向量性表示12(d)任何n1个n向量必性相关是向量(1,0,0)T，(0,1,0)T的性合，=（）13.12(a)(0,3,0)T(b)(2,0,1)T(c)(0,0,1)T(d)(0,2,1)T14.有向量1,1,2,4T，0,3,1,2，T12T53,0,7,14T，1,2,2,0，2,1,5,10，向T34量的极大性无关（）(a),,(b),,212314(c),,(d),,,412512515.(a,a,a)T，1231(b,b,b)T，(a,a)T，(b,b)T，下列正确的是（）12311212,也线性相关;1(a)若,线性相关，则1也线性无关；11(b)若,线性无关，则,,也线性相关；(c)若,线性相关，则11(d)以上都不对二、填空31.若(1,1,1)T，(1,2,3)T，(1,3,t)T性相关，t=▁▁▁12▁。2.n零向量一定性▁▁▁▁关。3.向量性无关的充要条件是▁▁▁▁。,,,(s3)s4.若,,性相关，性▁▁▁▁关。123125.n位向量一定性▁▁▁▁。,,,中任意r个▁▁▁▁的向126.向量,,,的秩r,12ss20

量都是它的极大性无关。向量(1,0,1)T与(1,1,a)T正交，a▁▁▁▁。17.28.正交向量一定性▁▁▁▁。s9.若向量,,,与,,,等价，,,,的秩与12s12t12t,,,的秩▁▁▁▁。12,,,t10.若向量,,,可由向量性表示，12s12tr(,,,)▁▁▁▁r(,,,)。12s12a,1,0,0T，a,1,1,0，311.向量a,1,1,1T的T11223性关系是▁▁▁▁。12.n方A,,,,,A▁▁▁▁.12n123(0,y,1)T，2和是准正交向量，x(x,0,0)T，若13.12和y的▁▁▁▁.14.两向量性相关的充要条件是▁▁▁▁.三、算(1,1,1)T，(1,1,1)T，(1,1,1)T，231.1(0,,)，2T（1）（2）何何12，能由,,唯一地性表示？3，能由,,12性表示，但表达式不唯一？3（3）何，不能由,,123性表示？2.(1,0,2,3)T，(1,1,3,5)T，(1,1,a2,1)T，123(1,2,4,a8)，(1,1,b3,5)T：T4，不能表示,,,的性合？1234（1）a,b何（2）a,b何，能唯一地表示,,,的性合？1234(1,1,0,4)T，(2,1,5,6)T，(1,2,5,2)T，23.求向量13(1,1,2,0)T，(3,0,7,14)T的一个极大性无关，45并将其余向量用极大无关性表示。(1,1,1)T，(1,3,t)T，t何3,,34.(1,2,3)T，性相1212,,3关，t何性无关？12(1,2,0)T，(1,0,2)T，(0,1,2)T准正交化。25.将向量13四、明,,1231.,3,2，性相关。112221312性无关，明,,,2.,,,在n奇数12n1223n1性无关；在n偶数性相关。性无关，明能由3.,,,,性相关，而,,,12s12s,,,性表示且表示式唯一。12s不能由,,1234.,,性相关，,,性无关，求性表示。123234422

s5.明：向量,,,(s2)性相关的充要条件是其中至少有一个向12量是其余向量的性合。,,,中0，并且每一个都不能由前i1个向量性2s16.向量表示(i2,3,,s)，求明：如果向量中有一个部分1is,,,性无关。127.性相关，整个向量性相关。8.是性无关向量，明向量s,,,,0120,,,,也性无关。00102s第三章向量参考答案1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b10.c11.c12.d13.a14.b15.a二、填空1.52.相关3.04.相关5.无关6.性无关7.-18.无关9.相等10.11.性无关12.013.x1,y1214.分量成比例三、解答1.解：xxx311223(1)xxx0123x(1)xx123方程2xx(1)x213111111(3)21其系数行列式A110，方程有唯一解，所以可由,（1）当0,3，A唯一地12,3性表示;11101110（2）当0，方程的增广A11100000，11100000r(A)r(A)13，方程有无多解，所以可由,性表示，12,3但表示式不唯一;2110（3）当3，方程的增广A12131129241213,12,303312r(A)r(A)，方程无解，所以不能由，00018性表示。2.解:以,,,,列构造矩1234111111111210112a1100123a24b31100141a2351a85000b4ab0时，不能表示1且的性合；,,,1234（1）当（2）当a1,b任意时，能唯一地表示的性合。,,,1234121131010211210011013.解：(,),,,05527000004620140001112345,,0212一个极大无关，且,12431245411134.解：,,123t5，1213t,,123当t5,,性相关，当t5性无关。1235.解：先正交化：令1,2,0T11,42=,1T,22155221,1,,1311T,,=13132,,663321122再位化：,0，，305T1,2T2,1,125530301212162,1,6T3363,,3准正交向量。12四、明1.：∵3()4(2)01213∴5343012∴,,3性相关12nn2.：k()k()k()01122231))n(kk(kk(kk0n)1n1122n1n∵,,,性无关12kk01nkk0∴12kk0n1n261001100100其系数行列式01100=1(1)n12,n为奇数0,n为偶数0000001011n∴当n奇数，k,k,,k只能零，,,,性无关；12n12n当n偶数，k,k,,k可以不全零，,,,性相关。12n12性相关s3.：∵,,,,121kk0ss∴存在不全零的数k,k,,k,k使得kk12s122若k0，kkk0，（k,k,,k不全为零）1122ss12s与,,,性无关矛盾12s所以k0于是k1kk22skkk1s∴能由,s,,性表示。12kkk①②1122sslllss1122)))0s①-②得(kl(kl(kl111222ss∵,,,性无关12s∴kl0,(i1,2,,s)ii∴kl,(i1,2,,s)即表示法唯一ii能由,,1234.：假性表示4∵,,性无关，∴,性无关23423性相关，∴可由,23∵,,性表示，1231∴能由,性表示，从而,,性相关，矛盾423234123∴不能由,,性表示。45.：必要性s向量,,,性相关12k02ss存在不全零的数k,k,,k,使得kk12s112kkks1ks2不妨k0，s，s11kks12ss即至少有一个向量是其余向量的性合。充分性,,,中至少有一个向量是其余向量的性合向量12ss1s1kkk不妨s1122kkk0，1122s1s1ss所以,,,性相关。126.：用数学法当s=1，0，性无关，1性表示，∴,12当s=2，∵不能由性无关，2128i1s=i-1，,,,性无关12性相关，性无关，可由is=i，假,,,,,,12i12i1,,,,,,性表示，矛盾，所以i性无关。得12i112,,,（r<s）127.：若向量,,,中有一部分性相关，不妨12sr性相关，存在不全零的数k,k,,k,使得12rk0rrkk1122于是kkk0001122rrr1s因k,k,,k,0，┈，0不全零12r所以,,,性相关。12ss0s8.：kk()k()k()000101202)kkk01122ss(kkkk012s0因性无关，s,,,,012kkkk0012sk0所以解得1k0kkkk02012sk0s0,,,,所以向量性无关。00102s第四章性方程一、1．元n次性方程AX0的系数矩的秩r，AX0有非零解的充分必要条件是（(A)rn(C)rn）(B)rn(D)rn2．A是mn矩，性方程AXb有无解的充要条件是（）(A)r(A)m(B)r(A)n(C)r(Ab)r(A)m(D)r(Ab)r(A)n3．A是mn矩，非次性方程AXb的出AX0，若mn，（）(A)AXb必有无多解(C)AX0必有非零解(B)AXb必有唯一解(D)AX0必有唯一解x2xx4123无解的充分条件是（）4．方程x2x223(2)x(3)(4)(1)3(A)1(B)2(C)3(D)430

xxx11232xx2有唯一解的充分条件是（）5．方程23x43(1)x(3))(1))3(A)1(B)2(C)3(D)4x2xx1123有无解的充分条件是（）6．方程3xx223xx(3)(4)(2)23(A)1(B)2(C)3(D)417．已知,是非次性方程AXb的两个不同的解，,是出122AX0的基本解系，k,k任意常数，AXb的通解是（）12212(A)kk()12(B)kk()1222112121122212(C)kk()12(D)kk()1211212118．Amn矩，下列正确的是（）(A)若AX0有零解，AXb有唯一解(B)若AX0有非零解，AXb有无多解(C)若AXb有无多解，AX0有零解(D)若AXb有无多解，AX0有非零解9．Amn矩，次性方程AX0有零解的充要条件（）(A)A的列向量性无关(C)A的行向量性无关(B)A的列向量性相关(D)A的行向量性相关xxx1123x2x3x0（）12310．性方程4x7x10x1123(A)无解(B)有唯一解(C)有无多解(D)其出只有零解二、填空1.A100矩，且任意100的非零列向量X，均有AX0，A的秩.kx2xx01232.性方程2xkx0有零解的充分必要条件是.12xxx01233.4.X,X,X和cXcXcX均非次性方程AXb的解（12s1122ssc,c,cccc12s常数），.12s若性方程AXb的出与BX0(r(B)r)有相同的基解系，r(A).5.若性方程AXb的系数矩的秩m，其增广矩的秩.性方程.mn6.1015矩的秩8，AX0的解向量的秩7.如果n方A的各行元素之和均0，且r(A)n1，AX0的通解8.若n元次性方程AX0有n个性无关的解向量，A..1211xA23a2,b3,xx，若次性方程AX0只有零解，19.1a22x03a.1211x10.A23a2,b3,xx，若性方程AXb无解，a.11a22x033211.n方A，于AX0，若每个n向量都是解，r(A).54矩A的秩3，,,是非次性方程AXb的三个不同12312.12的解向量，若2(2,0,0,0)T,3(2,4,6,8)T，AXb的通123解.13.Amn矩，r(A)rmin(m,n)，AX0有性无关的解.三、算个解，有个已知,,是次性方程AX0的一个基解系，1231.,,是否是方程的一个基解系？什么？122331543311201056001012262.A，B，已知B的行向量都是12100123203211311111性方程AX0的解，B的四个行向量能否构成方程的基解系？什么？xx03.四元次性方程1）求（Ι）的一个基解系（Ι）：xx012242）如果k(0,1,1,0)Tk(1,2,2,1)T是某次性方程（II）的通解，方程（Ι）12和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，4.a,b何，下列方程无解？有唯一解？有无解？在有解求出全部解（用基解系表示全部解）。明理由。xaxxaxxbx41231231）axxx12）xbxxb2123123xx2x4123xxaxa21235.求一个非次性方程，使它的全部解x1121x1c3c3.(c,c为任意实数)211212x32322136.A，求42一个矩B，使得AB0，且r(B)2。9528参考答案一、1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C二、填空1.1002.k2且k33.14.r7.k(1,1,,1)T（k任意数）8.05.m6.79.a1或310.a111.034

12.(1,0,0,0)Tk(0,2,3,4)T,k任意实数13.无，nr2三、算1.是2.不能3.1）v(0,0,1,0)T,v(1,1,0,1)T2）k(1,1,1,1)T(其中为k任意非零常数)124.1）当a2，无解；当a2且a1有唯一解：（-1a1(1a)2）T；当,,2a2a2aa1有无多解：c(1,1,0)Tc(1,0,1)T(1,0,0)T(其中c为,任c意常数)12122）当b1，无解；当b1且b4有唯一解：（,b(b2)b22b4）,2bb1T；当b4有无多解：b1b1c(3,1,1)T(0,4,0)T(其中c为任意常数)5.9x5x3x51231001121216.5212第五章特征与特征向量一、0011.A010,A的特征是()。100(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102.A101,A的特征是()。011(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,13.(a)|A|1(b)A的特征