2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案

第八章直线和圆、圆锥曲线

全国卷两年考情图解高考命题规律把握

1.考查形式

本章在高考中一般考查2道小题或者1道

考点

解答题，分值占22分.

122(2)121(2)

圆锥曲线综合问题

111019II2(X2)2.考查内容

直线与圆锥曲线的

1121

位置关系

(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性

113

抛物线ni4114113

121(1)质的考查一般以选择题或填空题为主，重

双曲线U13

15在考查学生的双基.

椭圆122(1)1120(1)

圆与方程nn⑵对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，

直线与方程

20202021年份常以定点问题、最值问题及探索性问题为

载体，重在考查等价转化思想、方程思想

及数学运算能力.

备二直线的方程

［考试要求］

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，

掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、

两点式及一般式).

［走进教材-夯实基础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.直线的方向向量

(1)设A,B是直线上的两点，则Q就是这条直线的方向向量.

(2)若直线/的斜率为上,则直线/的一个方向向量为

2.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，以X轴作为基准，X轴正向与直线/向上

的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.

(2)范围：直线的倾斜角a的取值范围为0°Wa<180°.

3.直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用

小写字母k表示，即仁tana(a#90°).

(2)过两点的直线的斜率公式

V9-VI

如果直线经过两点Pl(xi,yi),P2(X2,y2)(Xl#X2),其斜率攵-

4.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式?一袂)=依一而不含直线X=X()

斜截式y=Ax+b不含垂直于X轴的直线

y-yix-xj

两点式券―yi-12-xi不含直线x=xi和直线y=yi

(xiW%2,yiW”)

截距式工+'=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

a-b---

Ax+8y+C=0(A2+

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

中工0)

提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零,

而“距离”是一个非负数.

［常用结论］

1.直线的斜率Z和倾斜角a之间的函数关系

如图，当aW0,当时，斜率附0,+8)；当a苦时，斜率不存在;当

a喏，兀)时，斜率左£(一8,0).

2.特殊直线的方程

(1)直线过点Pi(xi,yi),垂直于x轴的方程为岳4；

⑵直线过点Pi(xi,yi),垂直于y轴的方程为

(3)y轴的方程为x=0；

(4)x轴的方程为y=0.

©激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()

⑶经过定点A(0,加的直线都可以用方程y=^+b表示.()

(4)若直线的一个方向向量为(x,y),则该直线的斜率为1()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二'教材习题衍生

1.过A(4,y),BQ,—3)两点的直线的一个方向向量为(—1,-1),则y

=()>-----------/

A.—坐B.当

C.-1D.1

C［法一：由直线上的两点A(4,y),BQ,-3),得靠=(一2,—3—y),

又直线AB的一个方向向量为(—1,—1),因此(-2)X(―1)—(―3—y)X(—1)

=0,解得了=一1,故选C.

法二：由直线的方向向量为(-1,一1)得，直线的斜率为王~=1,所以)；1)

=1,解得y=-l.故选C.］

2.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+5)，+C=0不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C［由已知得直线Ax+3y+C=0在x轴上的截距一亨>0,在y轴上的截距

一*>0,故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.]

3.已知A(3,5),8(4,7),C(-l,x)三点共线，则x=.

-3[因为A,B,。三点共线，

7-5x—5

所以k>AB=kAC,所以4?=]?,所以x=­3.]

4.过点尸(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为.

3x-2y=0或x+y—5=0[当纵、横截距为0时，直线方程为3%—2》=0;

当截距不为0时，设直线方程为工+2=1,则2+3=1,解得”=5,直线方

程为x+y-5=0.]

[细研考点•突破题型]重难解惑■直击高考

□考点一直线的倾斜角与斜率、师生共研

[典例1](1)(2021.长沙一中模拟)如图，在矩形ABC。中，BC=yf3AB,直

线AC的斜率为坐，则直线BC的斜率为()

C.D.2小

(2)直线/过点P(1,0),且与以A(2,l),以0,小)为端点的线段有公共点，则

直线I斜率的取值范围为.

(1)A(2)(—8,一5]U[L+8)[(1)由题意，在RtABCD中，ZBCD

=，，BC=yl3AB=\[3CD,

.\tanZCBD=2,>4/C8£)=*,・••直线BC的倾斜角为故依c=targ=S.

故选A.

V3］U［1,4-oo）.］

畲反思领悟斜率取值范围的两种求法

数形结作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正

合法切函数的单调性确定

函数图

根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可

象法

提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在，必要时分0,方）与住，兀）两种情况

讨论.

［跟进训练］

1.（1）（多选）如图,直线h/2,/3的斜率分别为左,左2,人,倾斜角分别为

Q1,。2,13,则下列选项正确的是（）

A.k\<k3<ki

B・k3<ki<k\

C.a3<a2<a]

D.ai<a3<ai

⑵若直线/的斜率则直线/的倾斜角夕的范围是.

兀37c、

（1）AC（2）［0,W_|U［丁，。KD如题图，直线/i,/2,/3的斜率分别为心,

兀

氏2,23,倾斜角分别为a\,«2,。3,则攵2>%3>0,%<0,即A1V&3VA2,故2>12>13>0,

且ai为钝角，即a3Voe2Vai,故选AC.

3兀

（2）当一iwzvo时，彳wevjt,

7T

当owzwi时，

兀3兀)

因此。的取值范围是o,au彳，可.】

□考点二直线方程的求法《题组通关

1.经过两条直线/i：x+y=2,I2：2x—y=l的交点，且直线的一个方向向

量。=(一3,2)的直线方程为.

x+)'=2,

2x+3y—5=0[联立彳解得x=l,y=l,

[2x-y=\,

.•.直线过点(1,1).

•.•直线的方向向量0=(—3,2),

2

直线的斜率k=-y

2

则直线的方程为y—1=-1(尤一1),即2x+3y—5=0.]

2.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.

x+y—3=0或x+2y—4=0[由题意可设直线方程为三+：=1.

则21

--解得。=。=3,或。=4,b=2.

Q+-人

故所求直线方程为x+y—3=0或x+2y—4=0.]

3.已知△ABC的三个顶点分别为A(—3,0),8(2,1),。(一2,3),求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)3。边上中线AO所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程.

v—1

[解](1)因为直线经过8(2,1)和。(一2,3)两点，得8C的方程为二y=

x-2

--~~即x+2y—4=0.

-2—2

2—21+3

(2)设BC边的中点。(尤，y),则尤=5-=°，y=U-=2.

8C边的中线A。过A(—3,0),0(0,2)两点，所在直线方程为士+]=1,即

2x—3y+6=0.

(3)由(1)知，直线的斜率依=一］,则直线的垂直平分线OE的斜率

女2=2.由(2)知，点。的坐标为(0,2).

所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x~y+2=0.

威反思领信求直线方程的两种方法

;根据已知条件，选择适当的直线方程形式,

国育一：直接写出直线方程，选择时，应注意各种形

!式的方程的适用范围，必要时要分类讨论

即设定含有参数的直线方程，由条件列出

待定

方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线

系数法

方程

考点三直线方程的综合应用'师生共研

［典例2］已知直线/：自一y+l+2G=0(kGR).

(1)证明：直线/过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求Z的取值范围；

(3)若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于3,△A08的面积为S(。为

坐标原点)，求S的最小值并求此时直线/的方程.

［解］(1)证明：法一：直线/的方程可化为

^+2)+(1->')=0,

x+2=0,x=-2,

令'解得<

ll-y=0,J=L

，无论k取何值，直线/总经过定点(一2,1).

法二：方程自一)，+1+2女=0可化为y—l=Z(x+2),显然直线/恒过定点(一

2,1).

1+2%

(2)由方程知，当ZW0时，直线在x轴上的截距为一一7­,在y轴上的截距

K

1+2”

-1W—2,

为1+2Z,要使直线不经过第四象限，则必须有Jk解得Z>0；

」+2心1,

当斤=0时，直线为y=l,符合题意,

故攵的取值范围是［0,+8).

1+2A

(3)由题意可知ZrWO,再由/的方程，得A[——Oj,8(0,1+2攵).

1+2攵

依题意得<一k'解得Q>0.

、1+2左>0,

'：S=^\OA\\OB\

1(1+2妗既4线+4)

2'-F~

>|x(2X2+4)=4,

“=”成立的条件是攵>0且4%=4，

K

即T,

，Smin=4,此时直线I的方程为x-2y+4=0.

畲反思领信处理直线方程综合应用的两大策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目

标函数，再利用基本不等式求解最值.

(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点(或平

行)的直线系，即能够看出“动中有定”.

一[跟进而维r

2.(1)已知直线/过点M(2,l),且与光轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两

点，。为坐标原点，则当面为•而由取得最小值时，直线/的方程为.

(2)已知直线/i：ax—2y=2a—4,〃：2x+fl2y=2a2+4,当0VaV2时，直线

1\,6与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数。=.

(l)x+y—3=0(2)|[(1)设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,

直线/的方程为%+卡=1,所以(+[=L

\MA\-\MB\=-MA-MB=-{a-2,一1>(一2,h-l)=2(a-2)+b~l=2a+b

-5

=(2"+竭++54+骨4,

当且仅当a=b=3时取等号，此时直线/的方程为x+y—3=0.

(2)由题意知直线/i,/2恒过定点尸(2,2),直线/1在y轴上的截距为2一凡直

线上在x轴上的截距为/+2,

所以四边形的面积S=^X2X(2—。)+；*2*(层+2)

2।z,(1?,15

=6!2—«+4=16Z—2I+不

当a=g时，四边形的面积最小，故实数a的值为去］

缸恚两条直线的位置关系

［考试要求］

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平

行直线间的距离.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.两条直线的平行与垂直

(1)两条直线平行

若八〃/2(斜率均存在)，则Zi与h的倾斜角ai与a2相等，由ai=«2,可得tan

ai=tana2,即依=女2,因此，若h〃b,则==攵2.

(2)两条直线垂直

设两条直线Zi,/2的斜率分别为心，依，则直线/2的方向向量分别是。=

(1,k\),b=(l,%2),于是山=001X1+匕匕=0,即%々2=—1,

也就是说，

2.两条直线的交点坐标

已知两条直线li：Aix+3y+G=0,/2：A2x+Biy+C2=0相交，则交点P

Aix+Biy+G=0,

的坐标是方程组＜的解.

.Aix+Bay+C2=0

3.三种距离公式

(1)平面上的两点P1(X1,y。，P2(X2,户)间的距离公式|P1P2|=

X2)2+(yi—丫2)2.

特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,v)的距离IOPI=\/点+y2.

|Axo+3yo+C

⑵点P(xo,yo)到直线/：Ax+By+C=0的距离d=

|Ci-C2I

⑶两条平行线4c+8)，+G=0与-+B)，+C2=0间的距离d=

、/雇+炉.

［常用结论］

1.两直线平行的充要条件

直线/i：AIX+BI^+CI=0与直线/2：4比+82,+。2=0平行的充要条件是

2.两直线垂直的充要条件

直线Zi：Aix+Biy+Ci=0与直线，2：A2x+&y+C2=0垂直的充要条件是A.1.4?

・十为82=0.

3.对称问题

(1)点(X，y)关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为关

于原点的对称点为仁松二dx™

(2)点(X，y)关于丁=尤的对称点为底，冷，关于y=x+b的对称点为叱也d

土垃，关于>=一》的对称点为仁上™^)，关于y=—x+b的对称点为(fc匚f

(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为Qg;二&关于直线y=b的对称点

为此2坛二4

e激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)当直线/1和A斜率都存在时，一定有ki=k2Oh//b.()

⑵如果两条直线/i与/2垂直，那么它们的斜率之积一定等于一1.()

⑶若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

［答案］(1)X(2)X⑶J(4)V

二'教材习题衍生

1.已知点m，2)m>0)到直线/：x-y+3=o的距离为1,则a等于()

A./B.2-^2

C.啦-1D.也+1

C［由题意得'二苗®=i,即|“+1|=啦，

又a>0,；♦a='\［i-1.］

2.已知P（—2,加），2（777,4）,且直线PQ垂直于直线x+y+l=O,则m=

m-4

1［由题意知千茄=1,所以丁4=-2一初,所以片L］

3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点，则，〃的值为

=

卜y+2一xf，得1x—\,

-9曲

J=2.

所以点（1⑵满足方程，nr+2y+5=0,

即机XI+2X2+5=0,所以加=-9.］

4.已知直线3x+4y—3=0与直线6x+，盯+14=0平行，则它们之间的距离

是.

343

2［由两直线平行可知d=mW一瓦，即加=8.

.•.两直线方程分另I为3x+4y—3=0和3光+4y+7=0,

|7+3|

则它们之间的距离d==2.]

小+16

［细研考点・突破题型］重难解惑,直击高考

考点一两条直线位置关系的判断及应用《题组逋关

1.若直线小（。-1次+>—1=0和直线人：3x+ay+2=0垂直，则实数a

的值为（）

13

--

22

A.1B.

C3

-D.-

44

3

D［由已知得3（。-1）+“=0,解得

2.（2021.杭州模拟）设aGR,则％=1”是“直线八：一+2/-1=0与直线

b：x+（a+l）y+4=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A［当a=l时，显然h//l2,

若♦〃〃,则a(a+l)-2Xl=0,

所以a=\或a=~2.

所以a=l是直线/i与直线/2平行的充分不必要条件.]

3.已知三条直线Zi：lx—3y+l=0,b：4x+3y+5=0,h：mx—y—1=0

不能构成三角形，则实数机的取值集合为()

f4241f4221

C-I-?313fD-I-?3/

D•三条直线不能构成一个三角形，

2

二①当/i〃/3时，m=2；

4

②当/2〃/3时，加=一§;

③当12,/3交于一点时，也不能构成一个三角形，

f2x—3y+l=0,(n2

由彳..得交点为|—1,—7,代入〃ix—y—1=0,得《?=一弓.

.4x+3y+5=0,VJJJ

故选D.]

畲反思领悟

解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

后诲」玉麻金曲潺鹿嘉豆区看法而3话述「奥王/

防厂要分类讨论：

售在解题后要检验答案的正确性，看是否出现：

区半增解或漏解:

考点二两条直线的交点与距离问题(师生共研

[典例1](1)(2020.全国III卷)点(0,—1)到直线y=Z(x+l)距离的最大值为

A.1B.也

C.小D.2

(2)直线I过点P(—1,2)且到点A(2,3)和点3(—4,5)的距离相等，则直线1的方

程为.

(3)已知两直线a\x+b\y-1=0和aix+biy-1=0的交点为P(2,3),则过两点

。1),。2(。2,历)(。1#。2)的直线方程为

(1)B(2)x+3y—5=0或x=-l(3)2x+3y-l=0

[(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线)，=A(x+l)的距离d=

体0+(~~1>(-1)+川|%+1|/22+2R-FT/2k-

——+1+1v3+1vi/+1•.当Z=0时,d=\;

当左WO时，d=y1+要使。最大，需%>o且%+(最小,

...当&=1时，dmax=啦，故选B.

法二：记点A(0,-1),直线y=A(x+l)恒过点8(—1,0),当AB垂直于直线

y=Z(x+l)时，点A(0,—1)到直线y=-x+l)的距离最大，且最大值为依8|=6,

故选B.

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y—2=-x+l),即依一y+左

+2=0.

|2左-3+&+2||一必一5+%+2]

由题意知-

N-+1、如+1

即|3/一1|=|一3左一3|,：.k=-y直线I的方程为y-2=-/x+l),即x

+3丫-5=0.当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为》=-1,也符合题意.

2。1+3bl=1,

(3);PQ,3)在已知的两条直线上，：.],

.2。2+3匕2=1.

.•.点bl),。2(。2,㈤是直线2x+3y=l上的两个点，故过Q,Q两

点的直线方程为2x+3y=1.]

畲反思领悟1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其

他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这

样能简化解题过程.

2.点到直线'两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相

等.

［跟进训练］

1.(1)(多选)已知直线/i：2x+3y—l=0和/2：4x+6>—9=0,若直线/到直

线6的距离与到直线12的距离之比为1:2,则直线I的方程为()

A.2x+3y—8=0B.4x+6y+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

(2)求经过直线/i：3x+2y—l=0和京5x+2y+l=0的交点，且垂直于直

线Z3：3x—5y+6=0的直线I的方程为.

(1)BD(2)5x+3y-l=0[(1)设直线/:4x+6y+m=0,—2且加工一9,

制+2||—+9|

直线/到直线和/2的距离分别为d\,di,由题知：d\=

[16+36

因为％看所以2|m+2||加+9|13

,即2|m+2|=|??z+9|,解得m=5或

^/16+36-^/16+36机=一予

即直线1为4x+6y+5=0或12x+18y—13=0.

,3x+2y-l=0,

(2)先解方程组，

.5x+2y+l=0,

得h,/2的交点坐标为(-1,2),

35

再由/3的斜率:求出/的斜率为一宗

于是由直线的点斜式方程求出/:

厂2=一|。+1),即5*+3厂1=0.］

□考点三对称问题!多维探究

考向1中心对称问题

［典例2—1］过点P(0,l)作直线/,使它被直线人2%+厂8=0和乱x-3y

+10=0截得的线段被点P平分，则直线/的方程为.

尤+—一4=0［设/i与/的交点为A(a,8—2a),则由题意知，点A关于点P

的对称点8(—a,2a—6)在/2上，代入/2的方程得一a—3(2a—6)+10=0,解得a

=4,即点A(4,0)在直线/上，所以直线/的方程为x+4y-4=0.］

考向2轴对称问题

［典例2—2］(1)已知直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若

点43的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()

A.(—2,4)B.(—2,—4)

C.(2,4)D.(2,-4)

(2)已知入射光线经过点M(—3,4),被直线/：x—y+3=0反射，反射光线经

过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.

(1)C(2)6%—)，-6=0[⑴设A(—4,2)关于直线)，=2x的对称点为Ay),

X2=-l

x+4

则5

[y=+=22X—4+x

-2~

x=4

解得｛''(4,-2),由题意知，A，在直线BC上，所在直

lv=-2,

-2-1f3x+y-10=0,

线方程为y~l=——(A—3),即3x+y-10=0.联立J解得

4—3[y=2x,

/2,则C(2,4).

U=4,

⑵设点M(—3,4)关于直线/:x—y+3=0的对称点为b),则反射光线

所在直线过点AT,

'b—4

a-(-3)-1=-1,

所以《解得a=l,b=Q.

—3+ab+4,

-+3=0,

.2

即”(1,0).

又反射光线经过点M2,6),

所以所求直线的方程为用=尹=,

o—02~1

即6x—y—6=0.]

令反思领悟对称问题的求解方法

(1)点关于点：点P(x,。关于点。(a,b)的对称点为(2a—x,2b一天.

(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(3)点关于线：点A(a,Z?)关于直线Ar+By+C=0(8W0)的对称点〃),

(4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

［跟进训练］

2.(1)如图，已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射

后再射到直线OB上，最后经直线。8反射后又回到P点，则光线所经过的路程

是()

C.25D.2小

(2)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(加，〃)

重合，则m+n=.

34

(1)C(2)y［⑴直线A3的方程为x+y=4,点尸(2,0)关ir

于直线AB的对称点为0(4,2),关于y轴的对称点为。(一2,0),

则光线经过的路程为|CD|=762S=2，T6.

(2)由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y=2x—

,3+〃7+m

3,

3,它也是点(7,3)与点(〃?，〃)连线的中垂线，于是〈.

/?—3j_

jn—12，

3

mf

~5故"?+〃=?.]

解得，

31

n=5

园I的方程

［考试要求］

1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程

与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

€>梳理•必备知识

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程(X-4)2+()，一〃)2=户(r>0)圆心3，b),半径r

》2+丫2+6+&+尸=0(02+，半径当

圆心(苫'一号

一般方程£'2-4F>0)

\ID2+E2-4F

提醒：当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示一个点

孝，-f);当U+^—MVO时，方程f+V+Dx+Ey+mO没有意义，不

表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

点M(xo,yo)与圆(x—a>+(y—加2=，的位置关系：

⑴若M(xo,yo)在圆外，则(xo—匿+(优—8)2〉户.

(2)若M(xo，yo)在圆上，则Cro—at+(y()—/?>=户.

(3)若M(xo,yo)在圆内，则(xo—。产+(y()—V)2v*

［常用结论］

1.圆的三个性质

(1)圆心在迂如息且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上;

(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.

2.以A(xi,yi),8(x2,>2)为直径端点的圆的方程为在二见幺至二⑼士在二上也

◎激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打"J"，错误的打"X")

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程。+02+3+/2=户。金1<)表示圆心为(q,b),半径为/的一个圆.

()

(3)方程9+9+丽吠-2y=0不一定表示圆.()

(4)若点M(xo,yo)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则需+品+£>xo+£yo+F

>0.()

[答案](1)V(2)X(3)x(4)V

二'教材习题衍生

1.圆f+y2-4无+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3B.(—2,3),小

C.(12,—3),13D.(2,13),

D[圆的方程可化为(X—2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径

r=y[l3.]

2.已知点A(l,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是

A.x2+y2=2B./+9=也

C.^+/=1D.X2+/=4

A[法一：A3的中点坐标为(0,0),

\AB\=^/[1-(-1)]2+(-1-1)2=2^2,所以圆的方程为x2+y2=2.

法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为。一1)•(x+D+0+DS

—1)=0,即x2+y2=2.]

3.过点A(l,—1),8(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(X—1)2+(y—1)2=4D.(x+1)2+0+1)2=4

C[设圆心C的坐标为伍，b),半径为r.因为圆心。在直线尤+y—2=0上，

所以人=2—4又|C4|2=|CB|2,所以(q-iy+Q-a+i)2=(a+i)2+(2-a-i)2,所

以a=l,8=1.所以r=2.所以方程为(x-l)2+(y-1)2=4.]

4.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

x2+y2-2x=0［设圆的方程为/+产+6+或+/=0.；圆经过点(0,0),

(1,1),(2,0),

fF=0,CD=-2,

.•.42+D+E+F=0,解得<E=0,

14+20+尸=0,IF=0.

二圆的方程为x2+y2~2x=Q.］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一圆的方程4题组通关

1.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则

此圆的方程是()

A.。一2)2+。+3)2=13

B.(x+2)2+(y—3尸13

C.2)2+0+3)2=52

D.(%+2)2+。一3尸52

A［直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为2/，则半径

长为小，所以所求圆的方程是(x—2)2+。+3)2=13」

2.若不同的四点A(5,0),5(-1,0),。(一3,3),D(a,3)共圆,则a的值为

7［设圆的方程为x1+y2+Dx+Ey+F=^D2+E1-4F>0),分别代入A,B,

C三点坐标，得

A—4,

25+5£>+F=0,

25

l-D+F=0,解得JE=-y,

9+9~3D+3E+F=0,

.F=~5.

所以A,B,C三点确定的圆的方程为

25

j?+y2-4JC—5=0.

因为O(a,3)也在此圆上，所以4+9—4。-25—5=0.

所以a=7或a=一3(舍去).即a的值为7.］

3.已知圆C过点A(6,0),仇1,5),且圆心在直线/：2x—7y+8=0上，则圆

。的方程为________.恒益

5—0

(x—3>+(y—2)2=13［法一：(几何法)心8=/与=-1,

57

则A8的垂直平分线方程为y—2=x-

即x—y—1=0,

x~y—1=0,x=3,

联立方程＜解得

2x-7j+8=0,J=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13,

故圆。的方程为(x—3)2+6,-2)2=13.

法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(x—4+(y—A-=户.由题意可得

(6一.)2+(0—8)2=，，p?=3,

(1—a)2+(5—Z?)2=r2,解得｛/?=2,

2a—7匕+8=0,〔户=13,

故所求圆C的方程为(x—3)2+(y—2)2=13.]

4.已知“GR,方程//+(“+2»2+4九+8)，+5a=0表示圆，则圆心坐标是

，半径是.

(—2,—4)5[由已知方程表示圆，则屋=a+2,

解得a=2或a=-1.

当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=-1时，原方程为f+V+dx+gy—5=0,

化为标准方程为(X+2)2+()，+4)2=25,

表示以(一2,—4)为圆心，半径为5的圆.]

畲反思领悟求圆的方程的两种方法

r-^-n源燧面防元布荏康；宜爱廉山面芯正恭府

0,半径，进而写出方程:

了著巨算秦徉苕面芯7二商“福举莅二希

关，则设圆的标准方程，求出明6,r的值；:

待定②选择圆的一般方程，依据已知条件列出:

系数法关于O,E,尸的方程组，进而求出O.E,尸的:

值

□考点二与圆有关的最值问题4多维探究

考向1斜率型、截距型、距离型最值问题

［典例1-1］已知实数无，y满足方程^+/-4%+1=0.

⑴求拗最大值和最小值；

(2)求y—x的最大值和最小值；

(3)求_?十9的最大值和最小值.

［解］原方程可化为(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，木为半径的圆.

(1户的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

光

所以设"=攵，即

当直线y=Qc与圆相切时，斜率攵取最大值或最小值，此时考黑与=小，解

邛-十1

得k=±\f^(如图①).

所以:的最大值为小，最小值为一小.

图①