江苏省常州市市第四高级中学2022年高三数学文模拟试题含解析

江苏省常州市市第四高级中学2022年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是 A. B. C. D.参考答案：D2.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，D为AA1的中点．M、N分别是BB1、CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N．当M，N运动时，下列结论中不正确的是(

) A．平面DMN⊥平面BCC1B1 B．三棱锥A1﹣DMN的体积为定值 C．△DMN可能为直角三角形 D．平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]参考答案：C考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由BM=C1N，得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，可得平面DMN⊥平面BCC1B1；由△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．解答： 解：如图，当M、N分别在BB1、CC1上运动时，若满足BM=C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，而DO⊥平面BCC1B1，∴平面DMN⊥平面BCC1B1，A正确；当M、N分别在BB1、CC1上运动时，△A1DM的面积不变，N到平面A1DM的距离不变，∴棱锥N﹣A1DM的体积不变，即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值，B正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC1，而此时DM，DN的长大于BB1，∴△DMN不可能为直角三角形，C错误；当M、N分别为BB1，CC1中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C1重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C1BC，等于．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，]，D正确．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．3.如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以排除D．故选B．【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．4.命题p：若λ=0，则=0；命题q：?x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若λ=0，则=，故命题p为假命题；当x0=1时，x0﹣1﹣lnx0=0，故命题q为真命题，故p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；（￢p）∧q为真命题，故选：D5.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是

85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为(

)

(A)6

(B)7(C)8

(D)9参考答案：D略6.设随机变量服从正态分布，若，则A.

B.

C.

D.

参考答案：D略7.函数的定义域为（）A．[0，+∞） B．（﹣∞，2] C．[0，2] D．[0，2）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的对数式大于等于0，分式的分母不等于0，列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：由，解得0≤x＜2．∴函数的定义域为：[0，2）．故选：D．8.设复数z满足z（1+i）=|﹣i|（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的代数运算法则，求出z的值，再判断复数z在复平面内对应点的位置．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|﹣i|（i是虚数单位），则z====1﹣i∴复数z在复平面内对应的点Z（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．9.若函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣1） D．（1，+∞）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】由函数f（x）=x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．【解答】解∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时f（x）有极大值．当x=1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．只需，解得﹣2＜a＜2．故选A．【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．10.过双曲线(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：A因为，所以是的中点。设右焦点为,则也是抛物线的焦点。连接,则，且,所以，设，则，则过点F作轴的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，解得，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．参考答案：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有，∴n=10，∴最小正方形的边长为，故答案为.

12.已知向量夹角为，且=_________参考答案：13.在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的

.参考答案：14.某高中学校三个年级共有团干部56名，采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了3人，则高一年级团干部的人数为________．参考答案：24【分析】利用分层抽样的定义即可得到结论。【详解】某高中学校三个年级共有团干部名，采用分层抽样的方法从中抽取人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了人，高一年级团干部的人数为：，故答案为24。【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题15.设向量与的夹角为，且，，则

．参考答案：16.类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

.参考答案：17.由曲线与直线所围成的图形的面积是

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数。(1)若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；(2)若，求方程在区间内实根的个数（为自然对数的底数）.参考答案：（1）则

………5分（2)设，，令

………7分极大所以，原问题

………10分又因为设（）所以在上单调递增，所以有两个交点

………12分19.设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．综上实数a的取值范围是a＞．20.已知函数，．（1）解不等式；（2）若对于，，有，，求证：．参考答案：（1）；（2）证明见解析.试题分析：（1）解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式可证明.试题解析：（1）解：，即，解得．（2）证明：．考点：绝对值不等式的解法.21.（本小题满分12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

⑴求；

⑵若，求面积的最大值．

参考答案：解：⑴由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinA

…………①又因为，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC…………②由①②和得：sinB=cosB又,所以⑵，由已知和余弦定理得：又，所以，当且仅当a=c时等号成立.的最大值为.

略22.设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，函数的图像恒在直线的下方，求c的取值范围．参考答案：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，

因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．

即解得a=-3，b=4．

（Ⅱ