高等数学下册期末考试试题及答案

高等数学下册期末考试试题及答案-.pdf一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=yxz．2．直线35422:1zyxL=−−=−+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+−==tztytxL72313:2的夹角为2π．3．设函数22232),,(zyxzyxf++=，则=1,1,1(gradf}6,4,2{．4．设级数∑∞=1nnu收敛，则=∞→nnulim0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<−=,0,10,0)(ππxxxxf则它的傅里叶级数在π=x处收敛于21π+．6．全微分方程0dd=+yxxy的通解为Cxy=．7．写出微分方程xeyyy=−'+''2的特解的形式xaxey=*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(−且垂直于直线⎩⎨⎧=+−+=−+−02032zyxzyx的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=−−=kjin(4分)所求平面方程为032=++zyx(6分)2．将积分⎰⎰⎰Ωvzyxfd),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面(222yxz+−=及22yxz+=所围成的区域．解：πθ20,10,2:2≤≤≤≤−≤≤Ωrrzr(3分)⎰⎰⎰Ωvzyxfd),,(⎰⎰⎰−=221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrrθθθπ(6分)3．计算二重积分⎰⎰+−=DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22≤+yxD解⎰⎰−=2020dd2rreIrπθ⎰⎰−−=−20220)(dd212rerπθ⎰−⋅−=202d221reπ)1(4−−=eπ三、解答题（共35分每题7分）1．设vuez=，而22yxu+=，xyv=，求zd．解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂(3分)2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂(6分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332+++++=(7分)。2．函数),(yxzz=由方程0=−xyzez所确定，求yzxz∂∂∂∂,．解：令xyzezyxFz−=),,(，(2分)则,yzFx−=,xzFy−=,xyeFzz−=(5分)xyeyzFFxzzzx−=−=∂∂，xyexzFFyzzzy−=−=∂∂．(7分)3．计算曲线积分⎰+−Lyxxydd，其中L是在圆周22xxy−=上由)0,2(A到点)0,0(O的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+−−=+−OADLyxxyyxyxxydddd2dd(5分)ππ=−⋅=022(7分)4．设曲线积分⎰++Lxyxfxyxfed)(d)]([与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(=f。求)(xf．解：由xQyP∂∂=∂∂得)((xfxfex'=+，即xexfxf=−')(((3分)所以)d((dd)1(Cxeeexfxxx+⋅=⎰⎰−−−⎰(Cxex+=，(6分)代入初始条件，解得1=C，所以)1((+=xexfx．(7分)5．判断级数∑∞=12!2(!(nnn的敛散性．解：因为)!2(!(!22(])!1[(limlim221nnnnuunnnn++=∞→+∞→(3分))12)(22(1(lim2+++=∞→nnnn141<=(6分)故该级数收敛．(7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++yxzxzyzyxdddddd，其中∑是上半球面221zyx−−=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑yxz，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++yxzxzyzyxdddddd⎰⎰∑+∑++=1ddddddyxzxzyzyx⎰⎰∑++−1ddddddyxzxzyzyx(4分)0d3−=⎰⎰⎰Ωv(6分)42