2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案_第1页
2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案_第2页
2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案_第3页
2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案_第4页
2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第八章直线和圆、圆锥曲线教案_第5页
已阅读5页,还剩104页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第八章直线和圆、圆锥曲线

全国卷两年考情图解高考命题规律把握

1.考查形式

本章在高考中一般考查2道小题或者1道

考点

解答题,分值占22分.

122(2)121(2)

圆锥曲线综合问题

111019II2(X2)2.考查内容

直线与圆锥曲线的

1121

位置关系

(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性

113

抛物线ni4114113

121(1)质的考查一般以选择题或填空题为主,重

双曲线U13

15在考查学生的双基.

椭圆122(1)1120(1)

圆与方程nn⑵对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,

直线与方程

20202021年份常以定点问题、最值问题及探索性问题为

载体,重在考查等价转化思想、方程思想

及数学运算能力.

备二直线的方程

[考试要求]

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,

掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、

两点式及一般式).

[走进教材-夯实基础]回顾知识•激活技能

€>梳理•必备知识

1.直线的方向向量

(1)设A,B是直线上的两点,则Q就是这条直线的方向向量.

(2)若直线/的斜率为上,则直线/的一个方向向量为

2.直线的倾斜角

(1)定义:当直线/与X轴相交时,以X轴作为基准,X轴正向与直线/向上

的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.

(2)范围:直线的倾斜角a的取值范围为0°Wa<180°.

3.直线的斜率

(1)定义:把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用

小写字母k表示,即仁tana(a#90°).

(2)过两点的直线的斜率公式

V9-VI

如果直线经过两点Pl(xi,yi),P2(X2,y2)(Xl#X2),其斜率攵-

4.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式?一袂)=依一而不含直线X=X()

斜截式y=Ax+b不含垂直于X轴的直线

y-yix-xj

两点式券―yi-12-xi不含直线x=xi和直线y=yi

(xiW%2,yiW”)

截距式工+'=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

a-b---

Ax+8y+C=0(A2+

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

中工0)

提醒:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正、可负,也可以是零,

而“距离”是一个非负数.

[常用结论]

1.直线的斜率Z和倾斜角a之间的函数关系

如图,当aW0,当时,斜率附0,+8);当a苦时,斜率不存在;当

a喏,兀)时,斜率左£(一8,0).

2.特殊直线的方程

(1)直线过点Pi(xi,yi),垂直于x轴的方程为岳4;

⑵直线过点Pi(xi,yi),垂直于y轴的方程为

(3)y轴的方程为x=0;

(4)x轴的方程为y=0.

©激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”,错误的打“X”)

⑴直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()

(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()

⑶经过定点A(0,加的直线都可以用方程y=^+b表示.()

(4)若直线的一个方向向量为(x,y),则该直线的斜率为1()

[答案](1)X(2)X(3)X(4)X

二'教材习题衍生

1.过A(4,y),BQ,—3)两点的直线的一个方向向量为(—1,-1),则y

=()>-----------/

A.—坐B.当

C.-1D.1

C[法一:由直线上的两点A(4,y),BQ,-3),得靠=(一2,—3—y),

又直线AB的一个方向向量为(—1,—1),因此(-2)X(―1)—(―3—y)X(—1)

=0,解得了=一1,故选C.

法二:由直线的方向向量为(-1,一1)得,直线的斜率为王~=1,所以);1)

=1,解得y=-l.故选C.]

2.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+5),+C=0不经过()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

C[由已知得直线Ax+3y+C=0在x轴上的截距一亨>0,在y轴上的截距

一*>0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.]

3.已知A(3,5),8(4,7),C(-l,x)三点共线,则x=.

-3[因为A,B,。三点共线,

7-5x—5

所以k>AB=kAC,所以4?=]?,所以x=­3.]

4.过点尸(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为.

3x-2y=0或x+y—5=0[当纵、横截距为0时,直线方程为3%—2》=0;

当截距不为0时,设直线方程为工+2=1,则2+3=1,解得”=5,直线方

程为x+y-5=0.]

[细研考点•突破题型]重难解惑■直击高考

□考点一直线的倾斜角与斜率、师生共研

[典例1](1)(2021.长沙一中模拟)如图,在矩形ABC。中,BC=yf3AB,直

线AC的斜率为坐,则直线BC的斜率为()

C.D.2小

(2)直线/过点P(1,0),且与以A(2,l),以0,小)为端点的线段有公共点,则

直线I斜率的取值范围为.

(1)A(2)(—8,一5]U[L+8)[(1)由题意,在RtABCD中,ZBCD

=,,BC=yl3AB=\[3CD,

.\tanZCBD=2,>4/C8£)=*,・••直线BC的倾斜角为故依c=targ=S.

故选A.

V3]U[1,4-oo).]

畲反思领悟斜率取值范围的两种求法

数形结作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正

合法切函数的单调性确定

函数图

根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可

象法

提醒:求倾斜角时要注意斜率是否存在,必要时分0,方)与住,兀)两种情况

讨论.

[跟进训练]

1.(1)(多选)如图,直线h/2,/3的斜率分别为左,左2,人,倾斜角分别为

Q1,。2,13,则下列选项正确的是()

A.k\<k3<ki

B・k3<ki<k\

C.a3<a2<a]

D.ai<a3<ai

⑵若直线/的斜率则直线/的倾斜角夕的范围是.

兀37c、

(1)AC(2)[0,W_|U[丁,。KD如题图,直线/i,/2,/3的斜率分别为心,

氏2,23,倾斜角分别为a\,«2,。3,则攵2>%3>0,%<0,即A1V&3VA2,故2>12>13>0,

且ai为钝角,即a3Voe2Vai,故选AC.

3兀

(2)当一iwzvo时,彳wevjt,

7T

当owzwi时,

兀3兀)

因此。的取值范围是o,au彳,可.】

□考点二直线方程的求法《题组通关

1.经过两条直线/i:x+y=2,I2:2x—y=l的交点,且直线的一个方向向

量。=(一3,2)的直线方程为.

x+)'=2,

2x+3y—5=0[联立彳解得x=l,y=l,

[2x-y=\,

.•.直线过点(1,1).

•.•直线的方向向量0=(—3,2),

2

直线的斜率k=-y

2

则直线的方程为y—1=-1(尤一1),即2x+3y—5=0.]

2.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.

x+y—3=0或x+2y—4=0[由题意可设直线方程为三+:=1.

则21

--解得。=。=3,或。=4,b=2.

Q+-人

故所求直线方程为x+y—3=0或x+2y—4=0.]

3.已知△ABC的三个顶点分别为A(—3,0),8(2,1),。(一2,3),求:

(1)BC边所在直线的方程;

(2)3。边上中线AO所在直线的方程;

(3)BC边的垂直平分线DE的方程.

v—1

[解](1)因为直线经过8(2,1)和。(一2,3)两点,得8C的方程为二y=

x-2

--~~即x+2y—4=0.

-2—2

2—21+3

(2)设BC边的中点。(尤,y),则尤=5-=°,y=U-=2.

8C边的中线A。过A(—3,0),0(0,2)两点,所在直线方程为士+]=1,即

2x—3y+6=0.

(3)由(1)知,直线的斜率依=一],则直线的垂直平分线OE的斜率

女2=2.由(2)知,点。的坐标为(0,2).

所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x~y+2=0.

威反思领信求直线方程的两种方法

;根据已知条件,选择适当的直线方程形式,

国育一:直接写出直线方程,选择时,应注意各种形

!式的方程的适用范围,必要时要分类讨论

即设定含有参数的直线方程,由条件列出

待定

方程(组),再求出参数,最后将其代入直线

系数法

方程

考点三直线方程的综合应用'师生共研

[典例2]已知直线/:自一y+l+2G=0(kGR).

(1)证明:直线/过定点;

(2)若直线不经过第四象限,求Z的取值范围;

(3)若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于3,△A08的面积为S(。为

坐标原点),求S的最小值并求此时直线/的方程.

[解](1)证明:法一:直线/的方程可化为

^+2)+(1->')=0,

x+2=0,x=-2,

令'解得<

ll-y=0,J=L

,无论k取何值,直线/总经过定点(一2,1).

法二:方程自一),+1+2女=0可化为y—l=Z(x+2),显然直线/恒过定点(一

2,1).

1+2%

(2)由方程知,当ZW0时,直线在x轴上的截距为一一7­,在y轴上的截距

K

1+2”

-1W—2,

为1+2Z,要使直线不经过第四象限,则必须有Jk解得Z>0;

」+2心1,

当斤=0时,直线为y=l,符合题意,

故攵的取值范围是[0,+8).

1+2A

(3)由题意可知ZrWO,再由/的方程,得A[——Oj,8(0,1+2攵).

1+2攵

依题意得<一k'解得Q>0.

、1+2左>0,

':S=^\OA\\OB\

1(1+2妗既4线+4)

2'-F~

>|x(2X2+4)=4,

“=”成立的条件是攵>0且4%=4,

K

即T,

,Smin=4,此时直线I的方程为x-2y+4=0.

畲反思领信处理直线方程综合应用的两大策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目

标函数,再利用基本不等式求解最值.

(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点(或平

行)的直线系,即能够看出“动中有定”.

一[跟进而维r

2.(1)已知直线/过点M(2,l),且与光轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两

点,。为坐标原点,则当面为•而由取得最小值时,直线/的方程为.

(2)已知直线/i:ax—2y=2a—4,〃:2x+fl2y=2a2+4,当0VaV2时,直线

1\,6与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数。=.

(l)x+y—3=0(2)|[(1)设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,

直线/的方程为%+卡=1,所以(+[=L

\MA\-\MB\=-MA-MB=-{a-2,一1>(一2,h-l)=2(a-2)+b~l=2a+b

-5

=(2"+竭++54+骨4,

当且仅当a=b=3时取等号,此时直线/的方程为x+y—3=0.

(2)由题意知直线/i,/2恒过定点尸(2,2),直线/1在y轴上的截距为2一凡直

线上在x轴上的截距为/+2,

所以四边形的面积S=^X2X(2—。)+;*2*(层+2)

2।z,(1?,15

=6!2—«+4=16Z—2I+不

当a=g时,四边形的面积最小,故实数a的值为去]

缸恚两条直线的位置关系

[考试要求]

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平

行直线间的距离.

[走进教材•夯实基础]回顾知识•激活技能

◎梳理•必备知识

1.两条直线的平行与垂直

(1)两条直线平行

若八〃/2(斜率均存在),则Zi与h的倾斜角ai与a2相等,由ai=«2,可得tan

ai=tana2,即依=女2,因此,若h〃b,则==攵2.

(2)两条直线垂直

设两条直线Zi,/2的斜率分别为心,依,则直线/2的方向向量分别是。=

(1,k\),b=(l,%2),于是山=001X1+匕匕=0,即%々2=—1,

也就是说,

2.两条直线的交点坐标

已知两条直线li:Aix+3y+G=0,/2:A2x+Biy+C2=0相交,则交点P

Aix+Biy+G=0,

的坐标是方程组<的解.

.Aix+Bay+C2=0

3.三种距离公式

(1)平面上的两点P1(X1,y。,P2(X2,户)间的距离公式|P1P2|=

X2)2+(yi—丫2)2.

特别地,原点0(0,0)与任一点P(x,v)的距离IOPI=\/点+y2.

|Axo+3yo+C

⑵点P(xo,yo)到直线/:Ax+By+C=0的距离d=

|Ci-C2I

⑶两条平行线4c+8),+G=0与-+B),+C2=0间的距离d=

、/雇+炉.

[常用结论]

1.两直线平行的充要条件

直线/i:AIX+BI^+CI=0与直线/2:4比+82,+。2=0平行的充要条件是

2.两直线垂直的充要条件

直线Zi:Aix+Biy+Ci=0与直线,2:A2x+&y+C2=0垂直的充要条件是A.1.4?

・十为82=0.

3.对称问题

(1)点(X,y)关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为关

于原点的对称点为仁松二dx™

(2)点(X,y)关于丁=尤的对称点为底,冷,关于y=x+b的对称点为叱也d

土垃,关于>=一》的对称点为仁上™^),关于y=—x+b的对称点为(fc匚f

(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为Qg;二&关于直线y=b的对称点

为此2坛二4

e激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”,错误的打“X”)

(1)当直线/1和A斜率都存在时,一定有ki=k2Oh//b.()

⑵如果两条直线/i与/2垂直,那么它们的斜率之积一定等于一1.()

⑶若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

[答案](1)X(2)X⑶J(4)V

二'教材习题衍生

1.已知点m,2)m>0)到直线/:x-y+3=o的距离为1,则a等于()

A./B.2-^2

C.啦-1D.也+1

C[由题意得'二苗®=i,即|“+1|=啦,

又a>0,;♦a='\[i-1.]

2.已知P(—2,加),2(777,4),且直线PQ垂直于直线x+y+l=O,则m=

m-4

1[由题意知千茄=1,所以丁4=-2一初,所以片L]

3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则,〃的值为

=

卜y+2一xf,得1x—\,

-9曲

J=2.

所以点(1⑵满足方程,nr+2y+5=0,

即机XI+2X2+5=0,所以加=-9.]

4.已知直线3x+4y—3=0与直线6x+,盯+14=0平行,则它们之间的距离

是.

343

2[由两直线平行可知d=mW一瓦,即加=8.

.•.两直线方程分另I为3x+4y—3=0和3光+4y+7=0,

|7+3|

则它们之间的距离d==2.]

小+16

[细研考点・突破题型]重难解惑,直击高考

考点一两条直线位置关系的判断及应用《题组逋关

1.若直线小(。-1次+>—1=0和直线人:3x+ay+2=0垂直,则实数a

的值为()

13

--

22

A.1B.

C3

-D.-

44

3

D[由已知得3(。-1)+“=0,解得

2.(2021.杭州模拟)设aGR,则%=1”是“直线八:一+2/-1=0与直线

b:x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

A[当a=l时,显然h//l2,

若♦〃〃,则a(a+l)-2Xl=0,

所以a=\或a=~2.

所以a=l是直线/i与直线/2平行的充分不必要条件.]

3.已知三条直线Zi:lx—3y+l=0,b:4x+3y+5=0,h:mx—y—1=0

不能构成三角形,则实数机的取值集合为()

f4241f4221

C-I-?313fD-I-?3/

D•三条直线不能构成一个三角形,

2

二①当/i〃/3时,m=2;

4

②当/2〃/3时,加=一§;

③当12,/3交于一点时,也不能构成一个三角形,

f2x—3y+l=0,(n2

由彳..得交点为|—1,—7,代入〃ix—y—1=0,得《?=一弓.

.4x+3y+5=0,VJJJ

故选D.]

畲反思领悟

解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”

后诲」玉麻金曲潺鹿嘉豆区看法而3话述「奥王/

防厂要分类讨论:

售在解题后要检验答案的正确性,看是否出现:

区半增解或漏解:

考点二两条直线的交点与距离问题(师生共研

[典例1](1)(2020.全国III卷)点(0,—1)到直线y=Z(x+l)距离的最大值为

A.1B.也

C.小D.2

(2)直线I过点P(—1,2)且到点A(2,3)和点3(—4,5)的距离相等,则直线1的方

程为.

(3)已知两直线a\x+b\y-1=0和aix+biy-1=0的交点为P(2,3),则过两点

。1),。2(。2,历)(。1#。2)的直线方程为

(1)B(2)x+3y—5=0或x=-l(3)2x+3y-l=0

[(1)法一:由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线),=A(x+l)的距离d=

体0+(~~1>(-1)+川|%+1|/22+2R-FT/2k-

——+1+1v3+1vi/+1•.当Z=0时,d=\;

当左WO时,d=y1+要使。最大,需%>o且%+(最小,

...当&=1时,dmax=啦,故选B.

法二:记点A(0,-1),直线y=A(x+l)恒过点8(—1,0),当AB垂直于直线

y=Z(x+l)时,点A(0,—1)到直线y=-x+l)的距离最大,且最大值为依8|=6,

故选B.

(2)当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y—2=-x+l),即依一y+左

+2=0.

|2左-3+&+2||一必一5+%+2]

由题意知-

N-+1、如+1

即|3/一1|=|一3左一3|,:.k=-y直线I的方程为y-2=-/x+l),即x

+3丫-5=0.当直线/的斜率不存在时,直线/的方程为》=-1,也符合题意.

2。1+3bl=1,

(3);PQ,3)在已知的两条直线上,:.],

.2。2+3匕2=1.

.•.点bl),。2(。2,㈤是直线2x+3y=l上的两个点,故过Q,Q两

点的直线方程为2x+3y=1.]

畲反思领悟1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其

他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这

样能简化解题过程.

2.点到直线'两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相

等.

[跟进训练]

1.(1)(多选)已知直线/i:2x+3y—l=0和/2:4x+6>—9=0,若直线/到直

线6的距离与到直线12的距离之比为1:2,则直线I的方程为()

A.2x+3y—8=0B.4x+6y+5=0

C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0

(2)求经过直线/i:3x+2y—l=0和京5x+2y+l=0的交点,且垂直于直

线Z3:3x—5y+6=0的直线I的方程为.

(1)BD(2)5x+3y-l=0[(1)设直线/:4x+6y+m=0,—2且加工一9,

制+2||—+9|

直线/到直线和/2的距离分别为d\,di,由题知:d\=

[16+36

因为%看所以2|m+2||加+9|13

,即2|m+2|=|??z+9|,解得m=5或

^/16+36-^/16+36机=一予

即直线1为4x+6y+5=0或12x+18y—13=0.

,3x+2y-l=0,

(2)先解方程组,

.5x+2y+l=0,

得h,/2的交点坐标为(-1,2),

35

再由/3的斜率:求出/的斜率为一宗

于是由直线的点斜式方程求出/:

厂2=一|。+1),即5*+3厂1=0.]

□考点三对称问题!多维探究

考向1中心对称问题

[典例2—1]过点P(0,l)作直线/,使它被直线人2%+厂8=0和乱x-3y

+10=0截得的线段被点P平分,则直线/的方程为.

尤+—一4=0[设/i与/的交点为A(a,8—2a),则由题意知,点A关于点P

的对称点8(—a,2a—6)在/2上,代入/2的方程得一a—3(2a—6)+10=0,解得a

=4,即点A(4,0)在直线/上,所以直线/的方程为x+4y-4=0.]

考向2轴对称问题

[典例2—2](1)已知直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线,若

点43的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()

A.(—2,4)B.(—2,—4)

C.(2,4)D.(2,-4)

(2)已知入射光线经过点M(—3,4),被直线/:x—y+3=0反射,反射光线经

过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.

(1)C(2)6%—),-6=0[⑴设A(—4,2)关于直线),=2x的对称点为Ay),

X2=-l

x+4

则5

[y=+=22X—4+x

-2~

x=4

解得{''(4,-2),由题意知,A,在直线BC上,所在直

lv=-2,

-2-1f3x+y-10=0,

线方程为y~l=——(A—3),即3x+y-10=0.联立J解得

4—3[y=2x,

/2,则C(2,4).

U=4,

⑵设点M(—3,4)关于直线/:x—y+3=0的对称点为b),则反射光线

所在直线过点AT,

'b—4

a-(-3)-1=-1,

所以《解得a=l,b=Q.

—3+ab+4,

-+3=0,

.2

即”(1,0).

又反射光线经过点M2,6),

所以所求直线的方程为用=尹=,

o—02~1

即6x—y—6=0.]

令反思领悟对称问题的求解方法

(1)点关于点:点P(x,。关于点。(a,b)的对称点为(2a—x,2b一天.

(2)线关于点:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.

(3)点关于线:点A(a,Z?)关于直线Ar+By+C=0(8W0)的对称点〃),

(4)线关于线:直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

[跟进训练]

2.(1)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射

后再射到直线OB上,最后经直线。8反射后又回到P点,则光线所经过的路程

是()

C.25D.2小

(2)若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(加,〃)

重合,则m+n=.

34

(1)C(2)y[⑴直线A3的方程为x+y=4,点尸(2,0)关ir

于直线AB的对称点为0(4,2),关于y轴的对称点为。(一2,0),

则光线经过的路程为|CD|=762S=2,T6.

(2)由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x—

,3+〃7+m

3,

3,它也是点(7,3)与点(〃?,〃)连线的中垂线,于是〈.

/?—3j_

jn—12,

3

mf

~5故"?+〃=?.]

解得,

31

n=5

园I的方程

[考试要求]

1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程

与一般方程.

2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

[走进教材•夯实基础]回顾知识•激活技能

€>梳理•必备知识

1.圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程(X-4)2+(),一〃)2=户(r>0)圆心3,b),半径r

》2+丫2+6+&+尸=0(02+,半径当

圆心(苫'一号

一般方程£'2-4F>0)

\ID2+E2-4F

提醒:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示一个点

孝,-f);当U+^—MVO时,方程f+V+Dx+Ey+mO没有意义,不

表示任何图形.

2.点与圆的位置关系

点M(xo,yo)与圆(x—a>+(y—加2=,的位置关系:

⑴若M(xo,yo)在圆外,则(xo—匿+(优—8)2〉户.

(2)若M(xo,yo)在圆上,则Cro—at+(y()—/?>=户.

(3)若M(xo,yo)在圆内,则(xo—。产+(y()—V)2v*

[常用结论]

1.圆的三个性质

(1)圆心在迂如息且垂直于切线的直线上;

(2)圆心在任一弦的中垂线上;

(3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线.

2.以A(xi,yi),8(x2,>2)为直径端点的圆的方程为在二见幺至二⑼士在二上也

◎激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打"J",错误的打"X")

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程。+02+3+/2=户。金1<)表示圆心为(q,b),半径为/的一个圆.

()

(3)方程9+9+丽吠-2y=0不一定表示圆.()

(4)若点M(xo,yo)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则需+品+£>xo+£yo+F

>0.()

[答案](1)V(2)X(3)x(4)V

二'教材习题衍生

1.圆f+y2-4无+6y=0的圆心坐标和半径分别是()

A.(2,3),3B.(—2,3),小

C.(12,—3),13D.(2,13),

D[圆的方程可化为(X—2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径

r=y[l3.]

2.已知点A(l,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是

A.x2+y2=2B./+9=也

C.^+/=1D.X2+/=4

A[法一:A3的中点坐标为(0,0),

\AB\=^/[1-(-1)]2+(-1-1)2=2^2,所以圆的方程为x2+y2=2.

法二:(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为。一1)•(x+D+0+DS

—1)=0,即x2+y2=2.]

3.过点A(l,—1),8(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()

A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(X—1)2+(y—1)2=4D.(x+1)2+0+1)2=4

C[设圆心C的坐标为伍,b),半径为r.因为圆心。在直线尤+y—2=0上,

所以人=2—4又|C4|2=|CB|2,所以(q-iy+Q-a+i)2=(a+i)2+(2-a-i)2,所

以a=l,8=1.所以r=2.所以方程为(x-l)2+(y-1)2=4.]

4.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

x2+y2-2x=0[设圆的方程为/+产+6+或+/=0.;圆经过点(0,0),

(1,1),(2,0),

fF=0,CD=-2,

.•.42+D+E+F=0,解得<E=0,

14+20+尸=0,IF=0.

二圆的方程为x2+y2~2x=Q.]

[细研考点•突破题型]重难解惑直击高考

□考点一圆的方程4题组通关

1.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则

此圆的方程是()

A.。一2)2+。+3)2=13

B.(x+2)2+(y—3尸13

C.2)2+0+3)2=52

D.(%+2)2+。一3尸52

A[直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为2/,则半径

长为小,所以所求圆的方程是(x—2)2+。+3)2=13」

2.若不同的四点A(5,0),5(-1,0),。(一3,3),D(a,3)共圆,则a的值为

7[设圆的方程为x1+y2+Dx+Ey+F=^D2+E1-4F>0),分别代入A,B,

C三点坐标,得

A—4,

25+5£>+F=0,

25

l-D+F=0,解得JE=-y,

9+9~3D+3E+F=0,

.F=~5.

所以A,B,C三点确定的圆的方程为

25

j?+y2-4JC—5=0.

因为O(a,3)也在此圆上,所以4+9—4。-25—5=0.

所以a=7或a=一3(舍去).即a的值为7.]

3.已知圆C过点A(6,0),仇1,5),且圆心在直线/:2x—7y+8=0上,则圆

。的方程为________.恒益

5—0

(x—3>+(y—2)2=13[法一:(几何法)心8=/与=-1,

57

则A8的垂直平分线方程为y—2=x-

即x—y—1=0,

x~y—1=0,x=3,

联立方程<解得

2x-7j+8=0,J=2,

r=^(6-3)2+(0-2)2=V13,

故圆。的方程为(x—3)2+6,-2)2=13.

法二:(待定系数法)设所求圆的方程为(x—4+(y—A-=户.由题意可得

(6一.)2+(0—8)2=,,p?=3,

(1—a)2+(5—Z?)2=r2,解得{/?=2,

2a—7匕+8=0,〔户=13,

故所求圆C的方程为(x—3)2+(y—2)2=13.]

4.已知“GR,方程//+(“+2»2+4九+8),+5a=0表示圆,则圆心坐标是

,半径是.

(—2,—4)5[由已知方程表示圆,则屋=a+2,

解得a=2或a=-1.

当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.

当a=-1时,原方程为f+V+dx+gy—5=0,

化为标准方程为(X+2)2+(),+4)2=25,

表示以(一2,—4)为圆心,半径为5的圆.]

畲反思领悟求圆的方程的两种方法

r-^-n源燧面防元布荏康;宜爱廉山面芯正恭府

0,半径,进而写出方程:

了著巨算秦徉苕面芯7二商“福举莅二希

关,则设圆的标准方程,求出明6,r的值;:

待定②选择圆的一般方程,依据已知条件列出:

系数法关于O,E,尸的方程组,进而求出O.E,尸的:

□考点二与圆有关的最值问题4多维探究

考向1斜率型、截距型、距离型最值问题

[典例1-1]已知实数无,y满足方程^+/-4%+1=0.

⑴求拗最大值和最小值;

(2)求y—x的最大值和最小值;

(3)求_?十9的最大值和最小值.

[解]原方程可化为(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,木为半径的圆.

(1户的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,

所以设"=攵,即

当直线y=Qc与圆相切时,斜率攵取最大值或最小值,此时考黑与=小,解

邛-十1

得k=±\f^(如图①).

所以:的最大值为小,最小值为一小.

图①

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论