2021福建南平高三数学高考第二次模拟检测试题含答案

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2021福建南平高三数学高考第二次模拟检测试题含答案

南平市2021年高中毕业班第二次质量检测

数学试题

?：本试卷共六页.考试时间120分钟.满分150分.

：注意事项：

：1.答卷肺，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；

墨2.回答选择题而，选出每小题答案后，用2B铅箱把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡

：上.写在本试卷上无效.

：3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

：第I卷

：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

:选项中，只有一项是符合题目要求的.

金1.设集合/={2,3,4},集合8=卜卜2-3丫+用=。}.若/|"|8={2},则B*

jA.{1,-2}B.{l,0}C,{1,2}(S'.{1,3}

i2.复数Z满足Z=i,则复平面上表示复数z的点位于

•Z

A.第一或第三象限B.第二或第四象限C.实轴D.虚轴

i3.函数/(x)=m^cosx的图象的大致形状是

出

数学试题第1页(共6市)

4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、

三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭陶式建筑.如图所

示，某园林的亭阁建筑为六知攒尖顶，它的屋顶轮廊可近似看

作一个正六楂锥，设正六楂锥的侧面等腰三角形的顶用的2a,

则该正六棱锥底面内切圆半径与侧梭长之比为

A.>/3sinaB.百cosaC.2sinaD.2cosa

5.克劳德•香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大

的贡献.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wbgz]+需)它表示：

在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽力、信道内信号的平均

功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中❷叫做信噪比.按照香农公式，

N

若不改变带宽力,而将信噪比g从1000提升至4000,则C大约增加

N

A.10%B.20%C.30%D.50%

6.过点尸(2,1)的直线/与函数/(x)=3的图象交于1，8两点，。为坐标原点，

x-2

.—>—>—>

贝“。4+08>0尸=

A.石B.275C.5D.10

7.某企业计划加大技法力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设

备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进

行了抽样调查：，________________________________________

A品牌的使用年限23.45

概率0.40.30.20.1

B品牌的使用年限2345

概率0.10.30.40.2

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析：

A.不更换设备B.更换为A设备C.更换为B设备D.更换为A或B设备均可

数学试题第2页(共6页)

9/A

8,设函数/(x)=(x-l)e",若关于x的不等式/卜)＜内-1有且仅有两个整数解,

则实数。的取值范圉是

/,“,c2l(,e2+llfe2+l2eJ+l-

A.㈠e]B.[叼C,[1.—]D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设耳，鸟分别是双曲线C:上-----=1的左、右焦点，且周=8,

s+fs-

则下列结论正确的是

A.5=8B.f的取值范围是(-8,8)

C.耳到渐近线的距离随着，的增大而减小D.当/=4时，C的实轴长是虚轴长阳3倍

22

10.己知。＞0,b＞ota^b-ab=2»则下列不等式恒成立的品

A.V2B.ab^2C.Q+6M2/D.

ab

11.己知函数/(x)=sin(@r+?)与函数g(x)=cos(2x+6)有相同的对称中心，

6

则下列结论正确的是

A.若方程用=/(x)在XW0,彳上有两个不同的实数根，则,"取值范围是l.lj

B.将函数|/(x)|的图象向右平移四个单位，会与函数|g(N)|的图象16合

2

C.函数/(x)的所有琳点的集合为{x|x=^+**ez}

D.若函数g(x)在[0,二]上单纲递减，则8=4+2痴,ArwZ

6J

数学试题第3页(共6页)

3/6

12.在菱形/BCD中,AB=2.Z.ABC=60,.将菱形/SCO沿对角线/C折成大小为

。侬w（0:180。）的二面由B-AC-D.四ifil体ABCD内接于球。，下列说法正确的提

A.四面体48CD的体枳的地大似是113,无论8为何值，都有48J.OG

C.四面体HBCD的表面积的改大值烛4+2万D.当。=60°时，球。的体积为受史

-81

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.请写出与曲线f（x）=x'+l在点（0,1）处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的

解析式为g（x）=.

14.过抛物线C：/=2px（p>0）焦点尸除直线/交C于48两点，点/在第一象限，

若|"|=3|BF|,则直线/的倾斜角为.

15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），

在数学、物理、化学、生物、计算:机等学科有特长的学生入世2021年福建省中学生“英

才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养现有4名数学特长生可从3

位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养

方案有种..（结果用数字作答）

16.在平面直角坐标系中，定义尸（%,乂）、。（必,外）两点间的

直角距离为或尸,。）=|再-X?|+认-力|，如图万己是圆（一~J

/i:（x-l）2+/=1当时的一段弧，。是死与X轴（1v.

的交点，将团依次以原点。为中心逆时的旋拽60•五次，\|

得到由六段圆弧构成的曲线.则d（C,O）=」；

若点尸为曲线上任一点，则d（O,P）的地大他为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步哪

17.（本小题满分10分）

同

在①2ccos8=2a-6,②△ABC的面积为宁（/+/_c?）,

③cos之4-cos?C=sin?6-sin%sin〃，这三个条件中任地—补充在下面的同脚

中，井加以解答.（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）

数学试题第4页（共6页）

4/6

已知aABC的内角A,B,C所对的边分妫是a,b,c,且

(1)求角C的大小；

(2)若c=2且4sin/sin8=3,求△ABC的面积.

18.(本小题满分12分)

已知数列｛q,｝的前n项和为S“，且满足S*+”=2a"("eV).

(1)证明：数列｛q,+l｝是等比数列;

(2)设瓦,求数列也｝的前”项和71

19.(本小题满分12分)

如图，己知四边形/CDE为菱形，NCDE=60、AC1BC,

F是OE的中点，平面48Cn平面8OE=/.

(1)证明：/，平面8(7尸；

(2)若平面48CJ■平面4CZ)E,AC=BC=2.

求4E与平面BDE所成角的正弦值.

20.(本小题满分12分)

一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的亚大科技进展都与数学息

息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发

的Sing/e兄4NJX法在部署5G基站时可以把原来的4G、3G基站利用起来以节省开支,

华为创始人任正非将之归功于“数学的力fit”.近年来，我国加大5G基站建设力度，基

站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村.

(1)现抽样调查英市所新的A地和B地5G基站覆盅情况，各取100斤利，

调查情况如下表：____________________

己覆盖未覆盖

A地2080

B地2575

视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村,

求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地多的概率；

(2)该市2020年己建成的5G基站数y与月份x的数据如下表:

X1234.56789101112

y283340428547701905115114231721210926013381

数学试题第5页(共6页)

5/6

探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随趋凌情

得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据故点图分析，已建成的5G基站数呈现

先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型y=aebx拟合比较合理，谓结合参

考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程.(b的值粕确到o.oi).

附：设〃=lny则叫ulny,,(|=1,2,--,12)1*1299.17,u»6.88,

£(X,-X)2=143,Z(Xf-x)(M->)=37238.^(x(-x)(u(-u)«32.42

2Ml/«!

对于样本(x“M),C=L2,…,，本的线性回归方程J=6x+a有

.力(X,-可(M-力__

b=-----------------，a=y-.x・

却-灯

/-I

21.(本小题满分12分)

已知点尸(、历，&)在椭圆C：p-4-p-=l(a>6>0)上，且椭圆C的离心率为正,

若过原点的直线交C于48两点，点力在第一盆限，4DJLx轴，垂足为。，连接8。

并延长交C于点E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：ABLAE.

22.(本小题满分12分)

I7

己知函数/(x)=(x-4)e*-'-万/+3丫-万，g(x)=ae"+cosx.其中aeR.

(1)讨论函数/(x)的单调性，并求不等式/(x)>0的解姒

(2)若。=1，证明：当x>0时，g(x)>2i

(3)用”}表示如〃中的岐大他设函数/i(x)=，"ox{/(x),g(x)},

若〃(x)NO在(0,+8)上恒成立，求实数a的取值范围.

数学试题第6页(共6页)

南平市2021年高中毕业班第二次质量检测

数学试题出题意图

（满分：150分考试时间：120分钟）

第I卷

一、单项选择题，本题共8小题，每小题S分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合力={23,4},集合8={#2-38+〃?=0}.若工08={2},则8=

A.{1,-2}B,{l,0}C,{1,2}D.{l,3}

【答案】C

【答题分析】由月口8={2}得2e5,即x=2是方程/-3x+m=O的根，所以m=2.

B={1,2}故选C.

【考查意图】本小题考查交集运算和一元二次方程的求解，元素与集合的关系，考查运算求

解能力,体现方程思想和数学运算素养，属基础题.

2.夏数N满足三=i,则复平面上表示复数z的点位于

A.第一或第三短限B.第二或第四象限C.实轴D.虚仲

【答案】B.

【答题分析】设复数z="+加,旦zw0（a,6w0）,则了=0-4（冬因

za-bi

为一=3所以----=/.即a-bi=-b+ai.所以a^-b.

za+6i

所以复数z的点在直线y=-、上（扣除原点）,故选B.

【考查意图】本小题考查复数除法运算、复数的几何意义以及共甄复数的概念，考杳运算求

解能力,考察数形结合思想，考察数学运算、直观想象核心素养,属于基础题.

3.函数/•（x）=/「cosx的图象的大致形状是

1/20

2,-11-2,

/(-x)=y^r8s(-x)=•cosx=-cosx=-/(x).

2r+l1+2,

则函数/(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B,C,

当》>0,且XTO,/(X)<0,排除A,故选D.

【考查意图】本小题以函数图像为载体，考查函数的图像与性质等基础知识，考查了数形结

合思想，渗透了直观想象数学素养，属基础题.

4.攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、

三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑.如图所

示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看

作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2a,

则该正六棱铢底面内切圆半径与侧梭长之比为

A.右sinaB.y/icosa

C.2sinaD.2cosa

【答案】A

【答题分析】如图，正六边形是正六棱推的底面，等腰三角形是正六棱惟的侧面，设便I校

SA=SB=b,底面边长月8=。，底而内切圆半径OC=r,ZASB=2at

则△0/3是等边三角形，，・=asin6(T=正。，侧面

△5R8中，a=2/ysina,

2/20

/.r=Lisina»即：=J^sina.故选：A

b

【考查意图】本小题以正六棱锥为载体，考查正六梭锥的侧棱长、正六边形内切圆等基础知

识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算、直观想象核心素养,体现基

础性和应用性.

5.克劳德•香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的

贡献.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=/log\l+它表示：在受

噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S.

信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中77叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽少,

N

而将信噪比老从1000提升至4000,则C大约增加

N

A.10%B.20%C.30%D.50%

【答案】B.

(答题分析】设G=%log?1001，G=%log24001,则Q-G=log/OOl-log—OOl,

C{log21001

=臂嘿;-1alo810004000-1=(log4+1)-1=,Ig2

lOg?1Uv110003

1121122

又一二lgl(PvIg2vlgl(P=£,-<-lg2<--,故选B.

43639

【考查意图】本小题以对数函数为载体，考查对数运算和数值估算等基础知识，考查运算求

解能力，考察转化与化归的思想，考查逻辑推理核心素养，体现基础性.

6.过点尸(2,1)的直线/与函数/'(x)=/j的图象交于4,B两点，。为坐标原点，

x-2

.—>—>"»

则(04+03)•。尸=

A.y/5B.2A/5C.5D.10

【答案】D

【答题分析】

y(x)=—；=―z+1-函数/(x)的图象关于点p对称，

3/20

直线/与函数/（X）的图象交于X,B两点时,得出0,B两点关于点P对称.则有

次+砺=物,于是（a+无＞赤=2/2=2'（2、12）=10.故选D.

【考查意图】本小题以平面向量为载体，考查函数图像的对称性，平面向量的数量积的运算

等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合、化归与转化思想，考查数学运算、数学抽

象核心素养，体现基础性和综合性.

7.某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择.A品牌设

备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了

抽样调查：

A品牌的使用年限2345

概率0.40.30.20.1

B品牌的使用年限2345

概率0.10.30.40.2

更换设备技改后每年估计可增加效益100万元.从年均收益的角度分析：

A.不更换设备B.更换为A设备C.更换为B设备D.更换为A或B设备均可

【答案】C.

【答题分析】设更换为A品牌设备使用年限为X，则

£,（A,）=2x0.4+3x0.3+4x0.2+5x0.1=3年.

更换为A品牌设备年均收益为3x100-60=240万元；

设更换为B品牌设备使用年限为，，则

E（y）=2x0.1+3x0.3+4x0.4+5x0.2=3^.

更换为B品牌设备年均收益为3.7x100-90=260万元.

所以更换为B品牌设备，选C.

【考查意图】本小题以投资决策问题为载体，考杳随机变量分布列、数学期电等基础知识.

考查运算求解能力,考查转化与化归思想，考查数学运算、数据分析、逻辑推理核心素养•

体现基础性和综合性.

8.设函数/（刈=（力-1）©”,若关于久的不等式/（刈＜如-1有且仅有两个整数解，则实数。

的取值范围是

A/nn

,,e1!(,eJ+llfc2+l2c1+1'

A-I，e21]B./句C.D.[-y~,一

【答案】D.

【答题分析】•••f(x)=(x-l)ex,f(.r)=.re*,令，(x)=0,得x=0,列表如下:

所以，函数N=/(x)的单调递减区间为(YO,0),单调递增区

间为(0,+8).

则函数y=/(x)在x=0处取得极小值，且极小值为

/(0)=-1,如图所示：

当。＞0时，若关于x的不等式/(*)＜衣-1有且仅有两个整数

/(2)<2<?-1解得土至

解，则1＜.4±1：

/(3)S:3«-123

当a＜0时，由于直线，=QX-1与乩轴的负半轴交千点,

当时，关于X的不等式/卜)＜今-1有无数个整数解，不合乎题意.

a

fl+e22?+1

综上所述，实数。的取值范困是[丁‘丁

故选：D.

【考查意图】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，利用导数工具研究函数的

单调性、极值、最值及变化趋势，考查数形结合思想的应用，菰含运动变化和分类整合思想，

考查学生逻辑推理能力以及运算求解转化能力

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.设耳，耳分别是双曲线。：二匚-21=1的左、右焦点，且阳耳|=8,则下列结论正

s+ts-l

确的是

A.5=8B./的取值范围是(-8,8)

5/20

C.片到渐近线的距离随着，的增大而减小D.当，=4时,C的实轴长是虚轴长的3倍

【答案】A.B.C.

【答题分析】因为C2=S+，+S-/=2S=16,所以S=8,故A正确；

f5+r>0,“

因为双曲线焦点在X轴上，由《八且5=8,得/的取值范围是（一8,8）,故B正确;

[sT>0,

因为耳到渐近线的距离等于虚半轴长为通二7,其在，e（-8,8）上单调递减,故C正确；

当，=4时，C的实轴长为《n，虚轴长4.C的实轴长是虚轴长的倍，故D错误.

【考查意图】本小题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质等基础知识，考登数学运算求

解能力，考查数形结合思想，考有直观想象核心素养，体现基础性.

10.己知a>0.b>0,-“6=2.则下列不等式恒成立的是

A.-+-^42B.ab<>2C.a+6420D.a2+ft2^4

ab

【答案】B,C.

【答题分析】

对于A,B,由a>0,6>0,利用基本不等式〃22ab，可得。6+2224>,解得面42.

又+（当且仅当0=6=时，等号成立）,而。642，所以所以

-+7^72,故B正确，A错误；

ab

对于C,由a>0.b>Q,利用基本不等式色网-，变形，+从-。6=2得

4

（0+6）2-2=3”任3（。：江（当且仅当。=6=0时，等号成立），解得（。+6）?48,

即。+642J5，故C正确；

对于D,由。>0,6>0,利用基本不等式abS仁叱化简〃+/-。6=2得

2

6/20

22

-2=a6W—(当且仅当a=6=J5时，等号成立)，

解得/+/44,故D错误；

【考查意图】本小题以基本不等式为载体，考查基本不等式的应用等基础知识，考查运算求

解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现基础性和综合性.

<jr

11.己知函数f(x)=sin(s+—)与函数g(x)=8s(2x+6)有相同的对称中心，

6

则下列结论正确的是

A.若方程=在xe［O,工］上有两个不同的实数根，则加取值范围是

一4」L2)

B.将函数I/(x)|的图象向右平移二个单位，会与函数|g(x)|的图象重合

2

C.函数f(x)的所有零点的集合为{x|x=g+芸ez}

D.若函数g(x)在［0,£)上单调递减，则。=至+2左匹左eZ

63

【答案】B,D.

【答题分析】易知G=2

当xw0,£时，2x+—€—,<(0)=—»/1令j峙邛

L4J6|_63」2

当xe0弓时，/(X)单调递增，当时,/(X)单调递减，

若方程/〃=/(k)在xw［0,工］上有两个不同的实数根,则/(小怜1)

_4_

zwe—,1I,故A错误；

因为函数/'(x)与函数g(x)有相同的对称中心，所以f(x)=g(x)或/(x)=-g(x)

即l/(x)l=lg(x)l，I周期为g，故B正确；

由sin(2%+C)=0,2x+^=%r,得x="-Z,2eZ,故C错误；

66212

若函数g(x)在［0,£］上单调递减，又函数/(x)=sin(2x+£)在［0,口上单调递增，所以

66

g(x)=-f{x},即cos(2x+6)=_sin(2x+2)=8s—+(2x+—)cos2x+^.所

6|_26

以e=与+2br,£eZ,故D正确.

【考查意图】本小题以正余弦函数为威体，考查三角函数图象与性质等基础知识，考查运算

求解能力，考查转化与化归思想，考查数学运算、直观想象核心素养，体现基础性和综合性.

12.在菱形4BCD中，AB^2,乙4BC=6(r，格菱形4BCD沿对角线ZC折成大小为

，(0・<。<180')的二面角四面体4BCD内接于球。，则下列说法正确的是

A.四面体4BC。的体积的最大值是1B.无论。为何值，ABA.DC

C.四面体血。的表面积的最大值是4+24D.当0=60*时，球。的体积为必叵巴

81

【答案】ACD

【答题分析】对于A选项，-.AC=AB=2.ZABC=6Q'.则/MB。为等边三角形，

取4c的中点E,则BEJ_ZC,同理可知，A4C。为等边三角形，故AE_LXC,

且8E=Z)E=2sin60・=BS^BC=^AC-BE=yf3,

设二面角的平面角为9=N3ED.设点。到平面4BC的距离为d,

则1=。£4!18=6疝。，匕44c=；55金.=卜6*/'sinensinevi,

当且仅当e=90•时，等号成立,即当8=90"时，四面体4B8的体积的最大值是1，

故A正确；

对于B选项，取中点尸，连接若4BJLGD,因为4BlCF,C£>nCF=C,所

以4B_L平面COF,从而•!■£>"£用=94,而。不一定相等，故B错误；

对于C选项，SN8==6，

•;AB=AD=BC=CD,BD=BD，;.^ABDw4CBD，

所以，S&6D=S&UD=5,姐ADsinZLBAD=2sinZJ3ADW2,

因此，四面体.488的表面积的最大值是2xJ5+2x2=4+2石，C选项正确：

对于Dii项，设M、N分别为△46C、△4CD的外D

心，则EN=EM」BE=®，/\

33/：\

在平面BDE内过点A/作BE的垂线与过点N作DE的//〃\

垂线交于点0,帆啜£\

•：BE±AC,DEA.AC,BEc22F=E,■平/场‘\''、、、、

面BDE,//^-泣

•••CW/u平面BDE,••.OWDC,

,：OMLBE,3fcHC=E,.•.OW_L平面血，同”

理可得ONJ■平面48,

则。为四面体.4BCD的外接球球心，

连接OE,,:EM=EN,OE=OE.4)ME=/ONE=笺，：.4OME三△ONE、

•••/ICJ■平面BDE,。£<2平面8£史，:。""14(7,

.0=。。炉+松二叵,即理。的半径为R=巫，

33

因此，球。的体积为1/=±万川=空叵万，D选项正确.

381

故选：ACD.

【命题意图】本小题考查平面图形的翎折问题，空间多面体的体积、表面积的最值问题、外

接球的体积的求法以及直线的位置关系的判定，考查空间想象能力及读图能力，考查直观想

象、运算核心素养，体现基础性、应用性和综合性.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.请写出与曲线/(x)=P+l在点(0」)处具有相同切线的一个函数(非常数函数〉的解析

式为g(x)=.

【答案】答案不唯一，8(》)=犬+1或g(x)=-x2+］或g(x)=8SX等.

【答题分析】曲线/'(x)=.d+l在点(0,1)处的切线方程为y=l,所有在点(0,1)处的切线方

程为j，=l的函数都是正确答案.

【考查意图】本题以曲线的切线为载体，考查函数图像在某点处的切线等基础知识，考金运

算求解能力，考有数形结合、化归与转化思想，考查数学直观核心素养,体现基础性、综合

性.

14.过抛物线C：V=2px(p>0)集点尸的直线/交C于48两点.点力在第一象限・若

|必=3忸尸则直线/的倾斜角为___________.

【答案】60-.

【答题分析〕

过a8作44：BB'垂直准线x=-§,垂足为《5',过B作/w垂线,垂足为C,由抛

物线定义知15用=|BB'|,|AAI.\BF\=-\AB\.

4

所以|/1C|=⑷卜阿'卜\AF\-\BF\=2|阴=；|回,

又因为反?_L44',所以^BAC=60v即直线/的倾斜角为60°.

【考吉意图】本题以抛物线为载体，考查过焦点的弦长，焦点弦的性质,直线倾斜角等基础

知识,考查运算求解能力，考查化归与转化思想,考面逻辑推理核心素养,体现基础性、综

合性.

15.福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”).

在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才

计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养.现有4名数学特长生可从3位数

学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案

有种.(结果用数字作答)

【答案】54.

【答题分析】分两类，孥■段+岑％=54.

用段

【考查意图】本题以实际问题为载体，考查分组分配的排列组合等基础知识,考查运算求解

能力，考查数学运算核心素养,体现基础性、综合性.

10/20

17/27

16.在平面直角坐标系中，定义尸(%,乂)、两点间

的直角距离为d(P,O)=^xi-x2\+\y-y1\,如图8c是圆

交点，将8C依次以原点。为中心逆时针旋转60•五次，得到、

由六段圆孤构成的曲线.则或C,Q)=：若点尸为曲卜一“

线上任一点，则d(O,P)的最大值为.

［答案］土星J+省+2近

22

【答题分析】如图可得，点叫)),吗孝)，所以30)=卜-苧+卜一牛号

根据对称性，只需讨论点「在第一象限的情况：当点P在CD上时，设NE4D=。，

g0,y,则P(l+cose,sin8),,所以

</(O,P)=|l+cos0|+|sin0|=l+cos0+sin0=l+V2sin(0+-^)<l+V2(当且仅当

e=工时取等号)

当点尸不在8上时，孤所在圆的圆心坐标E(g,当)，设NPEC=a，ae0,=

.JJr.-]

同理可得P(5+cosa,^"+sina),cosaw--,1.sinaG[0,1]

,。°、1I|>/3.1后.

d(Q,P)=—+cosa+p-+sina=-+cosa+——+sma

2

l+Q+0sin(a+^)《1+V3+2V2

24

11/20

（当且仅当a=2时取等号）.

4

综上所述，"（。,尸）的最大值为L+C+2&

2

【考查意图】本小题以新定义问题为载体.考查直角距离、三角换元、三角函数化简求最值

等基础知识，考直运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算核心素养，体现创新

性和综合性.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在①2c8s5=2a-b、②^ABC的面枳为+b2-c?）,

③8s?/1-8s?C=sm26-sin/lsin6,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，

并加以解答.（如果选择多个条件作答.则按所选的第一个条件给分）

己知△回（：的内角A,B.C所对的边分别是。，b,c,且_.

（1）求角C的大小；

（2）若c=2且4sin，sin3n3,求AABC的面枳.

【答案】（1）C=y；（2）6

【答题分析】

2.2_L2

（1）若选条件①2C8S3=2J-6,则2c-乙二不»

2ac

BPa2+b2-c2=ab•所以cosC=，..............3分

2

又因为Cw（O,;r），所以C=q............5分

Cl）若选条件②^ABC的面积为4（/+从一/），则乎（。2+/一/）=：〃加出。

即sinC=J^8sC，所以tanC=6..............3分

又因为Ce（0,zr）,所以C=9............5分

(1)若选条件③cos2Z-8s2C=sin2B-sin/sin8.

则(1-sin?y4)-(l-sin2C)=sin2B-sin/4sinB

即sin2/4+sin2B-sin2C=sini4sinB

即/+/—c?=06，所以cosC=L..........................3分

2

又因为Cw(O,；r)・所以C=?.......................5分

(2)因为C=2'所以———=---=---=---=-ir*

乃

sin-4sinBsiiiCsin一

3

所以sin/=—a,sinB=----b........................7分

44

又因为4sin/lsin5・3.所以ab=4.......................9分

△ABC的面积为」absinC=b......................10分

2

【考查意图】本小题以三角形为载体,考查正、余弦定理和三角形面积公式，考直逻辑思维

能力、运算求解能力,考直转化与化归数学思想,考查逻辑推理、数学运算核心素养，体现

基础性.

18.(本小题满分12分)

己知数列｛4｝的前八项和为S.,且满足S.+〃=&?“AT).

(1)证明：数列｛4+1｝是等比数列；

(2)设4=--------,求数列也,｝的前〃项和7；.

44.1

【答案】(1)证明见详解；(2)71=1---.

【答题分析】

(1)当”=1时，4+l=2q得4=1..............................1分

当“22时.［加+丁：(“22)两式相减得4="i+K"N2)

IA1T+"-l=2a“T'

yc>r\r\

即可+1=2(%+或〃22).

所以数列｛4+1｝是以2为公比，以2为首项的等比数列，6分

(2)由(1)知q+l=2"("wAT),即q=2"-15wM)......................8分

2*=2“=_1_____1

分

N=（2"-1）（*-1）=-一*T10

则北=4+4+...+4=（1-目+（沁卜...+弓―7T）=1--^,

.........................12分

【考查意图】本小题以数列为载体，考查构造新数列求通项公式的方法和数列求和等基础知

识，考查学生逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、创新性.属于中档题.

19.(本小题满分12分)

如图，已知四边形4CQE为菱形，乙CDE(G，AC1.BC.

产是DE的中点