2021年广西壮族自治区贺州市高级中学高二数学理联考试卷含解析

2021年广西壮族自治区贺州市高级中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数不存在极值点，下列对a值判断正确的是（

）A．不存在

B．存在唯一的一个

C.恰好两个

D．存在无数多个参考答案：B2.已知函数，若f(x)存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围是（

）A．(－∞,－2)

B．(1,+∞)

C.(2,+∞)

D．(－∞,－1)参考答案：A当a=0时,f(x)==0,解得,函数f(x)有两个零点，不符合题意，应舍去；当a>0时,令，,解得x=0或>0，列表如下：∵x→?∞,f(x)→?∞,而f(0)=1>0，∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件：f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0，应舍去。当a<0时,f′(x)=3ax2?6x=3ax(x?)=0，,解得x=0或x=<0，列表如下：而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→?∞，∴存在x0>0,使得f(x0)=0，∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0，∴极小值f()>0,化为a2>4，∵a<0，∴a<?2.综上可知：a的取值范围是(?∞,?2).故选：A.

3.下列四个命题：1

，”是全称命题；2

命题“，”的否定是“，使”；3

若，则；

4

若为假命题，则、均为假命题．其中真命题的序号是（

）A．①② B．①④ C．②④ D．①②③④参考答案：B4.已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若；②若；

③若；

④若a与b异面，且相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.

其中真命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：A略5.,已知,则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A6.若a，b∈{﹣1，0，1，2}，则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：列举可得总的方法种数为16，其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点的有13个，由概率公式可得解答： 解：∵a，b∈{﹣1，0，1，2}，∴列举可得总的方法种数为：（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，0），（2，1），（2，2）共16个，其中满足f（x）=ax2+2x+b有零点，当a≠0时，判别式4﹣4ab≥0，即ab≤1：当a=0时，f（x）=2x+b显然有零点，所以满足f（x）=ax2+2x+b有零点的共有：（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共13个∴所求概率P=；故选：C．点评：本题考查了古典概型概率求法；关键是明确所有事件和满足条件的事件个数，利用公式解答．7.中，的垂直平分线交于点，，，A．

B．

C.

D．参考答案：B8.下列结论中正确的是（）A．a＞b?a﹣c＜b﹣c B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b＞0? D．a＞b?ac2＞bc2参考答案：C【考点】不等式比较大小．【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：A．a＞b?a﹣c＞b﹣c，因此A不成立．B．取a=﹣1，b=﹣2时不成立．C．由a＞b＞0，则，即＞，成立．D．c=0时不成立．综上可得：只有C成立．故选：C．9.命题“”为假命题，是“”的（

） A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A10.若函数f（x）在其定义域的一个子集[a，b]上存在实数m（a＜m＜b），使f（x）在m处的导数f'（m）满足f（b）﹣f（a）=f'（m）（b﹣a），则称m是函数f（x）在[a，b]上的一个“中值点”，函数在[0，b]上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是（）A． B．（3，+∞） C． D．参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】根据新定义得到x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，列出不等式组，解得即可【解答】解：f′（x）=x2﹣2x，设=b2﹣b，由已知可得x1，x2为方程x2﹣2x﹣b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x2﹣2x﹣b2+b，则，解得＜b＜3，故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则的最大值是______．参考答案：1【分析】分别在、和三种情况下求解在区间内的最大值，综合即可得到结果.【详解】当时，，此时：当时，，此时：当时，，此时：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值.12.设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列{an}的前n项和Sn=

．参考答案：n2

【考点】数列与向量的综合．【分析】由已知得an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，代入a2+a4=10，中，得a1=1，由此能求出{an}的前n项和Sn．【解答】解：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），∴=（1，an+1﹣an）=（1，2），∴an+1﹣an=2，∴{an}等差数列，公差d=2，将a2=a1+2，a4=a1+6代入a2+a4=10中，解得a1=1，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn==n2．故答案为：n2．13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方=0.67x+54.9．零件数x个1020304050加工时间y（min）62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为．参考答案：68【考点】最小二乘法；线性回归方程．【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程．代入样本中心点求出该数据的值，【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：，=，由于由最小二乘法求得回归方程．将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68．故答案为：68．14.已知，且，则

参考答案：５

略15.按下列程序框图来计算：如果x=5,应该运算_______次才停止。参考答案：416.已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实数根，则实数m为．参考答案：【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】首先分析题目关于x的方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i=0有实根，可把实根设出来，然后根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．17.抛物线上的点到直线的最小距离为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点位分别求（1）抛物线的方程（2）双曲线的方程（本题满分12分）参考答案：(1),(2)19.（12分）已知a＞0，b＞0，求证下列各式：（1）≥．（2）a+b≥+．参考答案：证明：（1）∵∴且……1分

∴……………3分 （当且仅当时等号成立）…5分

∴

…………………6分（2）∵∴由（1）可知，……………7分

∴………9分

当且仅当即时等号成立……11分

∴…………12分20.（本题12分）如图：△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。①证明：AB·AC=AD·AE；②若△ABC的面积S=AD·AE，求∠BAC的大小。参考答案：证明：∵

∴

（2分）

∵

∴

（4分）

∴

∴

（6分）

(2)∵

(10分)

∴

90°

(12分)略21.（本小题满分10分）设函数（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；（2）若函数在内没有极值点，求的范围；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）当时，因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根。令，则。因为在和均为减函数，在为增函数，的取值范围（2）由题可知，方程在上没有实数根，因为，所以（3）∵，且，∴函数的递减区间为，递增区间为和；当时，又，∴而∴，又∵在上恒成立，∴，即，即在恒成立。

∵的最小值为22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，且△AF1F2的面积的最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：为定值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）运用椭圆的定义，可得4a=8，解得a=2，再由椭圆的对称性可得a=2c，求得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率不存在，求得方程和AB，MN的长，即可得到所求值；讨论直线l的斜率存在，设为y=k（x﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，设MN的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得MN的长，即可得到所求定值．【解答】解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF1|+|AF2|=|BF1|=|BF2|=2a，又△ABF1的周长为8，所以|AF1|+|AF2|+|BF1|=|BF2|=4a=8，即a=2，由椭圆的对称性可得，△AF1F2为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，则a=