截面惯性矩材料力学

4.构件的强度计算当前第1页\共有78页\编于星期三\0点4.1截面的几何特征§Ⅰ-4的平行移轴公式§Ⅰ-2惯性矩和惯性半径§Ⅰ-3惯性积§Ⅰ-2惯性矩和惯性半径§Ⅰ-3惯性积§Ⅰ-2惯性矩和惯性半径当前第2页\共有78页\编于星期三\0点dzyz0hab定义Sy=∫AzdA

Sz=∫AydA

例：矩形截面，面积为A。求：

Sy

、Sz、SzC解：dy(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。dAzyyz1、静面矩（也叫面积矩简称静矩）zyzCyC§Ⅰ-1静矩和形心1）同一截面对不同轴的静矩不同；2）静矩可为正，负值或零；3）静矩的单位为m3;1）同一截面对不同轴的静矩不同；2）静矩可为正，负值或零；1）同一截面对不同轴的静矩不同；3）静矩的单位为m3;2）静矩可为正，负值或零；1）同一截面对不同轴的静矩不同；当前第3页\共有78页\编于星期三\0点1）形心公式：2、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：等于形心坐标当前第4页\共有78页\编于星期三\0点3.结论

当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形的形心。2.形心公式当前第5页\共有78页\编于星期三\0点3.组合图形的形心和面积矩1）组合图形

由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的图形。2）组合图形面积矩及形心的计算公式等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即当前第6页\共有78页\编于星期三\0点例1：求图示T形截面的形心及对z轴的静矩选坐标轴z1作为参考轴方法3）负面积法

Sz=(120

100

60)-2(

100

40

50)=32

10４mm31.求形心

Sz

＝(50+30)2(10020)＝3210４mm3方法2）不求形心

Sz

=AiyCi＝20100

110＋

20

100

50＝32

10４mm3知A=A1+A2

yC１＝60

yC２＝0２、求静矩方法1）z1zC2020100y100••••BⅠⅡzyC1当前第7页\共有78页\编于星期三\0点§I-2惯性矩、惯性积、极惯性矩1、惯性矩：(惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力）dAxyyxr它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为注意：1）同一截面对不同的轴惯性矩不同；2）惯性矩永远为正值；3）惯性矩的单位为m4;当前第8页\共有78页\编于星期三\0点3、极惯性矩：它是图形面积对极点的二次矩。2、惯性半径(单位为m)表达式为dAxyyxr

图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它对此二轴交点的极惯性矩当前第9页\共有78页\编于星期三\0点zyo例求圆形截面对形心轴的惯性矩。解：§I-3惯性积1.定义：图形对两个坐标轴的两个坐标之积的积分。当前第10页\共有78页\编于星期三\0点§I-3惯性积2.表达式：3.说明：1）同一图形对不同轴的惯性积不同；2）惯性积可正，可负，可为零。3）惯性积的单位：m44.结论：当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。zyA2A1bbh当前第11页\共有78页\编于星期三\0点返1.平行移轴定理：

以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC§Ⅰ-4平行移轴公式当前第12页\共有78页\编于星期三\0点r§Ⅰ-4平行移轴公式2.结论：B)当图形至少有一条轴是图形的对称轴时,则有A)在所有的平行轴中,图形对自身形心轴的惯性矩为最小。dAxyyxabCxCyC当前第13页\共有78页\编于星期三\0点例组合截面惯性矩的计算,求截面对ZC轴的惯性矩。返回2020100zy100••••A2ⅠⅡz2zc30z1A1解：1）写出A1，A2及其形心坐标a1；a22)求出A1和A2分别对自身形心轴的惯性矩3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩a1a2当前第14页\共有78页\编于星期三\0点dAzzzyaz1z1y1z1§I-5转轴公式及主惯性矩(简介)1.转轴公式:

当坐标轴绕原点转一个角度后,得到一个新的坐标轴时,转轴公式给出在新旧坐标轴下的惯矩及惯积的关系.当前第15页\共有78页\编于星期三\0点2)主惯性矩:相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩.2.三个公式:设新坐标系由原坐标系逆转α角而得,且有3.主轴及主惯性矩:1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为主轴.且当主轴为形心轴时,就称为形心主轴.用α0来表示主轴的方向.当前第16页\共有78页\编于星期三\0点杆件的拉压变形及强度计算

当前第17页\共有78页\编于星期三\0点目录一、概述二、杆件的轴向拉压变形分析三、材料在拉伸和压缩时的力学性质四、拉（压）杆的强度计算杆件的拉压变形及强度计算当前第18页\共有78页\编于星期三\0点古代建筑结构建于唐末（857年）的山西五台山佛光寺东大殿一、概述当前第19页\共有78页\编于星期三\0点古代建筑结构建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔塔高9层共67.31米，用木材7400吨900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔当前第20页\共有78页\编于星期三\0点古代建筑结构2200年以前建造的都江堰安澜索桥当前第21页\共有78页\编于星期三\0点古代建筑结构建于隋代（605年）的河北赵州桥桥长64.4米，跨径37.02米，用石2800吨当前第22页\共有78页\编于星期三\0点桥梁结构二当前第23页\共有78页\编于星期三\0点航空航天当前第24页\共有78页\编于星期三\0点强度：即抵抗破坏的能力刚度：即抵抗变形的能力稳定性：即保持原有平衡状态的能力

构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。构件的承载能力当前第25页\共有78页\编于星期三\0点四川彩虹桥坍塌当前第26页\共有78页\编于星期三\0点美国纽约马尔克大桥坍塌当前第27页\共有78页\编于星期三\0点拉压变形拉（压）、剪切、扭转、弯曲剪切变形杆件的基本变形：当前第28页\共有78页\编于星期三\0点扭转变形弯曲变形当前第29页\共有78页\编于星期三\0点二、杆件的轴向拉压变形分析当前第30页\共有78页\编于星期三\0点一、轴向拉伸和压缩的概念当前第31页\共有78页\编于星期三\0点当前第32页\共有78页\编于星期三\0点当前第33页\共有78页\编于星期三\0点当前第34页\共有78页\编于星期三\0点特点：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。杆的受力简图为FF拉伸FF压缩当前第35页\共有78页\编于星期三\0点当前第36页\共有78页\编于星期三\0点FF1、轴力：横截面上的内力2、截面法求轴力mmFFN切:假想沿m-m横截面将杆切开留:留下左半段或右半段代:将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替平:对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值FFN二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力当前第37页\共有78页\编于星期三\0点3、轴力正负号：拉为正、压为负4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。FFmmFFNFFN当前第38页\共有78页\编于星期三\0点轴力和轴力图已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11例题3-1FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。当前第39页\共有78页\编于星期三\0点三、应力概念、拉（压）杆横截面上的应力杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。必须用应力来比较和判断杆件的强度。当前第40页\共有78页\编于星期三\0点——横截面上的应力当前第41页\共有78页\编于星期三\0点——横截面上的应力当前第42页\共有78页\编于星期三\0点——横截面上的应力该式为横截面上的正应力σ计算公式。正应力σ和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。

根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：

当前第43页\共有78页\编于星期三\0点拉(压)杆横截面上的应力σ=MPaFN表示横截面轴力（N）A表示横截面面积（mm2）FFmmnnFFN当前第44页\共有78页\编于星期三\0点——横截面上的应力当前第45页\共有78页\编于星期三\0点截面上的应力例题3-2图示结构，试求杆件AB、CB的应力。已知F=20kN；斜杆AB为直径20mm的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。FABC解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点B为研究对象45°12FBF45°当前第46页\共有78页\编于星期三\0点截面上的应力2、计算各杆件的应力。FABC45°12FBF45°当前第47页\共有78页\编于星期三\0点三、材料在拉伸和压缩时的力学性质教学目标：1.拉伸、压缩试验简介；

2.应力-应变曲线分析；

3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质；

4.试件的伸长率、断面收缩率计算。教学重点：1.应力-应变曲线分析；

2.材料拉、压时的力学性质。教学难点：应力-应变曲线分析。

小结:塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。作业:复习教材相关内容。当前第48页\共有78页\编于星期三\0点1、材料拉伸时的试件力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学性能试件和实验条件常温、静载§2-4当前第49页\共有78页\编于星期三\0点2、材料拉伸时的设备当前第50页\共有78页\编于星期三\0点3、材料拉伸时的应力－应变曲线低碳钢的拉伸当前第51页\共有78页\编于星期三\0点明显的四个阶段1、弹性阶段ob比例极限弹性极限2、屈服阶段bc（失去抵抗变形的能力）屈服极限3、强化阶段ce（恢复抵抗变形的能力）强度极限4、局部径缩阶段ef当前第52页\共有78页\编于星期三\0点材料拉伸时的两个塑性指标两个塑性指标:断后伸长率断面收缩率为塑性材料为脆性材料低碳钢的为塑性材料当前第53页\共有78页\编于星期三\0点4.卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化1、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载即材料在卸载过程中应力和应变是线形关系，这就是卸载定律。材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。当前第54页\共有78页\编于星期三\0点5、其他材料拉伸时的力学性质其它材料拉伸时的力学性质对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限σp0.2来表示。当前第55页\共有78页\编于星期三\0点6、铸铁材料拉伸时的力学性质对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为0.5%。为典型的脆性材料。

σbt—拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材料（铸铁）拉伸的唯一强度指标。当前第56页\共有78页\编于星期三\0点7、材料压缩时的力学性质试件和实验条件常温、静载§2-5当前第57页\共有78页\编于星期三\0点8、塑性材料压缩时的力学性质塑性材料（低碳钢）的压缩屈服极限比例极限弹性极限拉伸与压缩在屈服阶段以前完全相同。E---弹性摸量当前第58页\共有78页\编于星期三\0点9、脆性材料压缩时的力学性质脆性材料（铸铁）的压缩脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限当前第59页\共有78页\编于星期三\0点当前第60页\共有78页\编于星期三\0点四、拉（压）杆的强度计算教学目标：1.许用应力和安全系数；

2.拉、压杆的强度条件；

3.拉、压杆的变形计算。教学重点：1.拉、压杆的强度校核；

2.杆件截面尺寸设计。教学难点：拉、压杆的变形量计算。

小结:杆件强度校核及尺寸设计。当前第61页\共有78页\编于星期三\0点许用应力和安全系数极限应力：材料丧失正常工作能力时的应力。塑性变形是塑性材料破坏的标志。屈服点为塑性材料的极限应力。断裂是脆性材料破坏的标志。因此把抗拉强度和抗压强度，作为脆性材料的极限应力。许用应力：构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。塑性材料：[]=脆性材料：[]=ns

、n

b是安全系数:ns

=1.2～2.5nb

＝2.0～3.5

1.许用应力和安全系数五、拉（压）杆的强度计算当前第62页\共有78页\编于星期三\0点2、拉压杆的强度条件根据强度条件，可以解决三类强度计算问题1、强度校核：2、设计截面：3、确定许可载荷：当前第63页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的强度条件例题3-3解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。由于结构几何和受力的对称性，两斜杆的轴力相等，根据平衡方程F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。FF得2、强度校核由于斜杆由两个矩形杆构成，故A=2bh，工作应力为斜杆强度足够F当前第64页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的强度条件例题3-4D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直径。每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：油缸盖受到的力根据强度条件即螺栓的轴力为得即螺栓的直径为当前第65页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的强度条件例题3-5

AC为50×50×5的等边角钢，AB为10号槽钢，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象2、根据斜杆的强度，求许可载荷AFα查表得斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2当前第66页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的强度条件3、根据水平杆的强度，求许可载荷AFα查表得水平杆AB的面积为A2=2×12.74cm24、许可载荷当前第67页\共有78页\编于星期三\0点六、拉压杆的变形虎克定律一纵向变形二横向变形钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33E为弹性摸量,EA为抗拉刚度泊松比横向应变当前第68页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的变形虎克定律当前第69页\共有78页\编于星期三\0点拉压杆的变形虎克定律当前第70页\共有78页\编于星期三\0点拉(压)杆的变形1.绝对变形:

规定：L—等直杆的原长

d—横向尺寸

L1—拉(压)后纵向长度

d1—拉(压)后横向尺寸轴向变形：

横向变形：拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。

轴向变形和横向变形统称为绝对变形。当前第71页\共有78页\编于星期三\0点拉(压)杆的变形2.相对变形：

单位长度的变形量。＝-

和′都是无量纲量，又称为线应变，其中称为轴向线应变，′称为横向线应变。

3.横向变形系数：′＝/当前第72页\共有78页\编于星期三\0点虎克定律：实验表明，对拉(压)杆，当应力不超过某一限度时，杆的轴向变形与轴力FN成正比，与杆长L成正比，与横截面面积A成反比。这一比例关系称为虎克定律。引入比例常数E，其公式为:E为材料的拉(压)弹性模量，单位是GPa

FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。

由此，当轴力、杆长、截面面积相同的等直杆,E值越大，就越小，所以E值代表了材料抵抗拉(压)变形的能力，是衡量材料刚度的指标。或当前第73页\共有78页\编于星期三\0点例题3-6：如图所示杆