统计学原理第三章综合指标

统计学原理第三章综合指标第一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三用统计指标去概括和分析现象总体的数量特征和数量关系的方法，就叫综合指标法，简称综合指标。综合指标从作用和方法特点的角度可概括为三类：总量指标（又称绝对指标）、相对指标和平均指标。第二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三第一节总量指标一、总量指标的概念和作用总量指标是反映社会经济现象在一定时间、地点、条件下的总规模或总水平的统计指标。总量指标也称为绝对指标或绝对数。注：是一个有名数，非抽象的绝对数。有时还可以表现为总量之间的绝对差数。第三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三总量指标在社会经济统计中的作用：1、它可以反映一个国家的基本国情和国力，反映某部门、单位等人、财、物的基本数据。2、它是制定政策、编制计划、实行社会经济管理的基本依据之一。3、它是计算相对指标、平均指标以及各种分析指标的基础指标，其他指标都是总量指标的派生指标。第四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三二、总量指标的种类(一)总量指标按其反映的内容不同，分为总体单位总量和总体标志总量总体单位总量表示总体单位总数，反映规模大小；总体标志总量则说明总体特征的总数量。(二)总量指标按其反映的时间状况不同，分为时期指标和时点指标时期指标反映现象在某一时期发展过程的总数量；时点指标则反映现象在某一时刻上的状况总量。第五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三时期指标和时点指标的不同特点：1、时期指标的数值是连续计数的；时点指标的数值则是间断计数的。2、时期指标具有累加性；时点指标则不具有。3、时期指标数值的大小受时期长短的制约；时点指标数值的大小与时点的间隔长短无直接关系。第六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三三、总量指标的计算总量指标的计算需注意：1、必须注意现象的同类性；2、必须明确每项总量指标的统计涵义；3、必须做到计量单位一致。计量单位分为：实物单位、货币单位和劳动单位。实物单位包括：自然单位、度量衡单位、双重或多重单位以及复合单位。货币单位有现行价格和不变价格之分。劳动单位也是一种复合单位。第七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三第二节相对指标一、相对指标的概念和作用相对指标又称相对数，它是两个有联系的指标数值对比的结果。注：用来对比的两个数既可以是绝对数，也可以是平均数和相对数。第八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三相对指标的主要作用：1、能具体表明社会经济现象之间的比例关系。2、能使一些不能直接对比的事物找出共同比较的基础。3、相对指标便于记忆、易于保密。相对指标的表现形式：有名数、无名数。有名数是将对比的分子指标和分母指标的计量单位结合起来使用。无名数是一种抽象化的数值，一般分为系数、倍数、成数、百分数、千分数等。第九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三二、相对指标的种类和计算方法相对指标通常分为：计划完成相对指标、结构相对指标、比例相对指标、比较相对指标、强度相对指标和动态相对指标。（一）计划完成相对指标：1、概念：又称计划完成百分比，通常用“%”表示。第十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三2、计划完成相对数的计算：(1)根据总量指标计算(2)根据相对指标计算(3)根据平均指标计算3、计划执行进度的考核：第十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三4、长期计划的检查：(1)水平法(2)累计法第十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三5、计划完成相对数的作用：(1)可以准确地说明各项计划指标的完成程度，为搞好经营管理提供依据。(2)可以反映计划执行进度，以便及时发现问题，提出措施，推动经济建设的良好发展。(3)可以反映经济计划执行中的薄弱环节，鼓励执行计划的落后者向先进者看齐，为组织新的平衡提供依据。第十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）结构相对指标作用：1、可以反映总体内部结构的特征。2、通过不同时期相对数的变动，可以看出事物的变化过程及其发展趋势。3、能反映对人力、物力、财力的利用程度及生产经营效果的好坏。第十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（三）比例相对指标（四）比较相对指标作为比较基数的分母可取不同的对象，一般有两种情况：1、比较标准是一般对象。2、比较标准(基数)典型化。第十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（五）强度相对指标1、强度相对数的概念强度相对数的两种表示方法：(1)一般用复名数表示。(2)少数用百分数或千分数表示。注：强度相对数不是平均数，不是同质总体的标值总量与总体单位数之比。第十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三2、强度相对数的正逆指标如：前者是从正方向说明现象的密度，后者是从相反方向说明现象的密度。第十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三3、强度相对数的作用(1)说明一个国家、地区、部门的经济实力或为社会服务的能力。(2)反映和考核社会经济效益。(3)为编制计划和长远规划提供参考依据。第十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（六）动态相对指标作为对比标准的时间叫做基期，而同基期比较的时期叫做报告期，有时也称为计算期。动态相对数的计算结果用百分数或倍数表示。第十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三三、正确运用相对指标的原则（一）注意两个对比指标的可比性（二）相对指标要和总量指标结合起来运用结合运用的方法有两种：一是计算分子与分母的绝对差额；二是计算每增长1%的绝对值。增长量=报告期水平-基期水平增长1%绝对值第二十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（三）多种相对指标结合运用（四）在比较两个相对指标时，是否适宜相除再求一个相对指标，应视情况而定第二十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三第三节平均指标一、平均指标的概念和作用（一）平均指标的概念：又称平均数平均指标是说明同质总体内某一数量标志在一定历史条件下一般水平的综合指标。特点：1、将数量差异抽象化（数量标志）2、只能就同类现象计算3、能反映总体变量值的集中趋势第二十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）平均指标的作用1、平均指标可用于同类现象在不同空间条件下的对比。2、平均指标可用于同一总体指标在不同时间的对比。3、平均指标可作为论断事物的一种数量标准或参考。4、平均指标也可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。第二十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三算术平均数、调和平均数、几何平均数等是根据分布数列中各单位的标志值计算而来的，称数值平均数。众数和中位数等是根据分布数列中的某些标志值所处的位置来确定的，称位置平均数。第二十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三二、算术平均数（一）算术平均数的基本公式（最基本指标）注：平均指标和强度相对数的区别分子和分母在经济内容上有从属关系，即分子数值是各分母单位特征的总和，两者在总体范围上是一致的。第二十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三(二)简单算术平均数(未分组)(三)加权算术平均数(分组后的单项数列或组距数列)X代表变量，f代表次数，也称频数。在统计上把次数称为权数。用加权方法计算的算术平均数叫做加权算术平均数。第二十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三变量数列的权数有两种形式：一种是以绝对数表示，称次数或频数；另一种是以比重表示，称频率。用频率计算的公式和直接用次数计算的公式在内容上是相等的，即第二十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三组距数列中，以组中值代表该组标志值X，然后计算加权算术平均数。注：该计算方法具有一定的假定性。即假定各单位标志值在组内是均匀分配的。加权算术平均数与简单算术平均数不同之处：加权算术平均数受到两个因素的影响，即变量值大小和次数多少的影响；而简单算术平均数只反映变量值大小这一因素的影响。第二十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（四）算术平均数的数学性质1、算术平均数与总体单位数的乘积等于总体各单位标志值的总和。根据平均数与次数可以推算出总体标志总量。2、如果每个变量值都加或减任意数值A，则平均数也要增多或减少这个数A。3、如果每个变量值都乘以或除以一个任意数值A，则平均数也乘以或除以这个数A。第二十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三4、各个变量值与算术平均数的离差之和等于零。第三十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三5、各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值。第三十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三算术平均数有两点不足：1、算术平均数易受极端变量值的影响，使的代表性变小，而且受极大值的影响大于受极小值的影响。2、当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使的代表性也不很可靠。第三十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三三、调和平均数调和平均数又称“倒数平均数”，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。简单调和平均数和加权调和平均数第三十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数，一般把它作为算术平均数的变形来使用，且两者计算结果相同。即m是一种特定权数，它是各组标志总量。第三十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三(一)由平均数计算平均数时调和平均数法的应用某商品在三个贸易市场上的销售情况市场平均价格(元/千克)X销售量(千克)fXf

甲2.003000060000

乙2.502000050000

丙2.402500060000

合计75000170000第三十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某商品平均价格计算表市场平均价格(元/千克)X销售额(元)mm/X

甲2.006000030000

乙2.505000020000

丙2.406000025000

合三十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三(二)由相对数计算平均数时调和平均数法的应用某公司各企业计划完成程度情况工厂计划完成程度(%)X计划产值(万元)fXf甲9512001140乙1051280013440丙11520002300合计1600016880第三十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某公司各企业平均计划完成程度计算表工厂计划完成程度(%)X实际产值(万元)mm/X

甲9511401200

乙1051344012800

丙11523002000

合计1688016000第三十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三从上述两例中看出，若掌握权数资料是基本公式的母项数值，则直接采用加权算术平均数形式；若掌握权数资料是基本公式的子项数值，则须采用调和平均数形式。调和平均数特点：1、如果数列中有一标志值等于零，则无法计算；2、它作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，它受极小值的影响大于受极大值的影响，但较之算术平均数，受极端值的影响要小。第三十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三四、几何平均数几何平均数又称“对数平均数”，它是若干项变量值连乘积开其项数次方的算术根。（一）简单几何平均数在实际工作中，常用即几何平均数是各个变量值对数的算术平均数的反对数。第四十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某工业产品产量平均发展速度计算表年份产品产量逐年发展速度(X)逐年发展速度的

(亿吨)(各年产量为前一年的%)对数(lgX)19979.80199810.54107.62.0319199910.80102.52.0107200010.87100.62.0025200111.16102.72.0115200211.41102.22.0094合计10.0660第四十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）加权几何平均数当各个变量值的次数（权数）不相同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为将公式两边取对数，则为第四十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某投资银行年平均利率计算表年利率发展速度年数年利率发展速度的对数flgX(%)XflgX10312.01282.012810542.02128.084810882.033416.2672110102.041420.414011522.06074.1214

合计2550.9002第四十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三几何平均数特点：1、如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算；2、受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健；3、它适用于反映特点现象的平均水平，即现象的总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积。第四十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三五、众数（一）众数的概念众数是总体中出现次数最多的标志值，它能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么，合起来就是复众数。注：众数存在的条件是总体的单位数较多，各标志值的次数分配又有明显的集中趋势时才存在众数。第四十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）众数的计算方法1、单项数列确定众数的方法——观察次数，出现次数最多的标志值就是众数。2、组距数列确定众数的方法——观察次数。首先由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法推算众数的近似值。其计算公式为下限公式：（一般采用）上限公式：第四十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三组距数列的众数M0，一定位于次数分配直方图中最高一组的组距内的某个值，该值就是分布曲线最高峰的横坐标值，又称峰值。众数的特点：1、众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口数组列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性；2、众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。第四十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三六、中位数（一）中位数的概念现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。第四十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）中位数的计算方法1、由未分组资料确定中位数。若总体单位数是奇数，则居于中间位置的那个单位的标志值就是中位数。若总体单位数是偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。第四十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三2、由单项数列确定中位数。求中位数位置=计算各组的累计次数(向上累计次数或向下累计次数)根据中位数位置找出中位数。第五十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某厂工人日产零件中位数计算表按日产零件分组工人数向上累计次数向下累计次数（件）（人）

26338031101377321427673427545336187226418808

合计80第五十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三3、由组距数列确定中位数。先按的公式求出中位数所在组的位置，然后再用比例插值法确定中位数的值。下限公式（向上累计时用）：上限公式（向下累计时用）：第五十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三中位数的特点：1、与众数一样，也是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。2、各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。3、对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象，可用中位数求其一般水平。第五十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三七、各种平均数之间的相互关系（一）算术平均数、几何平均数和调和平均数三者的关系（二）算术平均数、众数和中位数三者的关系1、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。2、当总体分布呈右偏时，则3、当总体分布呈左偏时，则第五十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三当分布偏态时，三者之间的数量关系是：若则说明分布右偏若则说明分布左偏若则说明分布对称第五十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三八、正确运用平均指标的原则（一）平均指标只能运用于同质总体（二）用组平均数补充说明总平均数（三）用分配数列补充说明平均数第五十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三第四节标志变动度一、标志变动度的意义和作用（一）标志变动度的概念即“标志变异指标”，是指总体中各单位标志值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。平均指标：共性标志变动度：差异性第五十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）标志变动度的作用1、标志变动度是评价平均数代表性的依据。标志变动度愈大，平均数代表性愈小；标志变动度愈小，平均数代表性愈大。2、标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济生活过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定性程度。测定标志变动度的方法：全距、四分位差、平均差、标准差、离散系数。第五十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三二、全距（一）全距的概念与计算又称“极差”，是总体各单位标志的最大值和最小值之差，用以说明标志值变动范围的大小。（二）全距的特点计算方便，易于理解。但很粗略，不全面。开口组时无法求全距。第五十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三三、四分位差（一）四分位差的概念把一个变量数列分为四等分，形成三个分割点(Q1、Q2、Q3)，这三个分割点的数值就称为四分位数。其中Q2就是中位数。四分位差就是第三个四分位数Q3与第一个四分位数Q1之差。

Q.D.=Q3-Q1第六十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三(二)四分位差的计算1、根据未分组资料求Q.D.。2、根据分组资料求Q.D.。步骤：确定Q1与Q3的位置；第六十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三求向上累计次数，在累计次数中找出Q1与Q3所在组。若是单项数列，则Q1与Q3所在组的标志值就是Q1与Q3的数值；若是组距数列，确定了Q1与Q3所在组后，还要用以下公式求近似值第六十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某企业工人日产量的四分位差计算表按日产量分组工人数向上累计次数向下累计次数（千克）（人）

60以下101016460~70192915470~80507913580~90361158590~1002714249100~1101415622110以上81648

合计164第六十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三四分位差能对开口组数列的差异程度进行测定。但类同全距，四分位差也是一个比较粗略的指标。不能反映所有标志值的差异程度。第六十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三四、平均差（一）平均差的概念和计算平均差是各单位标志值对平均数的离差绝对值的平均数。计算公式为：1、未分组资料：2、分组资料：第六十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某乡耕地化肥施用量的平均差计算表按每亩耕地化肥耕地面积组中值总施肥量X-|X-|f施用量分组(千克)(万亩)fX(万千克)Xf

5~10307.5225-8.85265.510~157012.5875-3.85269.515~2010017.517501.1511520~255022.511256.15307.525~301027.527511.15111.5

合计26042501069第六十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）平均差的特点：对整个变量值的离散趋势有充分的代表性。但计算方法不适用于代数方法的演算，应用受限制。在实际应用中，可用中位数Me代替算术平均数。第六十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期三五、标准差（一）标准差的概念和计算标准差是各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，又称“均方差”。1、未分组资料：2、分组资料：第六十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期三计算标准差的一般步骤：算出每个变量对平均数的离差；将每个离差平方；计算这些平方数值的算术平均数；把得到的数值开方，即得到σ。第六十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期三某企业工人日产量的标准差计算表按日产量分组工人数组中值X-(X-)2f(千克)(人)fX

60以下1055-27.627628.644060~701965-17.625898.823670~805075-7.622903.220080~9036852.38203.918490~100279512.384138.1388100~1101410522.387012.1016110以上811532.388387.7152

合计16436172.5616第七十页，共八十二页，编辑于2023年，星期三（二）标准差与平均差的关系

A.D.≤σ第七十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期三六、离散系数全距、四分位差、平均差、标准差都是绝对指标，都与平均指标有相同的计量单位。不宜直接来比较不同水平数列之间的标志离散程度。离散系数也称为标志变动系数。最常用的是根据标准差与算术平均数对比的离散系数，称作“标准差系数”。第七十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期三例如：有两个不同水平的工人日产量（件）资料：甲组：60，65，70，75，80乙组：2，5，7，9，12由此计算得：计算其离散系数来比较：第七十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期三练习题一、单项选择题：1、某地区有10万人，共有80家医院。平均每家医院要服务1250人，这个指标是（）

1平均指标2强度相对指标

3总量指标4发展水平指标2、加权调和平均数有时可作为加权算术平均数的（）

1变形2倒数3平均数4开平方3、某工业企业的某种产品成本，第一季度是连续下降的。1月份产量750件，单位成本20元；2月份产量1000件，单位成本18元；3月份产量1500件，单位成本15元。则第一季度的平均单位成本为（）第七十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期三4、有甲乙两个数列，若甲的全距大于乙的全距，那么（）5、权数对加权算术平均数的影响，决定于（）

1各组标志值的数值大小2权数的绝对数多少

3各组单位数占总体单位数比重的大小

4总体单位数的多少6、标准差系数抽象为（）

1总体指标数值大小的影响

2总体单位数多少的影响

3各组单位数占总体单位总数比重的影响

4平均水平高低的影响第七十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期三7、已知4个水果商店苹果的单价和销售额，要求计算4个商店苹果的平均单价，应该采用（）

1简单算术平均数2加权算术平均数

3加权调和平均数4几何平均数8、如果分配数列把频数换成频率，那么方差（）

1不变2增大3减小4无法预期其变化9、今有两组大学生按年龄分配的资料如下：周岁各组大学生数第一组第二组

18以下218~2017820~2291222~24