2022年重庆市北碚区春招数学试卷及答案解析

2022年重庆市北暗区春招数学试卷

-蟒题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答

案所对应的方框涂黑。

1.（4分）-3的倒数为（）

A.-AB.AC.3D.-3

33

2.（4分）计算2x5+x3的结果是（）

A.AX2B.2x2C.D.2x8

22

3.（4分）己知x-y=L则代数式3x-3y+l的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.（4分）如图，已知AABC和△AED是以点A为位似中心的位似图形，且5小阮：S《ED

=1：4,则AABC与4AED的相似比是（）

D,_______E

/

,/

z

Bz——1c

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

5.（4分）如图，AB是。。的切线，A为切点,OB交。0于点C,若。0的半径长为1,

AB=我，则线段BC的长是（）

A

A.1B.V2C.2D.V3

6.（4分）估计遥xJE-1的值应在（）

A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间

第1页（共7页）

7.（4分）下列命题一定正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是平行四边形

C.平行四边形的对边平行

D.平行四边形的邻角相等

8.（4分）小玲从ft脚沿某上ft步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达ft腰平台停下来休

息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达ft顶.设从她出发开始所经过的时

间为t,她行走的路程为s,下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（）

9.（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BC=2CE,连

接DE交AC于点F.若DF=2,则EF的长是（）

10.（4分）如图，在正方形ABCD中，P是AC上一点，且CP=&,点E,F分别在AB,

BC上，NEPF=90°，PE=3PF,则线段AP的长是（）

A.2B.272C.3D.3&

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1L（4分）若关于x的不等式组|8的解集为x<a,且关于y的分式方程取N_二

y-22

[x-aa\0n

的解为非负数，则符合条件的所有整数a的值之和是（）

B.17C.15

12.（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a/0）的自变量x与函数值y

的部分对应值如表：

当x=-或•时，与其对应的函数值y>0,给出下列四个结论:

①b<0；②关于x的方程ax2+bx+c=n的两个根是-1和2；③m+2n<10；④t（at+b）

>-4a为任意实数）.

其中正确结论的个数是（

二、填空题：（体大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答

题卡中对应的横线上.

13.（4分）2022年2月4日至2022年2月20日，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运

动会，随着冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.从2015年北

京申办冬奥成功到2021年10月间，全国冰雪运动参与人数达到346000000人,将数据

346000000用科学记数法表示为.

14.（4分）现有3张除数字外完全相同的卡片，卡片上分别标有数字-1,2,3,混合后随

机抽取一张卡片，将卡片上的数字记为a,不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张，将

卡片上的数字记为b,则点（a,b）在平面直角坐标系第四象限内的概率是

15.（4分）如图，在aABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2,以AC为直径作半圆，

交AB边于点D,点0为圆心，连接OD,则图中阴影部分的面积是.

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16.（4分）某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地.第一次发货时，发往

甲、乙两地货物的吨数之比为1：2,且每吨运费之比为4：3,第二次发货时，由于受汽

油价格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物

吨数只有第一次发往甲地货物的需且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总

运费之比为2：3,则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是.

三、解答题（共2小题，满分16分）

17.（8分）计算：

2

（1）（a-b）+a（2b-a）；（2）（xd.x，T.

x+2x+2

18.（8分）如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD,已知坝顶BC为8米，坝高BE为6

米，斜坡AB的坡角NBAD=37°,斜坡CD的坡度i=l：1.

<1）求AB储；（精确到1米）

（2）求AD的长.（精确到1米）

（参考数据:sin37"。0.60,cos37°^0.80,tan37°g0.75)

四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的

演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上。

19.（10分）如图，在aABC中，AB=AC.

（1）用尺规完成以下基本作图：作△ABC的边AB的垂直平分线DE,交AB于点D,交

AC于点E,连接BE；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，若ZA=40°,求NCBE的度数.

20.（10分）某校对九年级学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各20名学

生的测试绩进行整理、描述和分析（成绩均为整数，满分50分，40分及40分以上为优

秀）.下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：x<30,B：30Wx<36,

C：36<x<40,D：40Wx<46,E：46WxW50）.

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甲班抽取的学生测试成绩在D组的具体成绩为：40,43,43,43,44,44,45；

乙班抽取的学生测试成绩为：33,34,36,38,38,40,42,42,44,45,45,45,45,

46,48,48,48,49,50,50.

甲、乙两班抽取的学生测试成绩统计表

班级甲班乙班

平均数42.943.3

中位数a45

众数43b

优秀率70%C

(1)直接写出上述表中a,b,c的值;

(2)根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班学生体育测试成绩较好？请写出一条理

由;

(3)该校九年级共800名学生参加了此次体育测试，请估计九年级参加此次体育测试成

绩为优秀的学生人数是多少？

甲班抽取的学生测试成绩条形统计图

21.（10分）某水果店以每千克30

获得利润20元.

（1）求草莓的进价为每千克多少元?

（2）已知该水果店第一天以每千克30元的单价售出草藏30千克.为了让顾客获得实惠,

第二天水果店决定把草莓降价促销，若在第一天销售单价的基础上每降价1元，第二天

的草莓销量就会在第一天销量的基础上增加6千克.通过这两天的销售，这批草莓全部

售完，水果店销售完这批草镂的利润一共为600元，求第二天的草售每千克降价多少元?

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22.(10分)如图，在矩形OABC中，A,C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.反

比例函数y=—(m#0)的图象经过点B(-1,2),一次函数y=kx+b(kWO)的图象

x

与反比例函数的图象交于B,D两点，已知点D的横坐标为2.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)求4ACD的面积.

23.(10分)对于个位数字不为。的任意一个两位数m,交换十位数字和个位数字的位置，

得到一个新的两位数n,记F(m)=等，G(m)=空.

911

例如：当m=74时，则n=47,F(74)=74.-47'=3,G(74)=74+47=11.

911

(1)计算F(38)和G(59)的值；

(2)若一个两位数m=10a+b(a,b都是整数，且5WaW9,lWbW9),F(m)+2G(m)

是一个整数的平方，求满足条件的所有m的值.

24.(10分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(aWO)与x轴正半轴交于点A,B,与y轴正半

轴交于点C,且0C=0B=30A,点D为抛物线的顶点.

图1图2

(1)求该抛物线的函数表达式:

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(2)点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交

点，求APBE面积的最大值；

(3)如图2,将该抛物线沿射线CB的方向平移2。2个单位后得到新抛物线y',新抛物

线y'的顶点为D,过(2)问中使得aPBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交

新抛物线y于点M.在新抛物线y'的对称轴上是否存在点N,使得以点P,D,M,N

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理

由.

25.(10分)已知正方形ABCD的边长为4,4BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F

在AB边的左侧.

(1)如图1,若D,E,F在同一直线上，求BF的长；

(2)如图2,连接AF,CE,BD,并延长CE交AF于点H,若CH±AF,求证日AE+2FH

=BD；

(3)如图3,将△ABF沿AB翻折得到AABP,点Q为AP的中点，连接CQ,若点E在

射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.

第7页(共7页)

2022年重庆市北暗区春招数学试卷

参考答案与试题解析

-：(本大题共12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了

代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答

案所对应的方框涂黑。

1•【分析】根据倒数的定义进行解答即可.

【解答】解：V(-3)X(-1)=1,

3

-3的倒数是-

—.故选：A.

3

【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于b那么这两个数互为倒

数.2.【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案.

【解答】解：2x5+x3=

2x2.故选：B.

【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键.

3【分析】利用整体代入，再求代数式的值.

【解答】解：-y=l,

.*.3x-3y+l

=3(x-y)+1

=3X1+1

=4.

故选：C.

【点评】本题考查了代数式求值，做题关键是掌握整体代入求值.

4【分析】根据相似三角形的性质求出相似比.

【解答】解：:△ABC和4ADE是以点A为位似中心的位似图形，

.-.△ABC^AADE,

・"△ABC：SjED=l：*

.♦.△ABC和"DE的相彳以比是1：2,

故选：C.

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【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.

5【分析】连接0A,如图，先根据切线的性质得到NBA0=90°,则利用勾股定理可计算

出0B=2,然后计算OB-OC即可.

【解答】解：连接0A,如图，

VAB是©0的切线，A为切点，

/.0A±AB,

AZBAO=90°,

在RtZ\OAB中，OBTOA2+AB2={F+(a)2=2,

/.BC=OB-0C=2-1=

1.故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

6【分析】先把原式化简面-1,再对J而估算即可求解.

为V30

【解答】解：V5xV6-1=-1,

V5<V30<6,

.,.4<V30-1<5,

...疾监-1的值应在4和5之间.

故选：C.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键.

7【分析】利用平行四边形的判定与性质分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题

意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；

C、平行四边形的对边平行，正确，符合题意；

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D、平行四边形的对角相等，故原命题错误，不符合题意.

第3页（共17页）

故选：c.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定与性质，

难度不大.

8【分析】她行走的路程随着时间的增大而不断增大，由于速度的变化形式为小，0,大，

所以随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：缓，平，陡.

【解答】解：根据题意，小玲步道“踏青”分为三个阶段，步行-停止-快行，

反映到图象上是：三条线段为缓，平，陡.

所以能反映s与t的函数关系的大致图象是选项

A.故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能

力.解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系.

【分析】过作〃交于证△则

9DDGACBCG,BDGs/\BAC,W—njn=—r>A=—C»BC=2BG,

再证CE=CG,然后由三角形中位线定理得EF=DF=2即可.

【解答】解：如图，过D作DG〃AC交BC于G,

VD是AB的中点,

；.BD=』AB,A

VDG//AC,

.,.△BDG^ABAC,

.BG=BD=1

**BCBATB

；.BC=2BG,

.♦.BG=CG,

：BC=2CE,

.♦.CE=CG,

DG〃AC,

ACF是ADEG的中位线，

/.EF=DF=2,

故选:A.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确作出辅

助线构造相似三角形是解题的关键.

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(D【分析】连接EF,连接BP并延长交CD于G,先由正方形的性质得到AB=CD=BC,

ZABC=ZBCG=90",AB〃CD,再证明B、E、P、F四点共圆，证明△ABPs/\CGP,

得处=姻=3,进而即可得到AP=3CP.

r*Drr

【解答】解：如图所示，连接EF,连接BP并延长交CD于G,

•・,四边形ABCD是正方形，

・・・AB=CD=BC,NABC=NBCG=90°,AB〃CD,

VZEPF=90°,

/.ZEBF+ZEPF=180°,

・・・B、E、P、F四点共圆,

・・・NPBF=NPEF,

tanZCBG=tanZPEF=,

BCPE3

•.•CG1_-1，

AB3

VAB//CD,

/.△ABP^ACGP,

,APABQ

CPCG

；.AP=3CP=3近,

故选：D.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性

质与判定，正确作出辅助线是解题的关键，

‘3x+2<一

1【分析】根据不等式纬8二4+1的解集为x<a可得出a<6,再根据关于y的分式

x-a<0

方程型的解为非负数求出a的取值范围为a2l,再根据lWaW6即可求解.

y-22

第5页（共17页）

3x+2<x.]/<

【解答】解：由不等式组（84+1可得厂6,

,x-a<0b<a

•••不等式组解集为x<a,

.•・a<6,

关于y的分式方程组的解为：y=g2，

y-223

•.•关于y的分式方程解为非负数，

'2a-2>0

••,2a-2,>解得：a》l且aW4,

3户2

.♦.lWaW6且aW4,

•••符合条件的所有整数a的值为：1,2,3,5,6,

符合条件的所有整数a的值之和是1+2+3+5+6=

17.故选：B.

【点评】本题主要考查了不等式组的解，分式方程的解，掌握不等式组的解法和分式方

程的解法是解题的关键.

2【分析】根据题意先求出函数的对称轴，再根据函数的性质逐项判断即可.

【解答】解：：x=0时，y=-2；x=l时，y=-2,

抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=-旦=工，c=-2,

2a2

b=-a,

•.•当X=-1时，与其对应的函数值y>0,

抛物线开口向上，

.*.a>0,

/.b=-a<0,

故①正确：

:抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=X

/.（-1,m）和（2,n）关于对称轴对称，

m=n,

・•・关于x的方程ax2+bx+c=n的两个根是-1和2,

故②正确；

第6页（共17页）

•.•当x=-1时，与其对应的函数值y>0,

-a--b-2>0,

42

3

当x=-1,时，m=a-b-2=2a-2,

/.m+2n=3m=3(2a-2)>10,

故③错误；

•.•抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=X图象开口向上，

.,.at2+bt-2>Aa--b-2,

42

t(at+b)》-—,

4

故④正确.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从

表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键.

二、窿题：(体大题共4个小题，每小题4分，共16分)请将每小题的答案直接填在答

题卡中对应的横线上.

3【分析】科学记数法的表示形式为aXI0n的形式，其中IWaClO,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值》10时，n是正整数；当原数的绝对值VI时，n是负整数.

【解答】解：346000000=

3.46X108.故答案为:3.46X108.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其

中lWa<10,n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值.

1【分析】利用列表法求解即可.

【解答】解：列表如下：

3T2

—

3(-13)(2,3)

T(3,-2)—(2,-1)

2(3,2)(-1,2)—

第7页(共17页)

共有6种情形，第四象限有2种情形，

.•.点(a,b)在平面直角坐标系第四象限内的概率是?=

6

士■.故答案为：士■.

33

【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

S【分析】根据S=SABC-SCOD，进行计算即可.

【解答】解：VZACB=90°,ZB=60°,BC=2,

/.AC=V3BC=2A/3,

V0A=0D,ZBAC=90°-60°=30°,

/.ZC0D=2ZBAC=60",

阴影

'SJJBC-S扇形COD

='蓊X2-60兀…)2

2360

=2Vs—n,

2

故答案为：.

【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关

系是正确解答的前提.

G【分析】可设第一次发货时，发往甲地货物的吨数为x吨，汽车每吨运费为4y,则第一

次发货时，发往乙地货物的吨数为2x吨，火车每吨运费为3y,则第二次发货时，汽车每

吨运费为4X(1+20%)y,发往甲地货物吨数为吨，发往乙地货物吨数为z吨，根据

D

第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比为2：3,列出方程计算即可求

解.

【解答】解：设第一次发货时，发往甲地货物的吨数为x吨，汽车每吨运费为4y,则第

一次发货时，发往乙地货物的吨数为2x吨，火车每吨运费为3y,则第二次发货时，汽车

每吨运费为4X(1+20%)y=4.8y,发往甲地货物吨数为吨，发往乙地货物吨数为z

吨，依题意有：

(xX4y+2xX3y)：(匕X4.8y+zX3y)=2：3,

9

第8页(共17页)

解得Z=g^X,

9

则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是(x+2x)：(2+雪x)=27：42.

99

故答案为：27：42.

【点评】本题考查了应用类问题，读懂题意，找到相应的等量关系是关键.在本题还需

注意的是不能设直接未知数.

三、解答题(共2小题，满分16分)

I【分析】(1)先去括号，再合并同类项，即可解答；

(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

【解答】解(1)(a-b)2+a(2b-a)

=a2-2ab+b2+2ab-a2

=b2；

1J-1

(2)'Xx+2)4--x~+~2-

=x2+2x+l.x+2

x+2(x+1)(x-1)

(x+l)2.x+2

x+2(x+1)(x-1)

_x+1

x-1

【点评】本题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，准确熟练地进

行计算是解题的关键.

*【分析】(1)根据正弦的定义计算，得到答案;

(2)过点C作CFLAD于F,根据矩形的性质分别求出EF、CF,根据坡度的概念求出

DF,计算即可.

【解答】解：(1)在Rtz!\AEB中，ZBAD=37°，BE=6米，sinZBAD=—,

AB

BE6

则AB==10（米）,

sinZ.BAD0.60

答：AB的长为10米;

(2)过点C作CF_LAD于F,

则四边形BEFC为矩形，

/.EF=BC=8米，CF=BE=6米,

...斜坡CD的坡度i=l：1,

第9页(共17页)

，DF=CF=6米,

，AD=AE+EF+DF=8+8+6=22（米），

答：AD的长为22米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高

度h和水平宽度1的比是解题的关键.

四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的

演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对

应的位置上。

9【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤进行作图即可.

（2）由等腰三角形的性质可得NABC=NACB=70°,由线段垂直平分线的性质可得N

A=NABE=40°,根据NCBE=/ABC-NABE可得出答案.

【解答】解（1）如图所示.

（2）VAB=AC,

ZABC=ZACB,

VZA=40°,

/.ZABC=ZACB=70°,

VDE为线段AB的垂直平分线，

/A=/ABE=40°,

/.ZCBE=ZABC-ZABE=70°-40°=30°.

【点评】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线

段垂直平分线的作图步骤和性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键.

0【分析】（1）根据中位数的意义，将甲班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两

个数的平均数即可为中位数，从乙班成绩中找出出现次数最多的数即为众数，由甲班的

优秀率可得D、E组的学生测试成绩为优秀，即可得乙班的优秀率；

第10页（共17页）

（2）根据平均数、中位数，众数、优秀率可以分析得出；

（3）根据题意，计算出两班级成绩为优秀的学生的百分比，然后乘以总人数即可解答本

题.

【解答】解（1）由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是43,44.

故中位数a=^^i=43.5.

2

•••乙班20名学生的体测成绩45出现了4次，次数最多.

；.b=45.

二甲班的优秀率为70%,20X70%=14（人），

...D、E组的学生测试成绩为优秀，

乙班的优秀率c=Exi00%=75%,

20

.♦.a=43.5,b=45,c=75%；

（2）乙班学生体育测试成绩较好，

理由：甲班的平均数、中位数，众数、优秀率均大于乙班；

（3）甲班体育测试成绩为优秀的学生人数有：7+7=14（人），乙班15人.

.•.估计九年级参加此次体育测试成绩为优秀的学生人数是：800X史@=580（人）.

20+20

答：估计九年级参加此次体育测试成绩为优秀的学生人数是580人.

【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数、掌握平均数、中位数、众数意

义和计算方法是正确解答的前提.

【分析】（1）利用进价=每千克的售价-每千克的利润，即可求出结论；

（2）设第二天的草藏每千克降价x元，则每千克的销售利润为（30-X-20）元，销售

量为（30+6x）千克，利用总利润=每千克的销售利润X销售数量，即可得出关于x的一

元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论.

【解答】解⑴30-20+2=20

（元）.答：草莓的进价为每千克20元.

（2）设第二天的草莓每千克降价x元，则每千克的销售利润为（30-X-20）元，销售

量为（30+6x）千克，

依题意得：（30-20）X30+（30-x-20）（30+6x）=600,

整理得：x2-5x=0,

解得：x1=5,x2=0（不符合题意，舍去）.

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答：第二天的草莓每千克降价5元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

2【分析】(1)利用待定系数法即可求得一次函数、反比例函数的解析式；

(2)根据SACD=S+SBCD-S,利用三角形面积即可求得•

△△ABD△△abc

【解答】解：(1)•••反比例函数y=型(mWO)的图象经过点B(-1,2),

X

/.m=-1X2=-2,

...反比例函数为y=

X

・・•点D在反比例函数的图象上，点D的横坐标为2,

AD(2,-1),

把B、D的坐标代入y=kx+b得,解得”=-1,

I2k+b=-lIb=l

一次函数的表达式为y=-x+1；

(2)%ACD=S^ABD+S^BCD-SAABC=/X2X(1+2)+/X1X(2+1)--1-x2X1-5.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数

和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

2【分析】(1)根据题中的新公式，代入求解；

(2)先求出F(m),G(m)的值，再计算F(m)+2G(m)的值.根据a,b的范围代

入实验，求出满足条件的m的值.

【解答】解：(1)F(38)=弱巫=-5,

9

G(59)=59+95=J4；

11

(2)VF(m)=(侬+b);(10也)_=2-b,

9

G(m)=a°a+b)+(10b+a)=a+b,

11

：.F(m)+2G(m)

=a-b+2(a+b)

=3a+b.

VF(m)+2G(m)是一个整数的平方，且a,b都是整数，且5WaW9,l《b《9,

・••当a=5,b=l时，3a+b=16=42,此时m=51,

第12页(共17页)

当a=6,b=7时，3a+b=25=5?,此时m=67,

当a=7,b=4时，3a+b=25=5?,此时m=74,

当a=8,b=l时，3a+b=25=52,此时m=81,

当a=9,b=9时，3a+b=36=62,此时m=99,

・,・满足条件m的值为：51,67,74,81,99.

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，带入检验是解题的关键.

【分析】(1)求出A、B点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；

(2)设P(t,t2-4t+3),先求出直线PB的解析式为y=(t-1)x+3-3t,则PB与对

称轴的交点为(2,1-t),可得为BE=(tY)2+2,当尸日时,Z\PBE面积的

最大值为卷;

(3)求出平移后的抛物线解析式为y=(x-4)2-3,则D'(4,-3),设N(4,t),

分两种情况讨论：①当PD'为平行四边形的对角线时，N(4,-7)；②当PN为平行四

边形的对角线时，N(4,1).

【解答】解(1)令x=0,则y=3,

：.C(0,3),

・・・OC=3,

,/OC=OB=3OA,

AOB=3,OA=1,

Z.A(1,0),B(3,0),

将A(1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,

.(a+b+3=0

19a+3b+3=0

解得卜=1,

(b=-4

.,.y=x2-4x+3；

(2)Vy=x2-4x+3=(x-2)2-1,

...抛物线的对称轴为直线x=2,

设直线BC的解析式为y=kx+b,

.[3k+b=0

"lb=3'

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.*.y=-x+3,

・・・E(2,1),

设P(t,t2-4t+3),直线PB的解析式为y=k'x+b',

,’3k，+b，=0

Itk"+bz=t2-4t+3

.*.y=(t-1)x+3-3t,

・・・PB与对称轴的交点为(2,l-l),

1+t)

.,.SAPEE=—X■X(3-t)=-工(t-3)2+S,

△2228

...当t=W时，ZXPBE面积的最大值为M；

28

(3)存在点N,使得以点P,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

•••直线BC的解析式为y=-x+3,

.••抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位，

平移后的抛物线解析式为y=(x-4)2-3=X2-8X+13,

AD(4,-3),

由(2)知，P(旦，一旦)，

24

：PM〃y轴，

.z313x

..MM(—,),

24

设N(4,t),

APM与ND一定是平行四边形的一组对边，

①当PD'为平行四边形的对角线时，

44

解得t=-7,

AN(4,-7)；

②当PN为平行四边形的对角线时,

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解得t=l,

AN（4,1）；

综上所述：N点坐标为（4,-7）或（4,1）.

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边