2022高考数学必考知识点：概率与统计

千里之行，始于足下让知识带有温度。第2页/共2页精品文档推荐2022高考数学必考知识点：概率与统计2022高考数学必考学问点：概率与统计

考试内容：

抽样办法.总体分布的估量．总体期望值和方差的估量．考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对容易实际问题举行抽样．（2）会用样本频率分布估量总体分布．（3）会用样本估量总体期望值和方差．

概率与统计学问要点

一、随机变量.

1.随机实验的结构应当是不确定的.实验假如满足下述条件：①实验可以在相同的情形下重复举行；②实验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次实验总是恰好浮现这些结果中的一个，但在一次实验之前却不能绝对这次实验会浮现哪一个结果.

它就被称为一个随机实验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ba+=ξη也是一个随机变量.普通地，若ξ是随机变量，)(xf是延续函数或单调函数，则)(ξf也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1=ix的概率iipxP==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.ξ

1x

2x

…

ix

…P1p2p…

ip…

有性质①,2,1,01=≥ip；②121=++++ippp.

注重：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做延续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次实验中某大事发生的概率是P，那么在n次自立重复实验中这个

大事恰好发生k次的概率是：knkknq

pCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从二项分布，记作ξ～B

（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二项分布的推断与应用.①二项分布，实际是对n次自立重复实验.关键是看某一大事是否是举行n次自立重复，且每次实验惟独两种结果，假如不满足此两条件，随机变量就不听从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又惟独两种实验结果，此时可以把它看作自立重复实验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重复实验时，大事第一次发生，假如把k次实验时大事A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==.按照互相自立大事的概率乘法分式：))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==),3,2,1(1==-kpqk于是得

到随机变量ξ的概率分布列.ξ123

…k

…P

q

qp

pq2

…

pq1k-

…

我们称ξ听从几何分布，并记pqp)g(k,1k-=，其中3,2,1.1=-=kpq

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，则其中的次品数

ξ是一离散型随机变量，分布列为

)MNknM,0k(0C

CCk)P(ξn

N

k

nM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正

品中取n-k件的取法数，假如规定m＜r时0Cr

m=，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,kC

CCk)P(ξn

b

ak

nb

ka=?=

=+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ听从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把ba+个产品编号，则抽取n次共有

nba)(+个可能结果，等可能：k)(η=含k

nkknb

aC-个结果，故

n,0,1,2,k,)baa(1)baa(

Cb)(ab

aCk)P(ηk

nkknn

k

nkkn=+-+=+=

=--，

即η～)(b

aanB+?.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有

b种选法]可以证实：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含义：普通地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ1x2x…

ix…

P1p2p…ip…则称++++=nnpxpxpxE2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学

期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量ba+=ξη的数学期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①当0=a时，bbE=)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a时，bEbE+=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b时，ξξaEaE=)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：ccE=?=1ξ其分布列为：cP==)1(ξ.⑶两点分布：ppqE=?+?=10ξ，其分布列为：（p+q=1）

⑷二项分布：∑=?-?=

-npqp

knknkEknk

)!(!!

ξ其分布列为ξ～),(pnB.（P为发生ξ的概率）

ξ01P

q

p

⑸几何分布：p

E1

=

ξ其分布列为ξ～),(pkq.（P为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(===kpxPkkξ时，则称

+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ为

ξ的方差.明显0≥ξD，故σξξσξ.D=为ξ的

根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．4.方差的性质.

⑴随机变量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2)()(=+=.（a、b均为常数）⑵单点分布：0=ξD其分布列为pP==)1(ξ⑶两点分布：pqD=ξ其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：npqD=ξ⑸几何分布：2

pqD=

ξ

5.期望与方差的关系.⑴假如ξE和ηE都存在，则ηξηξEEE±=±)(⑵设ξ和η是相互自立的两个随机变量，则ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(

⑶期望与方差的转化：22)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE为一常数）0=-=ξξEE.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于延续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的

概率等于它与x轴.直线ax=与直线bx=所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，因为“),(+∞-∞∈x”

是必定大事，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：2

22)(21)(σμσ

π--

=

xe

xf.（σ

μ,,Rx∈为常数，且0σ），称ξ听从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN表示.)(xf的表达式可简记为),(2σμN，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN，则ξ的期望与方差分离为：2,σξμξ==DE.⑶正态曲线的性质.①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线μ=x对称.③当μ=x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，展现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x＜μ时，曲线升高；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的逼近.⑤当μ一定时，曲线的外形由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越簇拥；σ越

ξ01P

q

p

▲

yx

a

b

y=f(x)

小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为)(21)(2

2

+∞-∞=

-xe

xxπ?，则称ξ服

从标准正态分布.即ξ～)1,0(N有)()(xPx≤=ξ?，)(1)(xx--=??求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是)()()(abbaP??ξ-=≤.

注重：当标准正态分布的)(xΦ的X取0时，有5.0)(=Φx当)(xΦ的X取大于0的数时，有

5.0)(xΦ.比如5.00793.0)5.0(

=-Φσ

μ

则

σ

μ

-5.0必定小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN则ξ的分布函数通常用)(xF表示，且有)σ

μx(F(x)x)P(ξ-==≤?.

4.⑴“3σ”原则.

假设检验是就正态总体而言的，举行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量听从正态分布),(2σμN.②确定一次实验中的取值a是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出推断：假如)3,3(σμσμ+-∈a，接受统计假设.假如)3,3