福建省宁德市第六中学高三数学理联考试题含解析

福建省宁德市第六中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为

A．

B．

C．3

D.

4参考答案：B．由及图象知：得，由知，由图象知，即，得，又为正整数，故选B2.已知数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（

）A.81 B.243 C.324 D.216参考答案：D【分析】利用项和关系，代入即得解.【详解】利用项和关系，故选：D【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.3.已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（

）A．R

B．

C．

D．参考答案：C由题意得点在圆外，选C.

4.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣ B．∥ C．=2 D．⊥参考答案：A【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．【解答】解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A5.若集合，且，则集合可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（

）A.?

B.C.?

D.参考答案：B7.在等差数列中，前n项的和为，若，则（

）A.54

B.45

C.36

D.27参考答案：A略8.已知向量,的夹角为60°，||=||=2，若=2+,则△为（）

A.

等腰三角形

B.

等边三角形

C.

直角三角形

D.

等腰直角三角形参考答案：C9.已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（）A．﹣2 B．﹣2或0 C．1或﹣3 D．0或2参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程，化简后求出x的值．【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0，解得x=﹣2或x=0，故选B．10.如果复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，则|z|等于（）A．3 B．2 C．3 D．2参考答案：A【考点】A8：复数求模．【分析】由已知条件利用复数代数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出|z|．【解答】解：z====﹣i，∵复数z=（b∈R）的实部和虚部相等，∴，解得b=﹣9，∴z=3+3i，∴|z|==3．故选：A．【点评】本题考查复数的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①②，使得成立；③为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一

点，取得的点到距离大小1的概率为；④在中，若，则是锐角三角形，其中正确命题的序号是 参考答案：①②④.略12.已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC，，若四面体P-ABC的体积为，则该球的表面积为_________．参考答案：13.如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程；正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形上再连接着正方形……如此继续。若共得到31个正方形，设初始正方形边长为1，则最小正方形的边长为

．参考答案：14.设为实数，且，则

。参考答案：答案：4解析：，而

所以，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4。15.已知函数只有两个不等实根，则实数的范围是___________

参考答案：[3,4)16.已知函数定义域为R，满足，当时，则______．参考答案：【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，则为周期函数，由，可得：，，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。17.若实数x，y满足不等式组．若a=4，则z=2x+y的最大值为；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a=．参考答案：7,6.【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．结合不等式组的图形，根据面积即可得到结论．【解答】解：当a=4时，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．作出不等式组对应的平面区域，由，解得，即A（1，1），若不等式组构成平面区域，则必有点A在直线x+y=a的下方，即满足不等式x+y＜a，即a＞1+1=2，由，解得，即C（a﹣1，1），由，解得，即B（，），则三角形的面积S=（a﹣1﹣1）×（﹣1）=（a﹣2）2=4，即（a﹣2）2=16，即a﹣2=4或a﹣2=﹣4，解得a=6或a=﹣2（舍），故答案为：7，6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，，，BC=1，，，E为CD的中点.（1）求证：BC∥平面SAE；（2）求三棱锥S-BCE与四棱锥S-BEDA的体积比.参考答案：（1）证明：因为，，，所以，，在△ACD中，，，，由余弦定理可得：解得：CD=4所以，所以△ACD是直角三角形，又为的中点，所以又，所以△ACE为等边三角形，所以，所以，又AE平面SAE，平面SAE，所以BC∥平面SAE.（2）解：因为平面，所以同为三棱锥与四棱锥的高.由（1）可得，，所以..所以故：三棱锥与四棱锥的体积比为1:4.19.（本小题满分12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定：、、三级为合格等级,为不合格等级.百分制分及以上分到分分到分分以下等级为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照的分组作出频率分布直方图如图所示,样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.（1）求和频率分布直方图中的的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生任选人,求至少有人成绩是合格等级的概率；(3)在选取的样本中,从、两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研,记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：20.已知关于的不等式有解，记实数的最大值为.(1)求的值；(2)正数满足，求证：.参考答案：（1）由绝对值不等式要满足题意，则，解得∴（2）由（1）知正数满足∴21.（本小题满分12分）某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评，考评成绩（满分100分）如下茎叶图所示：(I)若大于或等于80分为优秀学员，80分以下为非优秀学员，根据茎叶图填写下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关？

非优秀优秀总数男

20女

20总数

40

(Ⅱ)若从考评成绩95分以上（包括95分）的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛，求至少有一名男学员参加的概率．

下面的临界值表供参考：参考答案：22.由4个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的