2020年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）

2020年全国硕士研究生考试《数学二》试题（网友回忆版）[单选题]1.当x→0＋时，下列无穷小量最高阶是()。A.INCL（江南博哥）UDEPICTURE\d"/huixue_img/importSubject/c7ae0602bd4349678c6c87f0777bab71.png"INETB.C.D.参考答案：D参考解析：因为故x→0＋时，是x的3阶无穷小；因为故x→0＋时，是x的5/2阶无穷小；因为故x→0＋时，是x的3阶无穷小；因为又故x→0＋时，是x的4阶无穷小；综上，x→0＋时，无穷小量中最高阶的是。故应选D项。[单选题]2.若，则f（x）第二类间断点的个数为()。A.1B.2C.3D.4参考答案：C参考解析：由f（x）表达式知，间断点有x＝0，±1，2因为存在，故x＝0为可去间断点；因，故x＝1为第2类间断点；因，故x＝－1为第2类间断点因，故x＝2为第2类间断点；综上，共有3个第二类间断点。故应选C项。[单选题]3.＝()。A.π2/4B.π2/8C.π/4D.π/8参考答案：A参考解析：故应选A项。[单选题]4.f（x）＝x2ln（1－x），当n≥3时，f（n）（0）＝()。A.－n！/（n－2）B.n！/（n－2）C.－（n－2）！/nD.（n－2）！/n参考答案：A参考解析：由知故又由泰勒展开的唯一性知，f（n）（0）/n！＝－1/（n－2），得f（n）（0）＝－n！/（n－2）。故应选A项。[单选题]5.关于函数给出下列结论①af/ax（0，0）＝1②a2f/axay（0，0）＝1③④正确的个数为()。A.4B.3C.2D.1参考答案：B参考解析：①因，故①正确。②因，先求fx′（0，y），而当y≠0时，不存在；当y＝0时，；综上可知，fx′（0，y）不存在。故a2f/axay（0，0）不存在，因此②错误。③当xy≠0时，，当（x，y）沿着y轴趋近于（0，0）点时，；当（x，y）沿着x轴趋近于（0，0）点时，；综上可知，，故③正确。④当y＝0时，；当y≠0时，，故，则，故④正确。综上，正确个数为3。故应选B。[单选题]6.设函数f（x）在区间[－2，2]上可导，且f′（x）＞f（x）＞0，则()。A.f（－2）/f（－1）＞1B.f（0）/f（－1）＞eC.f（1）/f（－1）＜e2D.f（2）/f（－1）＜e2参考答案：B参考解析：因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，从而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。从而e－xf（x）在[－2，2]上单调递增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故应选B项。由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，选项C错误；由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，选项D错误；对于选项A，因f′（x）＞0，故f（x）单调递增，从而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，选项A错误。[单选题]7.设4阶矩阵A＝（aij）不可逆，元素a12对应的代数余子式A12≠0，a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，A＊为A的伴随矩阵，则A＊x＝0的通解为()。A.x＝k1a1＋k2a2＋k3a3，其中k1，k2，k3为任意常数B.x＝k1a1＋k2a2＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数C.x＝k1a1＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数D.x＝k1a2＋k2a3＋k3a4，其中k1，k2，k3为任意常数参考答案：C参考解析：由A不可逆知，r（A）＜4，又元素a12对应的代数余子式A12≠0，故r（A）≥3，从而r（A）＝3。由可知r（A＊）＝1。故A＊x＝0得基础解系含有3个解向量。因a1，a2，a3，a4为矩阵A的列向量组，则a1，a3，a4可看作A12对应矩阵列向量组的延长组，故a1，a3，a4线性无关。又A＊A＝A＊（a1，a2，a3，a4）＝｜A｜E＝0，故a1，a3，a4均为A^＊x＝0的解。综上，a1，a3，a4为A＊x＝0的一个基础解系，故A＊x＝0得通解为x＝k1a1＋k2a3＋k3a4</sub>，其中k1，k2，k3为任意常数。故应选C项。[单选题]8.设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值－1的特征向量，则满足的可逆矩阵P为()。A.（a1＋a3，a2，－a3）B.（a1＋a2，a2，－a3）C.（a1＋a3，－a3，a2）D.（a1＋a2，－a3，a2）参考答案：D参考解析：a1，a2是A属于特征值1的线性无关的特征向量，即Aa1＝a1，Aa2＝a2，故A（a1＋a2）＝a1＋a2，即a1＋a2也是A属于特征值1的特征向量。设k1（a1＋a2）＋k2a2＝0，即k1a1＋（k1＋k2）a2＝0，由于a1，a2线性无关，故k1＝k2＝0，即a1＋a2，a2线性无关。a3是A属于特征值－1的特征向量，即Aa3＝－a3，因此A（－a3）＝－（－a3），即－a3也是A属于特征值－1的特征向量。可取P＝（a1＋a2，－a3，a2），则P是可逆矩阵，且满足。故应选D项。[问答题]1.（本题满分10分）求曲线y＝x1＋x/（1＋x）x（x＞0）的斜渐近线方程。参考答案：因为从而曲线的斜渐近线方程为y＝x/e＋1/（2e）。[问答题]2.（本题满分10分）已知函数f（x）连续且，，求g′（x）并证明g′（x）在x＝0处连续。参考答案：由f（x）连续且知，。当x＝0时，当x≠0时，当x＝0时，当x≠0时，因为所以g′（x）在x＝0处连续。[问答题]3.（本题满分10分）求f（x，y）＝x3＋8y3－xy的极值。参考答案：因为f′x＝3x2－y，f′y＝24y2－x，联立方程组解得或；故驻点为（0，0）（1/6，1/12）。在点（0，0）处：A＝fxx″（0，0）＝0，B＝fxy″（0，0）＝－1，C＝fyy″（0，0）＝0，AC－B2＝－1＜0，故（0，0）不是极值点。在（1/6，1/12）处：A＝fxx″（1/6，1/12）＝1＞0，B＝fxy″（1/6，1/12）＝－1，C＝fyy″（1/6，1/12）＝4，AC－B2＝4－1＞0，故（1/6，1/12）是极小值点，极小值为f（1/6，1/12）＝（1/6）3＋（1/12）3－（1/6）·（1/12）＝－1/216。[问答题]4.（本题满分10分）设函数f（x）的定义域为（0，＋∞）且满足，求f（x），并求曲线y＝f（x），y＝1/2，及y轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。参考答案：因为（1）所以（2）（1）×2－（2）×x2，得，x∈（0，＋∞）；故旋转体的体积为[问答题]5.（本题满分10分）设平面区域D由直线x＝1，x＝2，y＝x与x轴所围，计算。参考答案：因为所以从而[问答题]6.（本题满分11分）已知，证明：（Ⅰ）存在ξ∈（1，2），使得；（Ⅱ）存在η∈（1，2），使得。参考答案：（Ⅰ）令，有F（x）在[1，2]上连续，且F（1）＝f（1）－e＝－e＜0，，由零点定理，存在ξ∈（1，2），使得F（ξ）＝0，即。（Ⅱ）因为f（x）及lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且，所以由柯西中值定理，存在η∈（1，2），使得，即。[问答题]7.（本题满分11分）已知f（x）可导，且f′（x）＞0（x≥0）。曲线y＝f（x）的图象过原点O，曲线上任意一点M的切线与x轴交于T，MP⊥x轴，曲线y＝f（x），MP，x轴围成面积与△MTP面积比为3:2，求曲线方程。参考答案：设点M的坐标为（x，y），则曲线y＝f（x）经过点M（x，y）处的切线方程为Y－y＝y′（X－x），从而点T的坐标为（x－y/y′，0），故S△MTP＝｜MP｜｜PT｜/2＝y·（y/y′）/2＝y2/2y′由题意知，，即，两边对x求导，得，整理得2yy′2＝3y2y″（1）。由已知，得y（0）＝0，y′（x）＞0，故x＞0时，y（x）＞0，则（1）式可化为y′2＝3yy″/2（2），此方程为可降阶的微分方程，令P＝y′，则（2）式可化为P2＝（3y/2）·PdP/dy，又P＝y′＞0，故由P＝（3y/2）·（dP/dy），解方程，得lnP＝2lny/3＋C1，则P＝C2y2/3，其中。即有y′＝C2y2/3，分离变量，得dy/y2/3＝C2dx，两边积分，得3y1/3＝C<su<sup="">b>2x＋C<sub>3（x＞0）。因y（0）＝0，又y＝f（x）在x＝0处连续，故，得C3＝0，故3y1/3＝C2x，即y＝（C2ub>/3）2x3。令C＝（C<sub>2/3）2＞0，得y＝Cx3（x＞0），C为大于0的任意常数。[问答题]8.（本题满分11分）设二次型f（x1，x2，x3）＝x12＋x22＋x32＋2ax1x2＋2ax1x3>＋2ax<sub>2x3经可逆线性变换化为二次型g（y1，y2，y3）＝y12＋y22＋4y32＋2y1ub>y<sub>2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求可逆矩阵P。参考答案：（Ⅰ）设二次型矩阵为A，则，f经过可逆线性变换X＝PY化成g（y1，y2，y3）＝y12＋y22＋4y32＋2y1ub>y_{2，即记，则PTAP＝B，故A与B合同，从而r（A）＝r（B）。易知r（B）＝2，故｜A｜＝（2a＋1）（1－a）2＝0，解得a＝－1/2或1，又a＝1时，r（A）＝1排除，故a＝－1/2。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x1，x2，x3）＝x12＋x22＋x32―x1x2―x1x3―x2x3＝（x1―x2/2―x3/2）2＋3x22/4＋3x32/4－3x2x3}/2＝（x1―x2/2―x<sub>3>/2）2＋3（x2－x<sub>3）2/4令，即，则f＝z12＋z2sub>2。记，则。又g（y1，y2，y3）＝y12＋y22＋4y32＋2y1y2＝（y1＋y_{2ub>）2＋4y3}2，令即则f＝z12＋z2sub>2。记，则。因此P1TAP1＝P2TBP2，则（P2T）－1P1TAP<sub>1P₂－1＝B，可取则P为所求得可逆矩阵。[问答题]9.（本题满分11分）设A为2阶矩阵，P＝（α，Aα），其中α是非零向量，且不是A的特征向量。（Ⅰ）证明P为可逆矩阵；（Ⅱ）若A2α＋Aα－6α＝0，求P－1AP并判断A是否相似于对角阵。参考答案：（Ⅰ）若α与Aα线性相关，则α与Aα成比例，即有Aα＝kα。由于α是非零向量，故根据特征值、特征向量的定义知，α是A的属于特征值k的特征向量。与已知矛盾，故α与Aα无关，从而P可逆。（Ⅱ）由A2α＋Aα－6α＝0知，A2α＝－Aα＋6α，则记，则有A＝PB，得P－1AP＝B，故A与B相似。因为，可知，B的特征值为λ1＝－3，λ2＝2。故A的特征值也为λ1＝－3，λ2＝2。因此A可相似对角化。[填空题]1.已知，则d2y/dx2t＝1＝()。参考答案：参考解析：因为故[填空题]2.＝()。参考答案：参考解析：交换积分次序，得[填空题]3.设z＝arctan[xy＋sin（x＋y）]，则dz（0，π）＝()。参考答案：（π－1）dx－dy参考解析：因为从而故dz（0，π）＝（π－1）dx－dy。[填空题]4.斜边为2a的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为()。参考答案