平面向量的应用

第33讲 平面向量的应用1．一船从某河一岸驶向另一岸， 船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则 (B)A.|v1|<|v2|B.|v1|>|v2|C.|v1|＝|v2|D.|v1|与|v2|的大小不确定2．(2017新·课标卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(A)⊥．|a|＝|b|A．abBC．a∥bD．|a|>|b|＝|a－b|2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－(方法一)因为|a＋＝－，所以|a＋2.所以2b||ab|b|a2a·b，所以a·b＝0，所以a⊥b.(方法二)利用向量加法的平行四边形法则．→ →在?ABCD中，设AB＝a，AD＝b，→ →由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.→→→→→→→→3．已知O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，且PA·PB→→→→＝PB·PC＝PC·PA，则点O、N、P依次是△ABC的(C)A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心→→→由|OA|＝|OB|＝|OC|知，O为△ABC的外心．→→→由NA＋NB＋NC＝0知，N为△ABC的重心．→→→→→→→→→由PA·PB＝PB·PC?(PA－PC)·PB＝0?CA⊥PB，→→→→为△ABC的垂心．同理，AP⊥BC，CP⊥AB，所以P4．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为(D)A．[－2,2]B.[－2,3]C.[－3,2]D.[－3,3]因为a⊥b，所以2(x＋z)＋3(y－z)＝0，则z＝2x＋3y，x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，画出可行域如下：当z＝2x＋3y经过点A(0,1)时，z＝2x＋3y取得最大值3，当z＝2x＋3y经过点C(0，－1)时，z＝2x＋3y取得最小值－3.5．两人一起提重为|G|的书包时，两拉力的夹角为θ，每人用力均为|F|，则|F|与|G|的关系是|F|＝|G|θ.2cos2按力的平行四边形法则有|G||F|＝.θ2cos26．在正三角形ABC中，D是BC边上的点，若→→→→15AB＝3，DC＝2BD，则AB·AD＝.2如图，在△ABD中，→ → → → →AB·AD＝AB·(AB＋BD)→2 → →＝AB＋AB·BD→ →＝9＋|AB|·|BD|·cos120°159－2＝2.7．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2，3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围→→→成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝2，求→|OP|；3(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．2→→(1)因为m＝n＝3，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，→22所以OP＝3(1,2)＋3(2,1)＝(2,2)．→222.所以|OP|＝2＋2＝2→(2)因为OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n),x＝m＋2n，即 两式相减得： m－n＝y－x.y＝2m＋n，令y－x＝t，由图可知，当直线 y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值 1，故m－n的最大值为1.8．已知向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝( 2cos2 2A．2 B．4C．8 D．16

θ，

2sin

θ)(θ∈R)，实数

m，n满足

c因为c＝ma＋nb，所以( 2cosθ， 2sinθ)＝m(1,1)＋n(1，－1)，m＋n＝2cosθ，①所以m－n＝2sinθ，②①2＋②2得m2＋n2＝1.①＋②得m＝22π2cosθ＋2sinθ，即m＝sin(θ＋4)．所以－1≤m≤1.所以(m－3)2＋n2＝10－6m≤16，即(m－3)2＋n2的最大值为16.1→→，则a＝9．已知A(a,0)、B(3,2＋a)，直线y＝ax与线段AB的交点为M，且AM＝2MB2－4或2.→→设M(x)，由AM0－a，y00,0(x)＝2(3－x2＋a－y)，则x0－a＝6－2x0，1又y0＝ax0，y0＝4＋2a－2y0，23x0＝6＋a，所以1解得a＝－4或2.2ax0＝4＋2a－ax0，1110．如图，平行四边形OACB中，BD＝3BC，OD与BA相交于E，求证：BE＝4BA.→ →如图，设OA＝a，OB＝b，→1→1则BD＝3a，OD＝b＋3a，→设OE＝ma＋nb，m1因为O，E，D三点共线，所以n＝3.①→→→→AE＝OE－OA＝(m－1)a＋nb，AB＝b－a，m－1n又A，E，B三点共线，所以－