【8份】2017高考数学北师大版（理）一轮复习第4章 三角函数、解三角形

【8份】2017高考数学北师大版(理)

一轮复习第4章三角函数、解三角形

目录

第4章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数文档

第4章三角函数、解三角形4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式文档

第4章三角函数、解三角形4.3三角函数的图像与性质文档

第4堂三角函数、解三角形4.4函数丫=4认(3*+4>)的图像及应用文档

第4章三角函数、解三角形4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式文档

第4章三角函数、解三角形4.6简单的三角恒等变换文档

第4章三角函数、解三角形4.7正弦定理、余弦定理文档

第4章三角函数、解三角形4.8解三角形的踪合应用文档

第四曲三角函数、解三角形

§4.1任意角、弧度制及任意角的

三角函数

基础知识自主学习

“知识梳理

要点讲解深层突破

1.角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所

成的图形;②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

(2)所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是5=加|夕=h360。+G,

Z}.

(3)象限角：使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么，角的终边在

第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何

一个象限.

2.弧度制

(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad

表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是Q.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=期皿1。=点产(1,lrad=(1普〉.

(3)扇形的弧长公式：l—\a\-r,扇形的面积公式：5=；/厂=/研/.

3.任意角的三角函数

任意角a的终边与单位圆交于点P(x,y)时，sina=且，cosa=x，tana=5(xWO).

三个三角函数的初步性质如下表:

第一象第二象第三象第四象

三角函数定义域

限符号限符号限符号限符号

sinaR++一一

cosaR+一一+

tanakGZ}+—+—

4.三角函数线

如下图，设角a的终边与单位圆交于点P,过尸作PMLx轴，垂足为过41,0)作单位

圆的切线与a的终边或终边的反向延长线相交于点T.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.(X)

(2)角a的三角函数值与其终边上点尸的位置无关.(V)

(3)角a终边上点P的坐标为(T坐)，那么sina=^,cosa=一去同理角a终边上点0

的坐标为(项)，歹0)，那么sina=y(),cosa=xo.(x)

,ji

(4)a£(0,2)»则tana>a>sina.(V)

(5)a为第一象限角，贝ljsina+cosa>l.(V)

2考点自测快速解答自查自纠

1.与610。角终边相同的角可表示为（）

人加360。+230。（左£2）

B"3600+250°/£Z）

C4・3600+70。（左£Z）

DM360。+270。依Z）

答案B

2.下列9与7r詈的终边相同的角的表达式中正确的是（）

9

A.2E+45o（%£Z）8加360。+卒（左金Z）

C加360。-3150（kez）D./cn+y（AeZ）

答案C

【详细分析】与号97r的终边相同的角可以写成2E+号97r依Z）,但是角度制与弧度制不能混用,

所以只有答案C正确.

3.（教材改编）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是（）

A.2B.sin2

2

D.2sinl

sinl

答案c

【详细分析】设圆的半径为r,则sinl=%,.」=肃，

2

・・・2弧度的圆心角所对弧长为2r=—Y，

4

4.如图所示，在平面直角坐标系xQy中，角。的终边与单位圆交于点4点Z的纵坐标为点

贝!!cosa=,

答案-I

【详细分析】因为点力的纵坐标为=:4且点N在第二象限,

又因为圆。为单位圆，

所以点4的横坐标修=一热

由三角函数的定义可得cosa="1

5.函数y=yj2cosx—\的定义域为.

答案\2kit-7Ty2祈+7T小GZ）

【详细分析】•.*2cosx—120,

••cosx.

由三角函数线画出X满足条件的终边范围（如图阴影所示）.

兀71

2左兀~~2%兀+§（左WZ）.

题型分类深度剖析

题型一角及其表示

例1（1）已知角a的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角a用集合可表示

为.

y

7三4三三三三三

30。'书由5。

OX

（2）若角a在第三象限，贝片在第象限.

答案（1）（2E+：,2桁+京）（ASZ）

（2）二或四

【详细分析】⑴在［0,2兀）内，终边落在阴影部分角的集合为保豺，

二所求角的集合为（2反+生，2ht+豺/GZ）.

(2)V2Z7t+7t<a<2Z7t+y(A-eZ),

加上GZ).

当左=2〃("6Z)时，2〃兀+5<］<2〃兀+右，］是第二象限角，

当左=2〃+1("GZ)时，2"兀+咨<］<2〃兀+(兀，彳是第四象限角，

综上知，当a是第三象限角时，卷是第二或第四象限角.

思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角

的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数人赋值来求得所需的角.

(2)利用终边相同的角的集合S={£步=2祈+a,%GZ}判断一个角夕所在的象限时，只需把

这个角写成［0,2兀)范围内的一个角a与2无的整数倍的和，然后判断角a的象限.

跟踪训练1⑴设集合/={小=与180。+45。，kGZ},2{中=\180。+集。,*Z},那

么()

A.M=NB.MUN

C.NJMD.MCIN=0

(2)已知角a=45。，在区间［-720。，o。］内与角a有相同终边的角£=.

答案(1)B(2)—675。或一315。

【详细分析】⑴方法一由于M={x|x=1-180o+45°,AGZ}={…，-45°,45°,135°,

225°,•••},

N={x|x=1-1800+45°,左CZ}={…，-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,•••},显然

有MJN,故选B.

方法二由于M中，x=与180。+45。=公90。+45。=(2左+1>45。，2人+1是奇数；

而N中，、=与180。+45。=/45。+45。=(k+1>45。，左+1是整数，因此必有MUN,故选B.

(2)由终边相同的角关系知夕=小360。+45。，kez,

二取左=一2,-1,得尸=一675°或£=一315°.

题型二弧度制的应用

例2已知一扇形的圆心角为a,半径为R,弧长为/.

(1)若a=60。，R=10cm,求扇形的弧长/；

(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角；

(3)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解(l)Va=60°=jrad,

/./=a-7?=jX10=-^(cm).

2H+Ra=10fD_.fR=4,

(2)由题意得，1,=]0(舍去)，]1

2a'R=4[a=Sa=2,

故扇形的圆心角为去

(3)由已知得,l+2R=20.

：.S=^lR=^(20-2R)R=10R-R1^-(R-5)2+25,二当R=5时，S取得最大值25,

此时/=10,a—2.

思维升华应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解

决.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

跟踪训练2(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()

A兀D兀

A-3B6

(2)已知扇形的周长为4cm,当它的半径为cm和圆心角为弧度时，扇形面

积最大.

答案(1)C(2)12

【详细分析】(1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨

快10分钟，故应转过的角为圆周的看

即为一32兀=—1.

(2)设扇形的圆心角为a,半径为r,则

4

2r+|a|r=4,/.|a|=--2.

:・S扇形=3何卜一—=—(r—1)2+1,

I.当尸=1时，(S扇形)即=1,此时同=2.

题型三三角函数的概念

命题点1三角函数定义的应用

4

例3(1)已知角a的终边过点尸(一8加，-6sin30。)，且cosa=一,,则"?的值为()

(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动苧弧长到达。点，则。点的坐标为()

答案(1)B(2)A

【详细分析】(1),.V-^64W2+9,

­8〃？4

*\/64阳~+95

2

・、八.4〃？__L日n_1

..m>0,­-64WJ2+9-25»/M-2-

(2)由三角函数定义可知。点的坐标(x,用满足

27r1.2K小

x_cos2——2»,_sin.

命题点2三角函数值的符号

例4⑴若sina<0且tana>0,则a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

(2)设6是第三象限角,且cos|=—cos与则号是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案(1)C(2)B

【详细分析】⑴：sinaVO,

；.a的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上;

又tan«>0,

.二a在第一象限或第三象限，故a在第三象限.

(2)由8是第三象限角，知?为第二或第四象限角,

ee

・cos2=-cos',

・.cos^WO,

综上知匏第二象限角.

命题点3三角函数线

例5满足cosaW—3的角a的集合为.

答案ja2%n+多tWaW2A?t++,AGZj

【详细分析】作直线x=一£交单位圆于C、。两点，连接OC、OD,则OC与。。围成的区

域(图中阴影部分)即为角a终边的范围，故满足条件的角a的集合为

■jj2E+,;tWaW2E+%,k^Zr.

思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上

任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离/•.

(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三南函数的符号，理解并记忆：“一全正、

二正弦、三正切、四余弦”.

(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出

角的范围.

跟踪训练3(1)已知角a的余弦线是单位长度的有向线段，那么角a的终边在()

A..X轴上B.y轴上

C.直线y=x上D.直线y=-x上

(2)已知角a的终边经过点(3°—9,。+2),且cosaWO,sina>0,则实数a的取值范围是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[—2,3)D.[—2,3]

答案(1)A(2)A

【详细分析】⑴|cosa|=l,

.•.角a的终边在x轴上.

(2)*.*cosaW0,sina>0,

・••角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.

3Q—9W0,

思想与方法系列

6.数形结合思想在三角函数中的应用

典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上

一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,l)时，桥的坐标为

(2)函数y=lg(3—4sin2x)的定义域为.

思维点拨(1)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找尸点坐标和三角形

边长的关系.

(2)求函数的定义域可转化为解不等式一坐Vsinx〈坐，利用三角函数线可直观清晰得出x

的范围.

【详细分析】(1)如图所示,

过圆心C作x轴的垂线，垂足为小过户作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点8.因为

圆心移动的距离为2,所以劣弧处4=2,即圆心角NPC4=2,

7T71

则NPCB=2-],所以|P8|=sin(2—])=—cos2,

|C8|=cos(2—，)=sin2,

所以孙=2-|C8|=2—sin2,yP=1+|P8|=1-cos2,

所以OP=(2—sin2,1—cos2).

(2)V3-4sinx>0,

・•2

..sinx<^,

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

兀一全E+§(/ez).

答案(1)(2—sin2,1—cos2)

(2)(加苫，E+£)(AGZ)

温馨提醒(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函

数定义寻找关系.

(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的

位置.

।-----■■思想方法感悟提高■-----1

［方法与技巧］

1.在利用三角函数定义时，点尸可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点」0尸|

=r一定是正值.

2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切,

四余弦.

3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

［失误与防范］

1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90。的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，

第二、第三类是区间角.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,

不可混用.

3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

练出高分

A组专项基础训练

（时间：35分钟）

1.给出下列四个命题：

①一个是第二象限角；鳄是第三象限角；

③一400。是第四象限角；④一315。是第一象限角.

其中正确的命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案C

【详细分析】一个是第三象限角，故①错误等=兀+会从而当是第三象限角，②正确「400。

=一360°—40°,从而③正确.一315°=—360°+45°,从而④正确.

2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角aG（0,兀）的弧度数为（）

.兀r兀

A-3B2

C.A/3D.2

答案C

【详细分析】设圆半径为，，则其内接正三角形的边长为仍厂，

3.已知a是第二象限角，P（x,小）为其终边上一点，且cosa=^x,则x等于（）

A.小B.i^

C-6D.一小

答案D

【详细分析】依题意得cosa=当<0,

+5

由此解得》=一小.

4.已知△ZBC是锐角三角形，若角夕终边上一点P的坐标为（sinJ—cos8,cosZ-sinC）,则际所

cos。

h|cos6>|由的值是（)

A.lB.-l

C.3D.4

答案B

【详细分析】因为△/BC是锐角三角形,所以Z+8>90。，即4>90。-8,则sinJ>sin（90。一

B）=cosB,sinA—cosB>0,同理cos/—sinC<0,所以点P在第四象限，j1^十1黑/+；；［=

-1+1-1=-1.

5.给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；

④若sina=sin£,则a与4的终边相同；

⑤若cos9<0,则9是第二或第三象限的角.

其中正确命题的个数是（）

A.lB.2

C.3D.4

答案A

【详细分析】举反例：第一象限角370。不小于第二象限角100°,故①错；当三角形的内角

为90。时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin合sin济

但台著的终边不相同，故④错；当cose=-i,。=兀时既不是第二象限角，也不是第三象

限角，故⑤错.综上可知只有③正确.

6.已知扇形的圆心角为全面积为全则扇形的弧长等于.

套口呆案-3

【详细分析】设扇形半径为弧长为/,则

,兀

l=y

解得1

『=2.

7.已知角a=2E—界GZ）,若角9与角a的终边相同，则尸湍+禽［+督的值为

答案T

【详细分析】由a=2E一员%CZ）及终边相同的概念知,

角a的终边在第四象限，

又角。与角a的终边相同，所以角。是第四象限角,

所以sin<9<0,cos^>0,tan兴0.

所以y=-1+1—1=—1.

8.函数y=、sinx+、y，一cosx的定义域是.

答案鼻+2版，兀+2E()1eZ)

sinx^O,

【详细分析】由题意知h、八

2-cosx^O,

sinx^O,

即《A

COSX0].

Ax的取值范围为]+2ATCWXSTC+2E,kGZ.

9.一个扇形。48的面积是Icn?,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长48.

解设扇形的半径为rem,弧长为/cm,

l/+2r=4,

/.圆心角a=；=2.

如图，过。作于H,则NAO〃=lrad.

AHB

:・AH=1sinl=sinl(cm),

/.^5=2sinl(cm).

・•・圆心角的弧度数为2,弦长川？为2sinlcm.

10.已知角。的终边上有一点P(x,—l)(x*0),且tan6=—x,求sinO+cos。.

解・.・。的终边过点a，—i)awo),

/.tan0=~

又tanO=­x,

/.x2=1,即工=±1.

当x=l时，sin0=_25cosO=半，

因此sin0+cos0=0；

当x=-l时，sin8=一堂，cosd=一乎，

因此sind+cosO=一啦.

故sind+cos。的值为0或一也.

B组专项能力提升

（时间：25分钟）

11.已知圆O-.x2+，=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆。顺时针运动］弧长到达点M

以ON为终边的角记为a,则tana等于（）

A.-lB.1

C.-2D.2

答案B

【详细分析】圆的半径为2,5的弧长对应的圆心角为;，故以ON为终边的角为

|aa=2lat+^,Z）,故tana=l.

12.给出下列各函数值：

①sin（-1000°）；②cos（—2200°）；③tan（—10）,

其中符号为负的是（）

A.①②B.②

C.③D.①③

答案C

【详细分析】与一1000。终边相同的角是80。,所以一1000。是第一象限角,则sin（—1000。）＞0；

7冗

与一2200。终边相同的角是一40。，所以一2200。是第四象限角，则85（—2200。）＞0；-y＜-

10＜—3n,所以一10是第二象限角,则tan（—10）＜。

13.已知点P（sina—coscGtana）在第一象限，则在［0,2叫内，a的取值范围是（）

4MB4）B\4,2jUl7t,4J

（式3兀、（5兀3兀\（TI冗、（3兀、

c（5,TjDQ,力冒，兀）

答案B

【详细分析】由已知得［s京ina＞-c0o,sa＞0,g。皿，

j兀3兀

故ad仔,飘（兀,翁

14.如图，/是单位圆与X轴正半轴的交点，点尸在单位圆上，ZAOP=e（0<e<n）,平行四

边形OAQP的面积为S（。）.

（1）求为+而+s（。）的最大值及此时e的值仇；

（2）设点8的坐标为（一,，1）,ZAOB=a,在⑴的条件下，求cos（a+a）的值.

解（1）由已知，得

A,尸的坐标分别为（1,0）,（cosPsin。）,

.•.丽=（l+cos。，sin。），OAOQ^l+cosO,

又S（6）=sin。，

：.OAOQ+S（e）=sin<9+cos<9+1

=V^sin仅+£）+l（0V*兀），

故易・丽+s（e）的最大值是啦+i,此时为寸

“、・・34兀

(2).cosa=—,smoc=5，%=不

丁・cos(0o+a)=co寻cosa—sin^sina=—.

15.如图所示，动点尸，。从点/（4,0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转全弧度,

点。按顺时针方向每秒钟转,弧度，求点P,点。第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标

及P,。点各自走过的弧长.

解设尸，0第一次相遇时所用的时间是r,

则吟+上|一*=2兀

所以，=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒.

设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点和。点已运动到终边在与4=当的位置,

=

则xc=­cos?4=_2,yc-sinj-4=-2^/3.

所以C点的坐标为（一2,-2^3）.

416

产点走过的弧长为1兀・4=丁，

7Q

Q点走过的弧长为m1・4=铲.

第四尊三角函数、解三角形

§4.2同角三角函数基本关系式及

诱导公式

基础知识自主学习

“知识梳理

要点讲解深层突破

1.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2a+cos%=1.

⑵商数关系：1^=tan«.

2.下列各角的终边与角a的终边的关系

角2E+a(%£Z)it+a~a

图示

与角a终边

相同关于原点对称关于X轴对称

的关系

n

角兀

n-a2~a/a

二4

图示k

与角a终边关于直线y=x

关于「轴对称

的关系对称

3.诱导公式

组数—■二三四五

71兀_1_

角2E+a/£Z)兀+a~a7i-a］一。/a

正弦sina一sina一sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina一sina

正切tanatana一tana一tana

函数名z［凄函数名改变

口诀

符号看2艮限符号看象限

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“，”或“X”）

⑴若a,仅为锐角，则sin2<z+cos20=l.（X）

（2）若aGR,则tana=1^恒成立.（X）

（3）sin（兀+a）=-sina成立的条件是a为锐角.（X）

（4）诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶

数倍，变与不变指函数名称的变化.（V）

2考点自测快速解答自查自纠

1.（教材改编）已知a是第二象限角，sina=卷，则cosa等于（

)

r12r12

A一百Blc・卷D13

答案B

【详细分析】•••sina=/,a是第二象限角,

1+sill¥

2.已知,,那么号的值尚）

cosx

B.—!

Ai

C.2D.-2

答案A

,-1+sinxsinx—1sin2x—1

【详细分析】由于-1,

cosx1

故.

sinx-12*

]7T.,,

3.已知sin(7t—a)=log8W，且a£(—5,0),则tan(2?r—a)的值为()

A2小

A-5B芈

C.土平

答案B

,12

【详细分析】sin(兀-a)=sina=log8Z=一

又q£(—F，0),得cosa=^1—sin2a=,

_,、sina2y[5

tan(27t-a)=tan(-a)=-tana=-——=s.

4.己知函数外）=asin（兀r+a）+bcos（nx+为，且h4）=3,则次2015）的值为.

答案一3

[详细分析],.'/(4)=as羊(4兀+a)+bcos(4兀十为

=asina+bcos/3=3,

/./(2015)=asin(2015兀+a)+6cos(2015元+夕)

=asin(兀+a)+bcos(兀+4)=—asina—6cos夕

=一(asina+bcosp)=­3.

即人2015)=—3.

2cos乱xW2000,

5.已知函数4）="3则/[/(2016)]=.

X-16,x>2000,

答案-1

【详细分析】.・7[/(2016)]=^2016-16)=7(2000),

/./(2000)=2cos^j^=2cos|7r=—1.

题型分类深度剖析

题型一同角三角函数关系式的应用

例1⑴已知tanO=2,则side+sinOcos。-2cos之。等于()

A--IB.|

(2)已知sinacosa=g,且彳VaVg,则cosa—sina的值为()

A「坐B坐

C--1D.1

答案(1)D(2)B

【详细分析】(1)由于tan8=2,则sin%+sin9cos。-2cos%

sin%+sinecos。-2cos%

sin*20+cos20

sin^sin/9cos^_

_COS2<9COS%

sin：。」二~

cos'#

tanS+tan。-222+2—2

tan%+122+1

=?

e・・5兀3兀

⑵.y<a<y,

cosa<0,sina<0且cosa>sina,

/.cosc(-sina>0.

213

又(COSQ-sina)=1-2sinacosa=1-2X

..近

..cosa-since=?.

思维升华(1)利用sida+cos2a=1可以实现角a的正弦、余弦的互化，利用黑=tana可

以实现角a的弦切互化.

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子,

利用(sinoicosa)2=l±2sinacos«,可以知一求二.

(3)注意公式逆用及变形应用：1=sin2ot+cos2a,sin%=1—cos2a,cos%=1—sin%.

跟踪训练1已知siruz—cosa=，^,«C(0,兀)，则tana等于()

A.-1B.一当

答案A

Jsina—cosa=，^,

【详细分析】由

[sin2a+cos26t=1,

消去sina得：2cos2a+2吸cosa+1=0,

即(/cosa+1)2=0,

.，=_啦

••cosct2•

又a£(0,7i),...。=不,

.3兀

.・tana=tan彳=-1.

题型二诱导公式的应用

例2(1)已知sin^a+y0=1,则cos(a+得的值为.

sin(左兀+a)+cos(hr+a)

已知则力的值构成的集合是(

(2)4sinacosaUez),)

A.{1,—1,2,—2}

C.{2,-2}D.{1,-1,0,2，-2}

答案(1)一女(2)C

【详细分析】6cos(a+患)=coJ(a+制+引

=_sin(a+古)1

3'

...xl,，工/M近q,sina.cosa

(2)当％人为偶…丛数时0,，A=~sm—a+-c-o--s-a-=2；

当人为奇数时，”=三詈一落=一2.

二4的值构成的集合是{2,-2}.

思维升华

(1)诱导公式用法的一般思路

①化大角为小角.

②角中含有加减T的整数倍时，用公式去掉刍的整数倍.

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：与一a与%+a;g+a与％—a;彳+a与亨一a等.

JoJo44

②常见的互补的角：鼻+6与专一6;彳+6与苧一0等.

跟踪训练2⑴已知sing—a)=；,则cose+a)=.

(2)sin(-1200°)cosl2900+cos(-1020°)sin(-1050°)=.

答案(1)1(2)1

【详细分析】⑴•.痣_a)+[+a)q

兀

/.cos7+a

(2)原式=一sin1200°cos1290°-cos10200sin1050°

=-sin(3X360°+l20°)cos(3X360。+210。)一cos(2X360°+300°)sin(2X360°+330°)

=-sinl20°cos210°—cos300°sin330°

=-sin(l800-600)cos(1800+300)-cos(3600-600)sin(3600-30°)

=sin60°cos300+cos60°sin30°

题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用

TT

例3(1)已知。为锐角，且有2tan(7t—a)—•3cos(5+/?)+5=0,tan(7i+a)+6sin(兀+4)一1=0,

则sina的值是()

3师

,10

sin（—a-/兀）cos（］兀—a）

（2）已知sina是方程5f—7x—6=0的根，a是第三象限角，则~~tan2（7i

cos（2~«）sin（2+«）

—a）=.

9

答案（1）C（2）—讳

jr

【详细分析】（l）2tan（兀-a）—3cos（］+为+5=0化简为

—2tana+3sin^+5=0,①

tan（兀+a）+6sin（兀+为-1=0化简为

tan。-6sin夕一1=0.②

由①②消去sin尸，

解得tana=3.

又a为锐角，根据sin2a+cos2a=l,

到省•3VTb

解将sma—］（）.

（2）方程5x2—7%—6=0的根为一耳或2,

3

又a是第三象限角，.入出仪=一百，

cosa=-A/1—sin2a=­之，

_3

.sina_53

••tana==，

cosa_44

~5

cosa（—sina）9

.•原式=，2a=2

sinacosa•tan—tan-a=—T6-

思维升华利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：

(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得

最简形式.(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低,

结构尽可能简单，能求值的要求出值.

跟踪训练3(1)已知sin(，+a)=,,a6(0,g，贝!|sin(兀+a)等于()

AB

-1-5

w

D-5

（2）已知sin（兀-a）—cos（兀+a）=W（^<a<7t）,则sina—cosa等于（）

A.OB，2

D.g

答案(1)D(2)D

【详细分析】⑴由已知sin住+a)=|,

/臼3

得cosa=7,

丁・sin(兀+a)=_sina=一亍

p

(2)由sin(n—a)—cos(7t+a)=

2

将①两边平方得l+2sinacosa=g,

7

-

故2sinacosa=9

16

所以1

(sina-cosa)2=1—2sinacosa=1—~9-

F兀7«

又2〈aV兀,

所以since>0,cosa<0,sina—cosa>0,

4

则sin«-cosa=T.

思想与方法系列

7.分类讨论思想在三角函数中的应用

典例(1)已知sina=#&则tan(a+jr)~F+a

cos仔-a)

(2)在△43。中，若sin(2兀-4)=—也sin(兀-4),小co》=—&cos(兀-8),则C=.

思维点拨利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据南的范围对开方结果进行

讨论.

【详细分析】⑴入皿=乎＞0,

为第一或第二象限角.

cosa

sina

smacosa_____]

cosasincesinacosa

①当。是第一象限角时，cosasin2a

原式-sinacosa~2,

②当a是第二象限角时，cosa=-yj1—sin2a=—:

原式=sinacosa=_/

综上①②，原式=|或一|.

sinA=y[2sinB①

(2)由已知得J9

73cos4=N2COS8,②

①2+②2得2coS，=1,即COS4=土乎，

当COS71=当时，cosB=坐，

又4、3是三角形的内角，

兀兀7

.•.4=不8=不・二。=九—(4+3)=正兀

当cosZ=—勺时，cosB=­2•

又Z、8是三角形的内角，

35

.•・4=W兀，B=0,不合题意.

7

综上，。=司1.

答案(琮或一|(2)*

温馨提醒(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种

情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的

挖掘及三角形内角和定理的应用.

■■思想方法感悟提高■一

［方法与技巧］

同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角

函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.

2.三角函数求值、化筒是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法：

主要利用公式tanx=黑化成正弦、余弦函数；（2）和积转换法：如利用（sin例cos0）2=

l±2sin0cos。的关系进行变形、转化；（3）巧用“1"的变换：l=sin2e+cos2g=cosQ（l+tan2。）

百焉）=tan；=…；（4）运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤.

［失误与防范］

1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：

去负一脱周一化锐.

特别注意函数名称和符号的确定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

练出高分

A组专项基础训练

（时间：40分钟）

1.若cosa=1,a£（一去0）,则tana等于（）

A.

C.-2-V2D.2也

答案C

【详细分析】•••闻甘，0）

/.sina=—y]\—cos%=

sina

/.tana2^2.

cosa

2.已知sin（兀一a）=-2sin（，+a）,则sincrcosa等于（）

222、21

A.§B.—C.§或一gD.一§

答案B