湖南省长沙市田家炳实验中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省长沙市田家炳实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在抛物线y2=2px（p>0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略2.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

A．

B．

C．

D．参考答案：A由三视图可知该三棱锥的侧棱和底面垂直，三棱锥的高为1，底面直角三角形的两直角边分别为2,1，所以三棱锥的体积为，选A.3.函数（其中A＞＜）的图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位参考答案：A略4.为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，故选：C．5.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了如图的折线图.已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（

）A．最低气温与最高气温为正相关

B．10月的最高气温不低于5月的最高气温

C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月

D．最低气温低于0℃的月份有4个参考答案：D6.如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是(

) A．20+8 B．24+8 C．8 D．16参考答案：A考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．解答： 解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，表面积为：2×2+16+8=20+8．故选A．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．7.若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若；

②若；③若；

④若.其中正确命题的个数是（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D.试题分析：对于①，因为，所以直线与平面所成的角为，又因为∥，所以直线与平面所成的角也为，即命题成立，故正确；对于②，若，，则经过作平面，设，，又因为，，所以在平面内，，，所以直线、是平行直线.因为，，∥，所以∥.经过作平面，设，，用同样的方法可以证出∥.因为、是平面内的相交直线，所以∥，故正确；对于③，因为，∥，所以.又因为，所以，故正确；对于④，因为∥，，当直线在平面内时，∥成立，但题设中没有在平面内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论.9.在各项均为正数的数列{an}中，对任意、都有·若则等于 （

）

A．216

B．510

C．512

D．l024参考答案：10.为了得到函数的图像，只需将函数的图像（

）（A）向右平移个单位

（B）向右平移个单位 （C）向左平移个单位

（D）向左平移个单位 参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是直线上的动点，、是圆的两条切线，、是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为

.参考答案：略12.定义在上的函数的图象如下图所示，，，那么不等式的解集是___________.参考答案：13.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于

▲

．参考答案：15π14.已知函数，则的极大值为

.参考答案：15.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

参考答案：16.向量,满足||=2,||=3，|2+|=，则,的夹角为________参考答案：17.直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为，经过其左焦点的直线交椭圆于、两点。（1）求椭圆的方徎；（2）在轴上是否存在一点，使得·恒为常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由。参考答案：（1）设椭圆的方程为由题意，得，解得，所以

---------3分所求的椭圆方程为

---------4分（2）由（1）知假设在轴上存在一点，使得·恒为常数①当直线与轴不垂直时，设其方程为，、由得

-------6分所以，

-------7分·因为·是与无关的常数，从而有，即

--------10分此时·

----------11分②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为、，当时，亦有·

-------13分19.（本小题满分12分）已知等差数列，满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）令（），求数列的前n项和．

参考答案：（1）（2）

略20.（本小题满分12分）某中学对某班50名学生学习习惯和数学学习成绩进行长期的调查,学习习惯和数学成绩都只分良好和一般两种情况，得到的统计数据（因某种原因造成数据缺省，现将缺省部分数据用表示）如下表所示:

数学成绩良好数学成绩一般合计学习习惯良好2025学习习惯一般21合计24

(1)在该班任选一名学习习惯良好的学生，求其数学成绩也良好的概率。(2)已知A是学习习惯良好但数学成绩一般的学生，B是学习习惯一般但数学成绩良好的学生，在学习习惯良好但数学成绩一般的学生和学习习惯一般但数学成绩良好的学生中，各选取一学生作代表，求A、B至少有一个被选中的概率。参考答案：由已知：……………2分（1）从学习习惯良好的学生中任选一人共有25种情况，而数学成绩良好的共有20种情况∴…………4分（2）记A、B至少有一个被选中为事件T记除A外其他学习习惯良好但数学成绩一般的同学分别为除B外其他学习习惯一般但数学成绩良好的同学分别为，则选人所有可能有：

共20个结果

……………6分其中中含,共8个结果………7分

…………8分(3)

………………11分∴我们有99.9%的把握认为“该班学生的学习习惯与数学学习成绩”有关系

………12分21.某企业招聘工作人员，设置A、B、C三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙、丁两人各自独立参加B组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参加C组测试，C组共有6道试题，戊会其中4题．戊只能且必须选择4题作答，答对3题则竞聘成功．（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；（Ⅱ）求参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数的概率；（Ⅲ）记A、B组测试通过的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（I）设戊竞聘成功为A事件，则事件的总数为，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题有种方法，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括两种情况：第一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过；第二种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过，第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过，而丙丁两人都没有通过．再利用互相独立事件的计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4．ξ=0表示甲乙丙丁四人都没有通过；ξ=1表示四人中只有一人通过；ξ=3表示由3人通过；ξ=4表示四人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率计算公式和概率的性质即可得出，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）﹣P（ξ=4）．【解答】解：（I）设“戊竞聘成功”为A事件，而事件A竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为．∴P（A）==（Ⅱ）设“参加A组测试通过的人数多于参加B组测试通过的人数”为B事件，包括三种情况：第一种是甲乙两人都通过，而丙丁两人都没有通过；第二种情况是甲乙两人都通过，而丙丁两人种只有一人通过；第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过，而丙丁两人都没有通过．∴P（B）=+=．（Ⅲ）ξ可取0，1，2，3，4