浙江省宁波市余姚小曹娥镇中学高二数学理期末试题含解析

浙江省宁波市余姚小曹娥镇中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点在双曲线上、则?=(

)A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F1、F2，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．【解答】解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2﹣y2=2，于是两焦点坐标分别是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，则，∴?=故选C【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．2.已知

，则S1,S2,S3的大小关系为（

）A.S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1 D．.S3＜S2＜S1 参考答案：B略3.已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是(

)A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7参考答案：C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．4.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B． C．2 D．参考答案：C【考点】基本不等式．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．5.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）A.(－2,0)∪(0,2) B.(－2,0)C.(0,2) D.(－2,0)∪(2,+∞)参考答案：D【分析】先令，对求导，根据题中条件，判断函数单调性与奇偶性，作出的图像，结合图像，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，，所以，即在上单调递增；又为奇函数，所以，因此，故为偶函数，所以在上单调递减；因为，所以，故；作出简图如下：由图像可得，的解集为.故选D【点睛】本题主要考查函数单调性、奇偶性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，属于常考题型.6.已知全集，集合，那么集合的子集有（

）A.6个B.7个C.8个D.9个参考答案：C7.无穷数列1，3，6，10…的通项公式为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C

8.设全集，，,

则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.用更相减损术得111与148的最大公约数为（）A．1 B．17 C．23 D．37参考答案：D【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；综合法；推理和证明．【分析】用更相减损术求111与148的最大公约数，先用大数减去小数，再用减数和差中较大的数字减去较小的数字，这样减下去，知道减数和差相同，得到最大公约数．【解答】解：用更相减损术求111与148的最大公约数．148﹣111=37，111﹣37=7474﹣37=37，∴111与148的最大公约数37，故选：D．【点评】本题考查辗转相除法和更相减损术，这是案例中的一种题目，这种题目解题时需要有耐心，认真计算，不要在数字运算上出错．10.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩Z={0，1，2}，则A∩Z中所有元素的和为0+1+2=3，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．参考答案：

解析：垂直时最大

12.已知，，若，或，则m的取值范围是_________参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。而对，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①当时，，不符合(*)式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。13.在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能是

▲

．参考答案：略14.抛物线形拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米后，则水面宽是

米参考答案：15.已知向量，且，则

参考答案：或16.曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；参考答案：略17.已知抛物线，为其焦点，为抛物线上的任意点，则线段中点的轨迹方程是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：使用年数246810售价16139.574.5（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：=，=y﹣）（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价﹣收购价）参考答案：【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数L（x）=y﹣w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求线性回归直线方程为…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）…L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）…x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减…所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…19.已知动圆过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切． （l）求动圆的圆心轨迹C的方程 （2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，使以PQ为直径的圆过原点？ 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）如图，设M为动圆圆心，根据圆M与直线x=﹣1相切可得|MF|=|MN|，结合抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，从而解决问题； （2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在． 【解答】解：（1）如图．设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=﹣1的垂线，垂足为N， 由题意知：|MF|=|MN|… 即动点M到定点F与定直线x=﹣1的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线， ∴动点R的轨迹方程为y2=4x

… （2）由题可设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0）， 由得y2﹣4ky+4k=0△=16k2﹣16＞0，k＜﹣1或k＞1… 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4k，y1y2=4k 因为以PQ为直径的圆过原点， 则，即，于是x1x2+y1y2=0

… 即k2（y1﹣1）（y2﹣1）+y1y2=0， ∴ ∴4k（k2+1）﹣k24k+k2=0，解得k=﹣4或k=0（舍去） 又k=﹣4＜﹣1，∴直线l存在，其方程为x+4y﹣4=0… 【点评】本小题主要考查曲线与方程，直线和抛物线等基础知识，以及求解存在性问题的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力． 20.（本小题满分12分）在数列中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求证：为等比数列；（Ⅲ）求的前项积.参考答案：（Ⅰ）

-----------------------1分

-----------------------2分（Ⅱ）-----------------5分∴为等比数列，公比为

----------------------6分（Ⅲ）设数列的前项和为

-----------------------8分∴，

-----------------------10分∴

-----------------------12分21.(本小题满分16分)在等比数列中，前项和为，若成等差数列，则

成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断这个命题的逆命题何时为真，并给出证明.参考答案：(1)这个命题的逆命题是：在等比数列中，前项和为，若成等差数列，则成等差数列.

………3分(2)设等比数列的公比为，则当时，这个命题的逆命题为假，………4分理由如下：因，若成等差数列，则，，显然.

………7分

当时，这个命题的逆命题为真，

………8分理由如下：因，，，若成等差数列，则，即，………10分也就是