不定积分总结

不定积分一、原函数定义1如果对任一xe1,都有F<x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。例如：(sinx)'=cosx，即sinx是cosx的原函数。 - 1一. - 1[ln(x+\：1+x2)= ，即ln(x+弋1+x2)是. =的原函数。原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一xe/，有F'(x)=f(x)。注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)+C]'=f(x)，即F(x)+C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)-G(x)=C(C为常数)注3：如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)可表达f(x)的任意一个原函数。二、不定积分定义2在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为ff(x)dx。如果F(x)为f(x)的一个原函数，则ff(x)dx=F(x)+C，(C为任意常数)三、不定积分的几何意义图5—1设F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)的一条积分曲线.于是f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x).在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式y=F(x)+C,再从中确定一个满足条件y(x。)=y0(称为初始条件)的原函数y=y(x).从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线.四、不定积分的性质(线性性质)J[f(x)±g(x)I[d,x=Jf(x)dx±fg(x)dxJkf(x)dx=kJf(x)dx(k为非零常数)五、基本积分表Jadx=ax+C,a和C者B是常数JxAadx=[xA(a+1)]/(a+1)+C,其中a为常数且a丰-1J1/xdx=ln|x|+CJaAxdx=(1/lna)aAx+C,其中a>0且a丰1JeAxdx=eAx+CJcosxdx=sinx+CJsinxdx=-cosx+CJcotxdx=ln|sinx|+C=-Inlcscxl+CJtanxdx=-Inlcosxl+C=Inlsecxl+CJsecxdx=ln|cot(x/2)|+C=(1/2)lnl(1+sinx)/(1-sinx)l+C=-Inlsecx-tanxl+C=Inlsecx+tanxl+CJcscxdx=ln|tan(x/2)|+C=(1/2)lnl(1-cosx)/(1+cosx)l+C=-lnlcscx+cotxl+C=lnlcscx-cotxl+CJsecA2(x)dx=tanx+CJcscA2(x)dx=-cotx+CJsecxtanxdx=secx+CJcscxcotxdx=-cscx+CJdx/(aA2+xA2)=(1/a)arctan(x/a)+CJdx/d(aA2-x八2)=arcsin(x/a)+CJdx/d(xA2+aA2)=ln|x+d(xA2+a八2)1+CJdx/d(xA2-aA2)=ln|x+7密2-a八2)1+CJd(xA2-aA2)dx=(x/2)d(xA2-a八2)-(aA2/2)ln|x+收2-a八2)1+CJd(xA2+aA2)dx=(x/2)d(xA2+aA2)+(aA2/2)ln|x+收2+aA2)|+CJ7代2-xA2)dx=(x/2)d(aA2-xA2)+(a八2/2)arcsin(x/a)+C六、第一换元法(凑微分)设F(u)为f(u)的原函数，即F'(u)=f(u)或Jf(u)du=F(u)+C如果u=3x)，且①(x)可微，则d-F即(x)]=F\u冲'(x)=f(u冲'(x)=f即(x)]6(x)dx即F[①(x)]为f[①(x加'(x)的原函数，或Jf[3x)]6(x)dx=F[①(x)]+C=[F(u)+C] =[Jf(u)du]因此有定理1设F(u)为f(u)的原函数，u=^(x)可微，则(2-1)Jf[①(x)]①'(x)dx=[Jf(u)du](2-1)u二甲(x)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。Jf殴(x)W(x)dx=Jf殴(x)]d①(x)=[Jf(u)du]u=P(x)Jf(ax+b)dx=J1f(ax+b)d(ax+b)=1[Jf(u)du]a a u=ax+b

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。常用凑微分公式dx=dx=d(ax+b)a1 .11dx=-d(1)X2 X7 17/ 、xdx=2d(x2)1dx=dInxx「=dx=「=dx=d&，沃)、；xcosxdx=dsinxexdx=dexsinxdx=-dcosx1dx1dx=sec2xdx=dtanxcos2x1dx=csc2xdx=—dcotxsin2x11dx=darctanx1+x2dx=darcsinx1—x2』——dx=X』(」-JLpdxx2—a2 2ax—ax+a一一f1d(x—a)—f1d(x+a)一一Jx—a 」x+a(In|x—a—Inx+a)+C(Inlx—a—Inx+a)+C1dx=1dx=a2—x22aInj配方dxa22j配方dxa22-x2=arcsinx+C（a〉0）

adx=J1^d（x）=1arctana+c七、第二换元法定理2设x=v(t)是单调的可导函数，且w'(t)中0，又设f[V(t)W'(t)具有原函数，则Jf(x)dx=Kf[V(t)M(t)dJ_ (2-2)t=V(x)其中t=V(x)为x=v(t)的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。例1求j\：'a2-x2dx， （a>0）解：令x=asint，--<t<—，则2 2因此有ya2一x2=acost，dx=acostdt，因此有JaaJaa2-x2dx=Jacostacostdt=a2Jcos2tdt1+cos21,

=a2j dt2a2 a2=——t+——sin21+Ca2a2a2a2=——t+——22sintcost+Ca2 .x a2xva2一x2.「一arcsin—+ +C2a2aaa2 .x,1二 ,「一arcsin—+—x\a2-x2+C2a2例2求jJdx,5〉0)+%27T TT解：令x-atant,--<t<—,则2 2+x2=asect,dx=ascc2tdt,因止匕有fdxf1 ,J, -=J asec2tatx'«2+X2asect-fseetdt=InIsec?+tan?I+C=InI +—I+C=InIx+弋X2+“2|+Caa i其中q=C-Ina。用类似方法可得―, =•——111lx+y'X2—d21+。-〃2第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：⑴&/2-12：x=asinr；x-acost(2)Jx2+〃2：x=atant；x=acott；x=ashti(3)Jx2—〃2：%=asect；x=acsct；x=acht(4)»Jax+binjax+b=t(5)⑹当被积函数含有，・疝工，有时倒代换#也奏效。八、分部积分法设m=〃(x),v=v(x),则有(〃□)，=+或d(uv)=vdu+udv

两端求不定积分，得1(uv)'dx=1vu'两端求不定积分，得1(uv)'dx=1vu'dx+1uv'dx或1d(uv)=1vdu+1udv即1udv=uv-1vdu(3-1)或1uv'dx=uv-1vu'dx(3-2)公式（3-1）或（3-2）称为不定积分的分部积分公式。分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取小v时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型例1.求1xcosxdx解：1xcosxdx=1xdsinx=xsinx-1sinxdx=xsinx+cosx+C例2.求 1x2exdx解：1解：1x2exdx=1x2dex=x2ex-1exdx2=x2ex-21xexdx=x2ex-2(xex-1exdx)=x2ex—2xex+2ex+C注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部分取为dv。

例3求fxynxdx角星： fxInxdx=—fInxdx^2=—，21nx-Jx2dlnxf]=21nx—Jxdx2—x21nx-—%2+C2|_ 2=—x2Inx--X2+C2 4例4求』xarctanxdx解： fxarctanxdx=—farctanxdx2[2arctan[2arctanx-\x^darctanx_1-21rrx2TOC\o"1-5"\h\z=-x2arctanx-J ax2 1+X2=—X2arctanx-J(1 )dx2[_ 1+X2_r 1=—arctanx-x+arctanC2注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是嘉函数与对数函数乘积或是嘉函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为〃，其余部分取为公O有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在』Mv= 中，口、V的选取有下面简单的规律:|Ll=P(X),V=Cox,sinax,cosaxm|Li=Inx,arctanx,arcsinx,v=P(x)m|Li=eax,v=cosPx,sinPx⑶会出现循环，注意由v选取的函数不能改变。

九、几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。有理函数Plxl先化为多项式和真分式上出之和，再把P2分解为若干Q(x) Q(x) Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现/〃=)(a2；：2)时，记得用递推公式：i= x +2n—3i)2a2(n-1)(x2+a2)n-12a2(n-1)n-1(2)三角函数有理式的积分tan—sinxsinx=cosx=rx1+tan2一2x-tan2一2一，x+tan2-』P(sinx,c0sx)dx可用变换t=tanx化为有理函数的积分，但由于计算较烦，Q(sinx,cosx) 2应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成包吧或立。再用待定系数cosxsinxA(acosx+bsinx)+B(a