三角形课嘉汇三中李颖

三角形专题复习主讲人：李颖大连市嘉汇第三中学大连市甘井子区初中数学教研团队知识点一

：三角形的三边关系1.内容:三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.数学语言：在△ABC中，a，b，c分别是三角形的三边。则a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a；a-b＜c；a-c＜b；b-c＜a3.常考方式：第三边大于两边之差，小于两边之和。类型一：利用三边关系求未知字母的取值范围1.一个三角形的三边长分别是5，10，a-2，则a的取值范围是

。2.在△ABC中，AB=14，BC=4x，AC=3x，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜14C．7＜x＜14D．2＜x＜14分析：根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．1.解：10-5＜a-2＜10+5．解得7＜a＜172.解：根据两边之和大于第三边得：4x+3x＞14，得x＞2，由两边之差小于第三边得：4x-3x＜14，即x＜14，综上2＜x＜14，故选：D．7＜a＜17D分析：由于三角形是等腰三角形，所以有两条边是相等的。如果相等的两边是4，则三角形的三边就分别是4,4，8。但是4+4=8，这样不满足三角形的三边关系两边之和大于第三边。所以不成立。所以相等的两边是8，那么三角形的三边就是8,8,4。所以三角形的周长就应该是8+8+4=20。故答案是：20类型二：三边关系与等腰三角形已知等腰三角形的两边长分别是4和8，则这个等腰三角形的周长是

。20知识点一

：三角形的三边关系1.内容:三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.数学语言：在△ABC中，a，b，c分别是三角形的三边。则a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a；a-b＜c；a-c＜b；b-c＜a3.常考方式：第三边大于两边之差，小于两边之和。分析：根据三角形的三边关系“两边之和＞第三边，两边之差＜第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a+b-c＞0，b-c-a＜0，c-b+2a＞0．∴|a+b-c|-|b-c-a|+|c-b+2a|=a+b-c-（a+c-b）+c-b+2a=a+b-c-a-c+b+c-b+2a=2a+b-c，故答案为：2a+b-c类型三：利用三边关系化简绝对值已知△ABC的三边是a，b，c，化简：|a+b-c|-|b-c-a|+|c-b+2a|=

．知识点一

：三角形的三边关系1.内容:三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。2.数学语言：在△ABC中，a，b，c分别是三角形的三边。则a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a；a-b＜c；a-c＜b；b-c＜a3.常考方式：第三边大于两边之差，小于两边之和。2a+b-c知识点二

：三角形的高线1.定义：过顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形高线的图例。所以，三角形的面积可以表示为：3.利用高线以及垂线判断三角形形状：三条高线在三角形内部为锐角三角形；有高线在三角形上为直角三角形；有高线在三角形外为钝角三角形。类型一：根据高线交点所在位置判断三角形的形状三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上三种都不是分析：锐角三角形三边上的高的交点在三角形的内部，直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，钝角三角形三边上的高所在直线的交点在三角形的外部．所以B正确，故选：B

B

类型二：利用等面积法求线段长度如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,且AC=8，BC=6，AB=10，则CD的长是（）A.2.4B.9.6C.4.8D.5分析：根据三角形的面积公式利用等面积法即可求出CD的长度。解：

解得CD=4.8故答案是C

知识点二

：三角形的高线1.定义：过顶点作对边的垂线，顶点与垂足之间的线段。2.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形高线的图例。所以，三角形的面积可以表示为：3.利用高线以及垂线判断三角形形状：三条高线在三角形内部为锐角三角形；有高线在三角形上为直角三角形；有高线在三角形外为钝角三角形。C知识点三

：三角形的中线以及角平分线1.中线定义：顶点与对边中点的连线段叫做中线。2.角平分线的定义：三角形角的平分线与对边交点之间的部分叫三角形的角平分线。3.中线和角平分线的图例：中线角平分线所以：所以：4.中线的性质：中线平分面积。即；△ABD与△ACD的周长差等于AB-AC。三角形三条中线的交点叫做重心。类型一：中线与等腰三角形在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（）A．9B．9或13C．10D．10或12分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故选：BB类型二：中线性质的考察1.BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD和△BCD的周长差为

cm。2.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则阴影部分的面积为

cm2分析：1.根据三角形的中线得出AD=CD，根据△ABD与△ACD的周长差等于AB-AC=6-4=2cm．故答案为：22.易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半。故答案为：1211.中线定义：顶点与对边中点的连线段叫做中线。2.角平分线的定义：三角形角的平分线与对边交点之间的部分叫三角形的角平分线。3.中线和角平分线的图例：中线角平分线所以：所以：4.中线的性质：中线平分面积。即；△ABD与△ACD的周长差等于AB-AC。三角形三条中线的交点叫做重心。知识点三

：三角形的中线以及角平分线知识点四

：三角形内角和定理与外角定理1.内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°2.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所构成的夹角。3.外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；大于它任意一个不相邻的内角。类型一：三角形的内角和定理：如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4等于（）A．150°B．240°C．300°D．330°分析：如图，分别在△ABC和△ADE中，利用三角形内角和定理求得，∠1+∠2=150°，∠3+∠4=150°，则易求:（∠1+∠2+∠3+∠4）的度数为300°故答案为CC知识点四

：三角形内角和定理与外角定理1.内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°2.外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所构成的夹角。3.外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和；大于它任意一个不相邻的内角。类型二：三角形的外角定理：1.已知：如图所示，则∠A等于（）A．60°B．70°C．50°D．80°2.如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用小于号“＜”表示∠1，∠2，∠A之间的关系

。分析：1.根据三角形内角与外角的关系解答．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠A=∠ACD-∠B=70°．故选：B2.根据三角形的一个外角大于它不相邻的任何一个内角证明．解：∵∠1是△CPD的外角，∴∠1＞∠2，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＞∠A，∴∠A＜∠2＜∠1，故答案为：∠A＜∠2＜∠1B∠A＜∠2＜∠11.多边形的定义：由多条边首位顺次连接形成的图形。2.对角线的定义以及相关计算：不相邻的两个顶点的连线段。一个顶点的对角线条数:(n-3)条；多边形所有对角线条数：n(n-3)÷2条。3.多边形的内角和计算公式：(n-2)×180°4.多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°知识点五

：多边形类型一：相关公式的应用一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的对角线一共有多少条（）A.3条B.5条C.6条D.12条分析：根据多边形的内角和公式计算出多边形的边数，在根据多边形所有对角线条数的计算公式计算出答案即可。解:设多边形的边数为n。则：（n-2）×180°=540°，解得n=5n(n-3)÷2=5×(5-3）÷2=5（条）故答案为BB1.多边形的定义：由多条边首位顺次连接形成的图形。2.对角线的定义以及相关计算：不相邻的两个顶点的连线段。一个顶点的对角线条数:(n-3)条；多边形所有对角线条数：n(n-3)÷2条。3.多边形的内角和计算公式：(n-2)×180°4.多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°知识点五

：多边形类型二：外角和的应用一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11分析：根据任意多边形的外角和都是360°从而得到这个多边形的内角和是360×3=1080°。在根据多边形的内角和公式求出多边形的边数即可。解：360°×3=1080°（n-2）×180°=1080°解得n=8故答案是AA1.正多边形的定义：每条边都相等、每个角都相等的多边形叫做正多边形。2.正多边形每个内角的度数：3.正多边形每个外角的度数：4.正多边形每个内角与每个外角的关系：互补关系。即：知识点六：正多边形类型一：相关公式的应用。一个正多边