安徽省合肥市皖安中学高三数学文联考试卷含解析

安徽省合肥市皖安中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，均为非零向量，若|（+）?|=|（﹣）?|，则（）A．∥ B．⊥ C．∥或∥D．⊥或⊥参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据数量积的意义，对已知等式去掉绝对值，分情况得到向量关系．【解答】解：因为，，均为非零向量，若|（+）?|=|（﹣）?|，所以（+）?=（﹣）?，或者（+）?=﹣，展开整理得到=0，或者=0，所以或；故选D．2.李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．3.已知，若关于的方程没有实根，则的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.设集合，，若,则的值是

（

）

A．1 B．0

C．－1

D．1或－1参考答案：C5.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为A． B．

C．

D．参考答案：C6.设定义域为R的函数若函数有7个零点，则实数的值为（

）A．0B．C．D．参考答案：D代入检验，当时，，有2个不同实根，有4个不同实根，不符合题意；当时，，有3个不同实根，有2个不同实根，不符合题意；当时，，作出函数的图象，得到有4个不同实根，有3个不同实根，符合题意.选D.7.复数（i是虚数单位）的模等于(

)A． B．10 C． D．5参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】首先将复数化简为a+bi的形式，然后求模．【解答】解：=1+=3+i，故模为；故选：A．【点评】本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法；属于基础题．8.已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4 D．2参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．9.设全集,，，则

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B

由则，，所以故选B。【思路点拨】先求出A的补集，再求结果。10.（5分）已知z∈C，映射的实部，则3+4i的像为（）A．B．C．D．参考答案：C由题意可得：3+4i的像为的实部，化简得===，故其实部为，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）＝－x2＋ax－2b．若a，b都是区间[0,4]内的数，则使f（1）>0成立的概率是．参考答案：9/64略12.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135.075.516.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸．参考答案：82【考点】等差数列的通项公式．【分析】设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故答案为：82．13.已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为__________．参考答案：14.在△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，则A等于

参考答案：15.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为

，体积为

．参考答案：，16.已知锐角三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,则的取值范围是

．参考答案：17.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点。

（I）求证：平面CFB1⊥平面EFB1；

（Ⅱ）若求三棱锥B1一EFC的体积为l，求此正方体的棱长．参考答案：略19.（14分）（2012?包头三模）设函数f（x）=xex，g（x）=ax2+x（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）求f（x）的导数，可得单调区间，由极值点可得a值，可验证符合题意；（Ⅱ）可转化为f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立，令F（x）=ex﹣ax﹣1，可得导数F′（x）=ex﹣a，对a进行分类讨论可得结论．解答：（I）∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，…（2分）当x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增…（4分）又g′（x）=2ax+1，由g′（﹣1）=﹣2a+1=0，得a=，此时g（x）=x2+x=，显然g（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减，在（﹣1，+∞）内单调递增，故a=．…（6分）（II）当x≥0时恒有f（x）≥g（x），即f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立．…（7分）故只需F（x）=ex﹣ax﹣1≥0恒成立，对F（x）求导数可得F′（x）=ex﹣a．…（8分）∵x≥0，∴F′（x）=ex﹣a，若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，从而当x≥0时，F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）若a＞1，则当x∈（0，lna）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，从而当x∈（0，lna）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．故a的取值范围为：a≤1﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．20.（本小题满分12分）已知函数．(I)若恒成立，求实数的值；(Ⅱ)若方程有一根为,方程的根为，是否存在实数，使若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，说明理由，参考答案：⑴解:注意到函数的定义域为,

所以恒成立恒成立,

设,

则,

------------2分

当时,对恒成立,所以是上的增函数,注意到,所以时,不合题意.-------4分

当时,若,;若,.

所以是上的减函数,是上的增函数,

故只需.

--------6分

令,

,

当时,;当时,.

所以是上的增函数,是上的减函数.

故当且仅当时等号成立.

所以当且仅当时,成立,即为所求.

--------8分⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意;

当时,是上的增函数,对,有，所以没有大于的根,不合题意.

---------8分

当时,由解得,若存在,

则,即,

令,,

令,当时,总有,

所以是上的增函数,即,

故,在上是增函数,所以,即在无解.综上可知,不存在满足条件的实数.

----------------------12分21.（本小题满分14分）（理）设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）如果存在,使得成立,求的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．参考答案：（1），，①a≤0，h'（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0，，，函数h（x）的单调递增区间为，，，函数h（x）的单调递减区间为（2）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M，考察g（x）=x3﹣x2﹣3，，x020﹣0+

g（x）﹣3递减极（最）小值递增1由上表可知：，，∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=，所以满足条件的最大整数M=4；（3）当时，恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，记h（x）=x﹣x2lnx，所以a≥hmax（x），又h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则h′（1）=0．记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间上递增，记h'（x）=（1﹣x）﹣2lnx，x∈（1，2]，1﹣x＜0,xlnx＞0，h'（x）＜0,即函数=x﹣x2lnx在区间（1，2]上递减,∴x=1,取到极大值也是最大值=1.

∴a≥122.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1（n∈N*）（1）证明：an+2﹣an=4．（2）求数列{an}的通项公式．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由anan+1=4Sn﹣1，可得当n≥2时，an﹣1an=4Sn﹣1﹣1，an≠0，两式相减可得an+1﹣an﹣1=4；（2）由（1）可得数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出数列{an}的通项公式．【解答】（1）证明：∵anan+1=4Sn﹣1，∴当n≥2时，an﹣1an