鸡兔同笼-教师版

鸡兔同笼第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？解鸡兔同笼的基本步骤砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12（只）.显然，鸡的只数就是35-12=23（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数二（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）：（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数二鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）：（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数二鸡兔总数-兔数鸡兔关系：当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二部分：例题精讲【例1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设46只都是兔，一共应有4x46=184（只）脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56；2=28（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46—28=18（只）。【答案】鸡28只，兔18只【例2】动物园里有一群鸵鸟和大象，它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：36；2=18（只），假设鸵鸟和大象一样也有4只脚，则应该有4x18=72（只）脚，多了72—52=20（只）脚，由假设引起的差值：4—2=2（只），则鸵鸟数为20;2=10（只），大象数为18—10=8（头）。【答案】鸵鸟10只，大象8头【例3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208—20x2=168 （只）。这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数（注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同）脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：2+4=6（只），所以梅花鹿的只数是：168；6=28（只），从而鸵鸟的只数是：28+20=48（只）.【答案】鸵鸟48只，梅花鹿28只【例4】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，乘U下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2x36=72（只）脚，可知现在剩下792-72=720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720;6=120（只），鸡有120+36=156（只）.【答案】兔120只，鸡156只【例5】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107x4=428（只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：428-56=372（只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少4+2=6（只）。鸡的只数：372;6=62（只），兔的只数：107-62=45（只）。【答案】兔45只，鸡62只【例6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有只，至少有只。【考点】鸡兔同笼【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4,螃蟹最多为120;4=30（只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为12+1=13（只），只看脚的话，脚最多为8,螃蟹最少为120;8=15（只），所以螃蟹最少为13只。【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只【例7】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【考点】鸡兔同笼【解析】假设都是三轮摩托车，应有3x41=123（个）轮子，少了127-123=4（个）轮子。每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少4-3=1（个）轮子.汽车有4;1=4（辆）；从而求出三轮摩托车有41-4=37（辆），或者假设都是汽车，应有4x41=164（个）轮子，多了164-127=37（个）轮子；所以摩托车有37-（4-3）=37（辆）.【答案】摩托车有37辆。【例8】（10年上外口试题）一张数学试卷，只有25道选择题.做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做对—题，做错—题，没做—题。【考点】鸡兔同笼【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分。78；4>19，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4x19=76（分）；再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4x21-1x4=80（分），超过了78分，所以小明至多做对20道题目；综上，可以断定小明做对了20道题。至此本题转化为简单鸡兔同笼问题。假设剩下5题全部没做，那么小明应得4x20=80（分）。但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做。所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题。【答案】小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题。【例9】大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克。一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400-35x2x12=3560（千克）；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采3560；8=445（千克）；假设都是大猴子，应该每小时采摘15x35=525（千克），比实际多采了525-445=80（千克）。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15-11=4（千克）。因此可以求出小猴子有：80；4=20（只）。【答案】小猴子有20只【例10】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球.如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球.那么箱子里原有红球多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3倍多2。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即3x3+2=11（只）。但是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以可以知道一共取了42;6=7（次）。所以可以知道原来有红球7x15+53=158（只）。【答案】红球有158只【例11】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都曷条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6x18=108（条），所差118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有（118-108）；（8-6）=5（只）蜘蛛。这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1x13=13（对），比实际数少20-13=令7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7；（2-1）=7（只）。【答案】蜻蜓有7只【例12】从甲地至乙地全长45千米，有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米？【考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程45X2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡。把上坡和下坡合并成〃一种〃路程，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的〃鸡兔同笼〃问题。因此平路所用时间是（90-4X21）:（5-4）=6（小时）。单程平路行走时间是6-2=3（小时）。从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是45-5X3=30（千米）。又是一个〃鸡兔同笼〃问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是（6X7-30）：（6-3）=4（小时）。行走路程是3X4=12（千米）。下坡行走的时间是7-4=3（小时）。行走路程是6X3=18（千米）。【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米第三部分：课堂检测【检测1】体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？【考点】鸡兔同笼【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：（24x21-439）^（24-19）=13（件），上衣：21-13=8（件）。【答案】上衣8件，裤子13件【检测2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人.已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【考点】鸡兔同笼【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4x30=120（人），而实际上住了168人。大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）;2=24（间）。【答案】大宿舍有24间【检测3】春风小学3名同学参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了道题。【考点】鸡兔同笼【解析】三人共得87+74+9=170（分），比满分10x10x3=300（分）少300-170=130（分）因此三个人共做错：130-（10+3）=10（道）题，一共答对了30-10=20（道）题。【答案】一共答对了20道题。【检测4】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元/张，乙类票40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同.则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张？【考点】鸡兔同笼【解析】乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为35元/张的同一类门票。容易得到甲类门票售出400-（50x400-15500）；（50-35）=100（张），乙类、丙类各售出（400-100）^2=150（张）。【答案】甲类售出100张，乙类售出150张，丙类售出150张第四部分：家庭作业【作业1】鸡兔共有45只，关在同一个笼子中，笼中共有100条腿。试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有4x45=180（条）腿，比实际多算180-100=80（条）腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80-2=40（只）鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45-40=5（只）兔子。【答案】鸡40只，兔子18只【作业2】100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人？【考点】鸡兔同笼【解析】如全为高年级学生，则只需41X2=82（人），实际100人，100—82=18（人），所以有18组低年级学生，41—18=23（组）高年级学生，高年级学生为23X2=46（人），低年级学生为18X3=54（人）。【答案】高年级46人，低年级54人【作业3】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼【解析】做错（5x20-79）-（5+2）=3（道），因此，做对的20-3=17（道）.【答案】做对了17道【作业4】100个和尚160个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300-160=140（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3-1=2（个），因为140;2=70，故小和尚70人，大和尚100-70=30（人）。【答案】大和尚30人，小和尚70人【作业5】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个？【考点】鸡兔同笼【解析】假设50个油桶都是大桶，则共装油（4x50）=200千克，而这小桶所装油则为0。这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了（200-20）=180（千克），若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少（4+2）=6（千克），所以小桶有：180；6=30（个），大桶有：50-30=20（个）。【答案】大桶有20个，小桶有30个【作业6】一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？【考点】鸡兔同笼【解析】我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30：6=5（份），乙每小时打30^10=3（份）。现在把甲打字的时间看成〃兔〃头数，乙打字的时间看成〃鸡〃头数，总头数是7。"兔〃的脚数是5,"鸡〃的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了。根据前面的公式"兔”数二（30-3X7）：（5-3）=4.5,"鸡”数二7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了