2022全国新高考数学试卷详细解析

2022全国新高考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集合河=卜|、佚<4},N=（x|3xNl},则=

A(A10<X<2}

。{否4x<16}

C.{>13<x<16)

【考点考法】三基法

【参考解析】易知M={x[04x<16}（左边需要考虑定义域），而"=卜|》2；）,

所以MDN='x|gvx<16）.故选D.

2.若i（l-二）=1,则二+"

1考点考法】三基法

【参考解析】因为小一二）=L所以1一二二=1一Li+i,

ii

故二+5=l+i+l-i=2.故选D.

【可忽略的延伸】若二=。+万，则二+5=2〃，延伸出去还涉及了虚根成对原理哦.

3.在A18C中，点。在边AB上，记CA=nrCD=n,则CB=

A.3m-InB.-2m+3nC.3m+2wD.lm+3M

[考点考法】曲型的拆分法

【参考解析1】

CD=C4+.-iP=C4+i^=C4+1（JC+C5）=|G4+icBD/

所以而=35-2否=-2而+35,故选B.„Z____

D

【参考解析2】

•2-1--.

（如果知道结论的话）CD=-CA+—CB^>CB=3CD-2CA=-2m+3沆

1+21+2

1120

4.南水北调工程缓解了一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水

位为海拔148.5“时，相应水面的面积为140.0A?；水位为海拔157.5朋时，相应水面的

面积为180.05?将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5次上升到157.5m时，熠加的水蚩约为"2651

41.0x109m35.1.2X1O9W3C.1.4X10WD.1.6X109?M3

【参考解析】

〉=；卜上+用丁+5下)/

=Ax(l80+7180x140+140)xl0sx(157.5-148.5)

=^X^20+60A/7)X9X10S

»3x(320+60x2.65)x10®

=1437x10®=1.437x10®

故选C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

A-5-C-D-

63_23

【考点考法】枚举法'正难贝坂法

【参考解析1】

总的有C；=21种，

而2个数不互质的有

(2,4)(2,6)(2,8),(3,6)(4,6)(4,8),(6,8)共？种，

7_2

豳尸=1一滑3,故选D

【考点考法】枚举法

【参考解析2】

总的有C"21种，

若选了2,则需要选奇数，再选357共3种，

若选了3,则不选6即可，再选4,578共4种:

2/20

若选了4,则需要选奇数即可，再选5,7共2种;

若选了5,则均可，再选678共3种；

若选了6,则需要选奇数，再选7共1种；

若选了7,则再选8共1种；

所以尸=1占4=14二2=故选D.

C213

6.记函数/(x)=sin:<必-+；］+从/>0)的最小正周期为丁，若孕<T<则『=/(x)

【考点考法】顺藤摸瓜法

3乃Jt,4A--1

—X0+—=上乃=◎=-----

【参考解析】依题有246

因为—<T<7T,由T=—=2<<y<3,

3G)

缶c4左一1„1319

故2<-------<3=>—<kL<—,

644

又酬上eZ,故左=4,所以。=与=：,

62

而°=2,所以1/&)=血：》+冬+2,

b=一

7.设4=01。,9,c=-ln0.9,则

Aa<b<cBe<b<aCr<a<bD.a<c<b

3/20

【考点考法】泰勒展开公式；构造函数法;

【参考解析，沐师提供】

,所以J」al+O/+^^=1.105=>O.leol«O.llO5,

因为/~l+x+

2

1、「

V。」山，岫不足以影响结果府的，所以

构造/(x)=xex+In(l-x)(O<x<0.1),

豳r(x)=(x+i>i-J-=仔担，

1-xx-1

h(x)=(x2-l)?1+1,则“㈤=(V-l+2x*<0,

所以Mx)J,故Mx)T(0)=0，

又因为x-l<0,所以F(x)N0恒成立，

所以/(0.1)>/t0)=0na>c,

综上，£<0<6.故选口

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，目

3Ms3上则该正四棱锥体积的取值范围是

2764

【考点考法】外接球之勾股定理、求导法、消元法

【参考解析】由士成3=36兀=>及=3,

3

4/20

如上图所示，设.=，，PH=h,

则易知川+『=尸，①

且仍-3尸+/=9,②

联立①②解得产=6方，/=6力-吃所以方=/1,|,

所以P=LS/J=1X^^XA=2(-〃3+6〃2),

3323

令/㈤=?一〃3+6力2),则/^〃)=x(_3/+12〃)=-2确一4),

易知=/⑷号，而故选c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体WBC。-4&G，，则

A.直线8G与所成的角为90°

B.直线8G与C4所成的角为90°

C.直线3G与平面所成的角为45°

D.直线"G与平面3CD所成的角为45。

【考点考法】平移法；转化与化归思想；三垂线定理；.//—/X，

【参考解析】/-----卜，"

对于A:显然可以平移到C及，所以显然垂直，故A对,X------------V

对于B:由三垂直定理知，以】投影到前面这个面的投影为a】，所以显然垂直，故B对，

对于c：显然平面3BQN的一个法向量为4G,

而必4£是等边三角形，所以3G与法向量所成的角为60。，在线面角为30°.故C错；

对于DJ显然平面■必C。的一个法向量为CG,显然MCG是一个等腰直角三角形，故D

对，

综上，选ABD.

5/20

10.已知函数/（X）=f-X+1则

A..x）有两个极值点

B.1x）有三个零点

C.点（°”是曲线V=的对称中心

D.直线T=2x是曲线.串=力外的切线

【考点考法】导致工具法；

【参考解析】

对于A：因为/（x）=3x+l,腑^（力=3/-1,

/（x）=0=3X2-l=0=>x=±—

令3

经蛤证显然有两个极值点，故A对；

人㈤9八

/—=--------->0

J39

对于B:而17，故没有三个零点，只有一个零点，故B错;

对于C:有几种解法

①因为）'='-X是奇出数，所以向上平移一个单位后得/&）='-x+l

故点（刈是曲线J的对称中心，

6/20

②显然=6x,令/＜（X）=°=X=°,而/（0）=1,所以点（°，1）是曲线y=力动

的对称中心J

③因为/（x）+/V~x）=2,所以点（久）是曲线y=/U）也称中心j

故C对J

对于D：令〃x）=2,则X=±l,

若》=1,则切点®iJ）,显然切点不过直线y=2x,故此时不满足j

当然也可以算出切线方程为y=2（x-l）+1

若x=T,则切点N-LD,显然切点不过直线J'=2”,故此B寸不满足；

当然也可以算出切线方程为V=2（x+D+lj

故D错；

综上，选AC

c

11.已知°为坐标原点,点,"J）在抛物线/=2m1（「＞0）上，过点5（0-1）的直线交

C于尸，。两点，则

A.0的准线为y=tB.直线-必与c相切

网.园＞制2\BP\.\BQ\＞\BAf

**•12•

【考点考法】联立韦达定理、柯西不等式

【参考解析，沐师提供】

易知』2p,所以/=乙所以A错；

易知L»=2x-1,联立抛物线与直线得/-2x+l=0,即△=（）,故B对；

对于C:

尸\\OQ\＞|Qd「=2=\opf■＞4

oQ；+KI4+E）＞（K巧+.»必）’（柯西不等式），

设"="一1,联立抛物线有

右+1=。=心巧=1必=（隼）2=1

2

5i+x2=k［必+”=Mx1+X2）-2=k-2

所以（x；+y；）（石+y1）＞（再巧+•»）J=4（正确）

7/20

对于D.BPBQ=BPjBQcos0=师卜。]>区=5,

o(不，M+1卜(巧,必+1)=书+》必+回+必)+1>5

=”+y2>2=M>4

y3

t0=XQX^>y=2x^x-y0=Ix^x-君

过D点切线：2，(切线方程可以用口诀:“平

方换一个，一次项换为平均数来记忆”)

将8(0,-1)代入，得T=Y=>君=1,

取与=1=左切=2,

所以炉>居=4(正确力

综上，选BCD.

12.已知函数为©及其导函数广(万的定义域均为及，记爪6=/(6,若

g(2+x)均为偶函数，则

"(0)=0'4一扑°仁〃T)=〃4)Dg(-l)=g(2)

【考点考法】特殊函数法；排二选二法；对称性

【参考解析】这题完全类似2020新高考2卷理科第8题.可以用特殊函数法来分析哦.(但是

要注意，多选题满足一个特殊函数的只是待定，不代表它就满足所有情况哦.)

令，(动=1,显然满足所有条件，故A错；

再令/'(x)=_sin族，

J]—-2x|=cos2JK./、

贝ij1216x)=/Xx)=Trcosm：所以式x+2)=rrcos加，

也满足条件J

g(-1)=-^cos(-7i)=7rg(2)=一乃cos(2;r)=—不.故D错；

根据排选BC.-

8/20

考后分析：

下面分析BC为什么是正确的：根据可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的

导函数是奇函数，（证明过程请看题型闯关练的第8题），

3

因为彳|-2,是偶函数，所以小）关于轴5对称，葩〃T）=〃4）,故c

对J

而,弓-2x）=-2/^-2x）,眦'/弓一2》）是奇函数，所以-2x）是奇函

数,

对称,且若卜

所以工动关于点

又因为42+6为偶函数，所以翻动关于轴》=2对称，

故C对；

所以双X）的周期々=412—羡）=2,所以g［g-2）=on——［）=0,故B对;

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13」1-£^+］，）8展开式中/丁的系数为（用数字作答）.

【考点考法】分析法，简单的排列组合

【参考解析】

当前面为1时，后面X出现2次，》出现6次，故由排列组合知'=0=28,

y

当前面为X时，后面X出现3次，7出现5次，故曲非歹怪合知3=一盘=-56,

所以系数为28-56=-28.

14.写出与圆/+/=1和（x-3）2+0-4）2=16都相切的一条直线的方程

【考点考法】数形结合思想；灵活运用时间

【参考解析】作为开放型的填空题，并且题号在14题，故只需要画个图就知道两个图的一

条外公切线为x=T,故考试的时候只需要埴x=T,然后即可进入下一题了哦.

本题的所有公切线为x=T份卜公），7厂24），-25=的卜公），3、+分，-5=呐公）

15.若曲线J'=（x+有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是_________.

9/20

【考点考法】切套；判别式法

【参考解析】设切点

因为y=（x+a/,所以y'=（x+a+l）/,所以上=（再+。+1,\

所以切线方程为，=（再+。+1卜”（x-再）+（再+«>x],

令x=y=O,则有0=（再+4+1,*（一再）+（3+。）人,

化简得才+笔一。：。，

因为曲线y=（x+a/有两条过坐标原点的切线，

△>（）=>J+4<7>0

所以。<T或。>0.

16.已知椭圆c：/+/一（">b>o）,c的上顶点为a,两个焦点为6、B,离心率

1

为5,过片且垂直于.蜴的直线与C交于2E两点，内上6,则HDE的周长是

【考点考法】挖提隐含条件,

沐师提供:

W=2r

设“H8=。=2c=A46巴为等边三角形,

AF2=。=2r

AE=EF2

所以=L'FDF'=船＞

-ID=DF2

b2

DF、=

因为，l-ecos30°

b2

ER=

l+ecos30°

所以。5=郎+即=6,

1313

所以c=1=a=U,所以/亚日=13.

84•

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10/20

17.（10分）

记S”为数列E｝的前“项和，已知q=1,&是公差为!的等差数列.

14J3

（1）求卜｝的通项公式；

⑵证明：l+±+...+J_<2.

ala1an

【考点考法】（1）公式法；以退为进作差法；累乘法；（2）裂项相消法

【参考解析】

（1）因为是公差为5的等差数列，而员=1,

MJ3可

所以区='+（"-1时=1+?（〃-1）=5"=仁〃+44,①

anax3\33）

“22时,S〃_i；卜②

①减②，得：-^-=—,

an-\"-1

所以也.，包=：,忍=二，

ax1a22a^xn-1

以上式子相乘，得册=岑』，”N2.

经检蛉，〃=1时，%=1,符合.

所以4=竽.

⑵由⑴知%=亨所以上=彳公=2已

an+\n

所以

，

11/20

因为.'所以高＞。,

胞2一品2,

gp—+—+•••+—<2

'n

18.(12分)

cosAsinIB

记&.C的内角d,B,C的对边分别为。，6,c,已知

1+sinJ1+cosIB

⑴若C=与，求

“24-A2

(2)求巴孝-的最小值.

【考点考法】(1)二倍角公式；和角差角公式；诱导公式；三角形内角和定理;

(2)转化与化归思想；余弦定理；基本不等式.

【参考解析，沐师提供】

cos-4_sinIB_2sin5cos5sin5

(1)因为1+sind1+cosIB2cos"BcosBf

所以cosNcos3=sin5+sinJsin5,

所以cos(J+5)=sin5

cos(-4+5)=sinB=>sinB=cos(^-C)=cos—=—

又因为32,

C=—>-B<-B=-

因为32,所以2,故6.

sinB=cos(zr-C)=sin'C-—I

2)

⑵因为I,

B=C--

般2,

sind=sin(3+C)=sin|2C--|=-cos2C

2J

所以I,

由余弦定理J+-2abcosC=>a1=c24-2^6cosC,

12/20

所以

a1+6:c24-2^r6cosC.labcosC

------2----=------------2---------=1+---------2------

ccc

2sinJsinBcosC

=1+-------------------------

sin'C

,2sinAsinBcosC

=1+-------------------------

sin2c

,2cos2Ccos2C

=1+-----------弓------

sin2C

I।2（1-2血£）（1—m2。）

sin*C

=1+"S&-3）

>l+2（272-3）=472-5

2sin:C=—1；-sin:C=

当且仅当血C,即2时取得等号，

综上，J的最小值为4Ji-5.

19.（12分）

如图，直三棱柱33C—451G的体积为4,AJ/C的面积为2JI

（1）求.到平面43c的距离；

<2）设。为4c的中点，巨4=’6,平面斗。_L平面一18禺4,求二面角及一如一c

的正弦值.

【考点考法】（1）等体积法；（2）建系套路法（本地至点学建系关）

13/20

【参考解析，沐师提供】

(1)由于乙R-3G一力，所以3,

设求X到平面43C的距离为A；

(2)设。为4c卬点，且&=。

由于

平面45C_L平面-1B叫4.

平面.1BC±平面-1B&4>=3C_L平面一如14

平面且灰?PI平面4BC=BC

J9

因为dBu平面-4B叫4,所以3C_LAS,

在直角AzLBC中，乙=90。，连接43,过人作AH_奉,

则一四!平面0。而BC_L平面加BC，AXB

由必=.18,j/f=&,

所以J4=zLB=2,45=20,

AMC=2应=-AxB^BC=>BC=2

由2,

所以以B为原点，向量而，BA,班1分别为xj,二轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，

则C(Z0,0),捅020),4(022),D(LU),5(0,0,0)

所以眉=(0,2,0),丽=(LL1),5C=(2,0,0)

设平面,ABD的一个法向量为=(%乂二)，

nA4=0_>[j=0

则nBD=01x+y+二=0,令x=],则育5=(1.0,-1).

设平面BCD的一个法向量E=U-Ao.-o),

14/20

升=0

<n-BC=Q

—k=<

.HBD=0.%+%+二0=0,令y=l,则有方=(QL-1).

则ni

l方加11

所以8价*丽=不近=5

sin(n,m\=—

所以2

皂

所以二面角A-BD-C的正弦值为T.

20.（12分）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（J2生习惯分为良好和不够

良好两类）的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了10°例的为病例组），同时在未患该疾

病的人群中随机调查了10°人府为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（D能否有9Mb的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，.表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表

世⑷世@）

示事件"选到的人患有该疾病"，尸（耳।⑷与吨•可的比值是卫生习惯不够良好对患该

疾病风险程度的一项度蚩指标，记该指标为及.

°）证明：m风词；

（"）利用该调查数据，给出丹山3）,的估计值，并利用付的结果给出出的估计值.

niad-bc)1MK'N幻|00500.0100001

It13.841

(a+bXc♦dX。+以。+d)6.63S10.82S

【考点考法】（D列联表约分满分拿;（2）条件概率

15/20

[参考解析，沐师提供】

⑴“黑朦蒜胃…25,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)用局部估计总体.

(I)

P（AB）尸（叼）

_P（B\A）p（g|2）=14）田夕17）-pjTT

-H3|d）P（J|J）—P（B\A}P<B\A）一尸（瓦4）P（反打

P（A）-P（J）

RMH网

=PUS）尸国）=P⑻丽_PiA\B）P^\B）

-P（5J）-P（5J）-P（^J）P（BA]-P{A\B\P{A\B}

P[B\P（B）

p（岗团=迪=挈=%p（引乃=里=维=%

间?（3）M3）100''P（B）而）100

瑁⑻事事=弛44|利富=甥」

尸⑻n（B）100,P[B）n（B）100

40x90

所以「60x10一

故及的估计值为6.

21.（12分）

已知点.4(2,1)在双曲线C:y-=1(«>1)±,直线/交C于尸，。两点，直线

.尸，.。的斜率之和为°.

⑴求’的斜率

⑵若tanAPAQ=2、位，求APJ0的面积.

【考点考法】(1)试根法；联立韦达再计算；双十字相乘法；(2)夹角公式；暴力计算法;

【参考解析，沐师提供】

(1)因为点M2」)在双曲线。：三一工=1(。>1)上，所以有=1

aaaa-1

解得『=2,所以双曲线C：1■-/=1

16/20

设直线=。（孙”），

[x2-

---V=1

,2.

联立y=Azv+w消y得（1-2K卜一4A?wx_2m?-2=0

显然1-2好H°,否则不可能有两个交点，

而Auahnp—qi_Z二[_2加2_2）=8（用2+1—2二）＞0,

._4ATW_2m?-2

由韦达定理得七七一1-2好，〜"一l-2k2,

因为直线a尸，的斜率之和为0,

0=.T+乃T=/T）（＞-2）+（『2TX」-2）

所以再一2巧一2（再一2）（七-2）,

所以（凶—1）（七一2）+仇TX再-2）=0,

即（有+加一娟与-2）+（3+加-1）（七-2）=0,

所以有2也巧+（w-l-2H再+巧）-4（优-1）=0,

将韦达定理代入化简得（*+l*2*+"-l）=°（双十字相乘法），

而当2上+加7=0,此时直线/为y=h+l-2号易知情过定点出2,1）,故舍去,

所以上=T,此时满足A＞°.

（2）

由（D易知再+巧=4加再与=2w2+2

目卜1一引=）（再+为』-4和=2&&」-8

依题可设a尸斜率为左，'。斜率为一髭，

2、泛=tan£PAQ=

则由夹角公式知（后面补充证明）1+%•（一左）,

由对称性易知，只需考虑片＞°的情况就行，

所以有戊早+检一点二°,解得它应或立一孝（舍）.

17/20

而标=比==必一1=匕（再一2）,同理必一」一可（七一2）,

再-2

而AP=（^-2,^-1