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文档简介
第八章直线和圆、圆锥曲线
全国卷两年考情图解高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般考查2道小题或者1道
考点
解答题,分值占22分.
122(2)121(2)
圆锥曲线综合问题
111019II2(X2)2.考查内容
直线与圆锥曲线的
1121
位置关系
(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性
113
抛物线ni4114113
121(1)质的考查一般以选择题或填空题为主,重
双曲线U13
15在考查学生的双基.
椭圆122(1)1120(1)
圆与方程nn⑵对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,
直线与方程
20202021年份常以定点问题、最值问题及探索性问题为
载体,重在考查等价转化思想、方程思想
及数学运算能力.
备二直线的方程
[考试要求]
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,
掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
两点式及一般式).
[走进教材-夯实基础]回顾知识•激活技能
€>梳理•必备知识
1.直线的方向向量
(1)设A,B是直线上的两点,则Q就是这条直线的方向向量.
(2)若直线/的斜率为上,则直线/的一个方向向量为
2.直线的倾斜角
(1)定义:当直线/与X轴相交时,以X轴作为基准,X轴正向与直线/向上
的方向之间所成的角a叫做直线/的倾斜角.
(2)范围:直线的倾斜角a的取值范围为0°Wa<180°.
3.直线的斜率
(1)定义:把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用
小写字母k表示,即仁tana(a#90°).
(2)过两点的直线的斜率公式
V9-VI
如果直线经过两点Pl(xi,yi),P2(X2,y2)(Xl#X2),其斜率攵-
4.直线方程的五种形式
名称方程适用范围
点斜式?一袂)=依一而不含直线X=X()
斜截式y=Ax+b不含垂直于X轴的直线
y-yix-xj
两点式券―yi-12-xi不含直线x=xi和直线y=yi
(xiW%2,yiW”)
截距式工+'=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线
a-b---
Ax+8y+C=0(A2+
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
中工0)
提醒:“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正、可负,也可以是零,
而“距离”是一个非负数.
[常用结论]
1.直线的斜率Z和倾斜角a之间的函数关系
如图,当aW0,当时,斜率附0,+8);当a苦时,斜率不存在;当
a喏,兀)时,斜率左£(一8,0).
2.特殊直线的方程
(1)直线过点Pi(xi,yi),垂直于x轴的方程为岳4;
⑵直线过点Pi(xi,yi),垂直于y轴的方程为
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
©激活•基本技能
一'易错易误辨析(正确的打“J”,错误的打“X”)
⑴直线的斜率为tana,则其倾斜角为a.()
(2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.()
⑶经过定点A(0,加的直线都可以用方程y=^+b表示.()
(4)若直线的一个方向向量为(x,y),则该直线的斜率为1()
[答案](1)X(2)X(3)X(4)X
二'教材习题衍生
1.过A(4,y),BQ,—3)两点的直线的一个方向向量为(—1,-1),则y
=()>-----------/
A.—坐B.当
C.-1D.1
C[法一:由直线上的两点A(4,y),BQ,-3),得靠=(一2,—3—y),
又直线AB的一个方向向量为(—1,—1),因此(-2)X(―1)—(―3—y)X(—1)
=0,解得了=一1,故选C.
法二:由直线的方向向量为(-1,一1)得,直线的斜率为王~=1,所以);1)
=1,解得y=-l.故选C.]
2.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+5),+C=0不经过()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
C[由已知得直线Ax+3y+C=0在x轴上的截距一亨>0,在y轴上的截距
一*>0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.]
3.已知A(3,5),8(4,7),C(-l,x)三点共线,则x=.
-3[因为A,B,。三点共线,
7-5x—5
所以k>AB=kAC,所以4?=]?,所以x=3.]
4.过点尸(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为.
3x-2y=0或x+y—5=0[当纵、横截距为0时,直线方程为3%—2》=0;
当截距不为0时,设直线方程为工+2=1,则2+3=1,解得”=5,直线方
程为x+y-5=0.]
[细研考点•突破题型]重难解惑■直击高考
□考点一直线的倾斜角与斜率、师生共研
[典例1](1)(2021.长沙一中模拟)如图,在矩形ABC。中,BC=yf3AB,直
线AC的斜率为坐,则直线BC的斜率为()
C.D.2小
(2)直线/过点P(1,0),且与以A(2,l),以0,小)为端点的线段有公共点,则
直线I斜率的取值范围为.
(1)A(2)(—8,一5]U[L+8)[(1)由题意,在RtABCD中,ZBCD
=,,BC=yl3AB=\[3CD,
.\tanZCBD=2,>4/C8£)=*,・••直线BC的倾斜角为故依c=targ=S.
故选A.
V3]U[1,4-oo).]
畲反思领悟斜率取值范围的两种求法
数形结作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正
合法切函数的单调性确定
函数图
根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可
象法
提醒:求倾斜角时要注意斜率是否存在,必要时分0,方)与住,兀)两种情况
讨论.
[跟进训练]
1.(1)(多选)如图,直线h/2,/3的斜率分别为左,左2,人,倾斜角分别为
Q1,。2,13,则下列选项正确的是()
A.k\<k3<ki
B・k3<ki<k\
C.a3<a2<a]
D.ai<a3<ai
⑵若直线/的斜率则直线/的倾斜角夕的范围是.
兀37c、
(1)AC(2)[0,W_|U[丁,。KD如题图,直线/i,/2,/3的斜率分别为心,
兀
氏2,23,倾斜角分别为a\,«2,。3,则攵2>%3>0,%<0,即A1V&3VA2,故2>12>13>0,
且ai为钝角,即a3Voe2Vai,故选AC.
3兀
(2)当一iwzvo时,彳wevjt,
7T
当owzwi时,
兀3兀)
因此。的取值范围是o,au彳,可.】
□考点二直线方程的求法《题组通关
1.经过两条直线/i:x+y=2,I2:2x—y=l的交点,且直线的一个方向向
量。=(一3,2)的直线方程为.
x+)'=2,
2x+3y—5=0[联立彳解得x=l,y=l,
[2x-y=\,
.•.直线过点(1,1).
•.•直线的方向向量0=(—3,2),
2
直线的斜率k=-y
2
则直线的方程为y—1=-1(尤一1),即2x+3y—5=0.]
2.过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为.
x+y—3=0或x+2y—4=0[由题意可设直线方程为三+:=1.
则21
--解得。=。=3,或。=4,b=2.
Q+-人
故所求直线方程为x+y—3=0或x+2y—4=0.]
3.已知△ABC的三个顶点分别为A(—3,0),8(2,1),。(一2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)3。边上中线AO所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
v—1
[解](1)因为直线经过8(2,1)和。(一2,3)两点,得8C的方程为二y=
x-2
--~~即x+2y—4=0.
-2—2
2—21+3
(2)设BC边的中点。(尤,y),则尤=5-=°,y=U-=2.
8C边的中线A。过A(—3,0),0(0,2)两点,所在直线方程为士+]=1,即
2x—3y+6=0.
(3)由(1)知,直线的斜率依=一],则直线的垂直平分线OE的斜率
女2=2.由(2)知,点。的坐标为(0,2).
所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x~y+2=0.
威反思领信求直线方程的两种方法
;根据已知条件,选择适当的直线方程形式,
国育一:直接写出直线方程,选择时,应注意各种形
!式的方程的适用范围,必要时要分类讨论
即设定含有参数的直线方程,由条件列出
待定
方程(组),再求出参数,最后将其代入直线
系数法
方程
考点三直线方程的综合应用'师生共研
[典例2]已知直线/:自一y+l+2G=0(kGR).
(1)证明:直线/过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求Z的取值范围;
(3)若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于3,△A08的面积为S(。为
坐标原点),求S的最小值并求此时直线/的方程.
[解](1)证明:法一:直线/的方程可化为
^+2)+(1->')=0,
x+2=0,x=-2,
令'解得<
ll-y=0,J=L
,无论k取何值,直线/总经过定点(一2,1).
法二:方程自一),+1+2女=0可化为y—l=Z(x+2),显然直线/恒过定点(一
2,1).
1+2%
(2)由方程知,当ZW0时,直线在x轴上的截距为一一7,在y轴上的截距
K
1+2”
-1W—2,
为1+2Z,要使直线不经过第四象限,则必须有Jk解得Z>0;
」+2心1,
当斤=0时,直线为y=l,符合题意,
故攵的取值范围是[0,+8).
1+2A
(3)由题意可知ZrWO,再由/的方程,得A[——Oj,8(0,1+2攵).
1+2攵
依题意得<一k'解得Q>0.
、1+2左>0,
':S=^\OA\\OB\
1(1+2妗既4线+4)
2'-F~
>|x(2X2+4)=4,
“=”成立的条件是攵>0且4%=4,
K
即T,
,Smin=4,此时直线I的方程为x-2y+4=0.
畲反思领信处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目
标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点(或平
行)的直线系,即能够看出“动中有定”.
一[跟进而维r
2.(1)已知直线/过点M(2,l),且与光轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两
点,。为坐标原点,则当面为•而由取得最小值时,直线/的方程为.
(2)已知直线/i:ax—2y=2a—4,〃:2x+fl2y=2a2+4,当0VaV2时,直线
1\,6与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数。=.
(l)x+y—3=0(2)|[(1)设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,
直线/的方程为%+卡=1,所以(+[=L
\MA\-\MB\=-MA-MB=-{a-2,一1>(一2,h-l)=2(a-2)+b~l=2a+b
-5
=(2"+竭++54+骨4,
当且仅当a=b=3时取等号,此时直线/的方程为x+y—3=0.
(2)由题意知直线/i,/2恒过定点尸(2,2),直线/1在y轴上的截距为2一凡直
线上在x轴上的截距为/+2,
所以四边形的面积S=^X2X(2—。)+;*2*(层+2)
2।z,(1?,15
=6!2—«+4=16Z—2I+不
当a=g时,四边形的面积最小,故实数a的值为去]
缸恚两条直线的位置关系
[考试要求]
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平
行直线间的距离.
[走进教材•夯实基础]回顾知识•激活技能
◎梳理•必备知识
1.两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若八〃/2(斜率均存在),则Zi与h的倾斜角ai与a2相等,由ai=«2,可得tan
ai=tana2,即依=女2,因此,若h〃b,则==攵2.
(2)两条直线垂直
设两条直线Zi,/2的斜率分别为心,依,则直线/2的方向向量分别是。=
(1,k\),b=(l,%2),于是山=001X1+匕匕=0,即%々2=—1,
也就是说,
2.两条直线的交点坐标
已知两条直线li:Aix+3y+G=0,/2:A2x+Biy+C2=0相交,则交点P
Aix+Biy+G=0,
的坐标是方程组<的解.
.Aix+Bay+C2=0
3.三种距离公式
(1)平面上的两点P1(X1,y。,P2(X2,户)间的距离公式|P1P2|=
X2)2+(yi—丫2)2.
特别地,原点0(0,0)与任一点P(x,v)的距离IOPI=\/点+y2.
|Axo+3yo+C
⑵点P(xo,yo)到直线/:Ax+By+C=0的距离d=
|Ci-C2I
⑶两条平行线4c+8),+G=0与-+B),+C2=0间的距离d=
、/雇+炉.
[常用结论]
1.两直线平行的充要条件
直线/i:AIX+BI^+CI=0与直线/2:4比+82,+。2=0平行的充要条件是
2.两直线垂直的充要条件
直线Zi:Aix+Biy+Ci=0与直线,2:A2x+&y+C2=0垂直的充要条件是A.1.4?
・十为82=0.
3.对称问题
(1)点(X,y)关于x轴的对称点为关于y轴的对称点为关
于原点的对称点为仁松二dx™
(2)点(X,y)关于丁=尤的对称点为底,冷,关于y=x+b的对称点为叱也d
土垃,关于>=一》的对称点为仁上™^),关于y=—x+b的对称点为(fc匚f
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为Qg;二&关于直线y=b的对称点
为此2坛二4
e激活•基本技能
一、易错易误辨析(正确的打“J”,错误的打“X”)
(1)当直线/1和A斜率都存在时,一定有ki=k2Oh//b.()
⑵如果两条直线/i与/2垂直,那么它们的斜率之积一定等于一1.()
⑶若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()
[答案](1)X(2)X⑶J(4)V
二'教材习题衍生
1.已知点m,2)m>0)到直线/:x-y+3=o的距离为1,则a等于()
A./B.2-^2
C.啦-1D.也+1
C[由题意得'二苗®=i,即|“+1|=啦,
又a>0,;♦a='\[i-1.]
2.已知P(—2,加),2(777,4),且直线PQ垂直于直线x+y+l=O,则m=
m-4
1[由题意知千茄=1,所以丁4=-2一初,所以片L]
3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则,〃的值为
=
卜y+2一xf,得1x—\,
-9曲
J=2.
所以点(1⑵满足方程,nr+2y+5=0,
即机XI+2X2+5=0,所以加=-9.]
4.已知直线3x+4y—3=0与直线6x+,盯+14=0平行,则它们之间的距离
是.
343
2[由两直线平行可知d=mW一瓦,即加=8.
.•.两直线方程分另I为3x+4y—3=0和3光+4y+7=0,
|7+3|
则它们之间的距离d==2.]
小+16
[细研考点・突破题型]重难解惑,直击高考
考点一两条直线位置关系的判断及应用《题组逋关
1.若直线小(。-1次+>—1=0和直线人:3x+ay+2=0垂直,则实数a
的值为()
13
--
22
A.1B.
C3
-D.-
44
3
D[由已知得3(。-1)+“=0,解得
2.(2021.杭州模拟)设aGR,则%=1”是“直线八:一+2/-1=0与直线
b:x+(a+l)y+4=0平行”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
A[当a=l时,显然h//l2,
若♦〃〃,则a(a+l)-2Xl=0,
所以a=\或a=~2.
所以a=l是直线/i与直线/2平行的充分不必要条件.]
3.已知三条直线Zi:lx—3y+l=0,b:4x+3y+5=0,h:mx—y—1=0
不能构成三角形,则实数机的取值集合为()
f4241f4221
C-I-?313fD-I-?3/
D•三条直线不能构成一个三角形,
2
二①当/i〃/3时,m=2;
4
②当/2〃/3时,加=一§;
③当12,/3交于一点时,也不能构成一个三角形,
f2x—3y+l=0,(n2
由彳..得交点为|—1,—7,代入〃ix—y—1=0,得《?=一弓.
.4x+3y+5=0,VJJJ
故选D.]
畲反思领悟
解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
后诲」玉麻金曲潺鹿嘉豆区看法而3话述「奥王/
防厂要分类讨论:
售在解题后要检验答案的正确性,看是否出现:
区半增解或漏解:
考点二两条直线的交点与距离问题(师生共研
[典例1](1)(2020.全国III卷)点(0,—1)到直线y=Z(x+l)距离的最大值为
A.1B.也
C.小D.2
(2)直线I过点P(—1,2)且到点A(2,3)和点3(—4,5)的距离相等,则直线1的方
程为.
(3)已知两直线a\x+b\y-1=0和aix+biy-1=0的交点为P(2,3),则过两点
。1),。2(。2,历)(。1#。2)的直线方程为
(1)B(2)x+3y—5=0或x=-l(3)2x+3y-l=0
[(1)法一:由点到直线的距离公式知点(0,-1)到直线),=A(x+l)的距离d=
体0+(~~1>(-1)+川|%+1|/22+2R-FT/2k-
——+1+1v3+1vi/+1•.当Z=0时,d=\;
当左WO时,d=y1+要使。最大,需%>o且%+(最小,
...当&=1时,dmax=啦,故选B.
法二:记点A(0,-1),直线y=A(x+l)恒过点8(—1,0),当AB垂直于直线
y=Z(x+l)时,点A(0,—1)到直线y=-x+l)的距离最大,且最大值为依8|=6,
故选B.
(2)当直线/的斜率存在时,设直线/的方程为y—2=-x+l),即依一y+左
+2=0.
|2左-3+&+2||一必一5+%+2]
由题意知-
N-+1、如+1
即|3/一1|=|一3左一3|,:.k=-y直线I的方程为y-2=-/x+l),即x
+3丫-5=0.当直线/的斜率不存在时,直线/的方程为》=-1,也符合题意.
2。1+3bl=1,
(3);PQ,3)在已知的两条直线上,:.],
.2。2+3匕2=1.
.•.点bl),。2(。2,㈤是直线2x+3y=l上的两个点,故过Q,Q两
点的直线方程为2x+3y=1.]
畲反思领悟1.求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其
他条件写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这
样能简化解题过程.
2.点到直线'两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相
等.
[跟进训练]
1.(1)(多选)已知直线/i:2x+3y—l=0和/2:4x+6>—9=0,若直线/到直
线6的距离与到直线12的距离之比为1:2,则直线I的方程为()
A.2x+3y—8=0B.4x+6y+5=0
C.6x+9y-10=0D.12x+18y—13=0
(2)求经过直线/i:3x+2y—l=0和京5x+2y+l=0的交点,且垂直于直
线Z3:3x—5y+6=0的直线I的方程为.
(1)BD(2)5x+3y-l=0[(1)设直线/:4x+6y+m=0,—2且加工一9,
制+2||—+9|
直线/到直线和/2的距离分别为d\,di,由题知:d\=
[16+36
因为%看所以2|m+2||加+9|13
,即2|m+2|=|??z+9|,解得m=5或
^/16+36-^/16+36机=一予
即直线1为4x+6y+5=0或12x+18y—13=0.
,3x+2y-l=0,
(2)先解方程组,
.5x+2y+l=0,
得h,/2的交点坐标为(-1,2),
35
再由/3的斜率:求出/的斜率为一宗
于是由直线的点斜式方程求出/:
厂2=一|。+1),即5*+3厂1=0.]
□考点三对称问题!多维探究
考向1中心对称问题
[典例2—1]过点P(0,l)作直线/,使它被直线人2%+厂8=0和乱x-3y
+10=0截得的线段被点P平分,则直线/的方程为.
尤+—一4=0[设/i与/的交点为A(a,8—2a),则由题意知,点A关于点P
的对称点8(—a,2a—6)在/2上,代入/2的方程得一a—3(2a—6)+10=0,解得a
=4,即点A(4,0)在直线/上,所以直线/的方程为x+4y-4=0.]
考向2轴对称问题
[典例2—2](1)已知直线y=2x是△ABC中角C的平分线所在的直线,若
点43的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为()
A.(—2,4)B.(—2,—4)
C.(2,4)D.(2,-4)
(2)已知入射光线经过点M(—3,4),被直线/:x—y+3=0反射,反射光线经
过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.
(1)C(2)6%—),-6=0[⑴设A(—4,2)关于直线),=2x的对称点为Ay),
X2=-l
x+4
则5
[y=+=22X—4+x
-2~
x=4
解得{''(4,-2),由题意知,A,在直线BC上,所在直
lv=-2,
-2-1f3x+y-10=0,
线方程为y~l=——(A—3),即3x+y-10=0.联立J解得
4—3[y=2x,
/2,则C(2,4).
U=4,
⑵设点M(—3,4)关于直线/:x—y+3=0的对称点为b),则反射光线
所在直线过点AT,
'b—4
a-(-3)-1=-1,
所以《解得a=l,b=Q.
—3+ab+4,
-+3=0,
.2
即”(1,0).
又反射光线经过点M2,6),
所以所求直线的方程为用=尹=,
o—02~1
即6x—y—6=0.]
令反思领悟对称问题的求解方法
(1)点关于点:点P(x,。关于点。(a,b)的对称点为(2a—x,2b一天.
(2)线关于点:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(3)点关于线:点A(a,Z?)关于直线Ar+By+C=0(8W0)的对称点〃),
(4)线关于线:直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
[跟进训练]
2.(1)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射
后再射到直线OB上,最后经直线。8反射后又回到P点,则光线所经过的路程
是()
C.25D.2小
(2)若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(加,〃)
重合,则m+n=.
34
(1)C(2)y[⑴直线A3的方程为x+y=4,点尸(2,0)关ir
于直线AB的对称点为0(4,2),关于y轴的对称点为。(一2,0),
则光线经过的路程为|CD|=762S=2,T6.
(2)由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y=2x—
,3+〃7+m
3,
3,它也是点(7,3)与点(〃?,〃)连线的中垂线,于是〈.
/?—3j_
jn—12,
3
mf
~5故"?+〃=?.]
解得,
31
n=5
园I的方程
[考试要求]
1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程
与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
[走进教材•夯实基础]回顾知识•激活技能
€>梳理•必备知识
1.圆的定义及方程
定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程(X-4)2+(),一〃)2=户(r>0)圆心3,b),半径r
》2+丫2+6+&+尸=0(02+,半径当
圆心(苫'一号
一般方程£'2-4F>0)
\ID2+E2-4F
提醒:当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示一个点
孝,-f);当U+^—MVO时,方程f+V+Dx+Ey+mO没有意义,不
表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
点M(xo,yo)与圆(x—a>+(y—加2=,的位置关系:
⑴若M(xo,yo)在圆外,则(xo—匿+(优—8)2〉户.
(2)若M(xo,yo)在圆上,则Cro—at+(y()—/?>=户.
(3)若M(xo,yo)在圆内,则(xo—。产+(y()—V)2v*
[常用结论]
1.圆的三个性质
(1)圆心在迂如息且垂直于切线的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
2.以A(xi,yi),8(x2,>2)为直径端点的圆的方程为在二见幺至二⑼士在二上也
◎激活•基本技能
一、易错易误辨析(正确的打"J",错误的打"X")
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()
(2)方程。+02+3+/2=户。金1<)表示圆心为(q,b),半径为/的一个圆.
()
(3)方程9+9+丽吠-2y=0不一定表示圆.()
(4)若点M(xo,yo)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则需+品+£>xo+£yo+F
>0.()
[答案](1)V(2)X(3)x(4)V
二'教材习题衍生
1.圆f+y2-4无+6y=0的圆心坐标和半径分别是()
A.(2,3),3B.(—2,3),小
C.(12,—3),13D.(2,13),
D[圆的方程可化为(X—2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径
r=y[l3.]
2.已知点A(l,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是
A.x2+y2=2B./+9=也
C.^+/=1D.X2+/=4
A[法一:A3的中点坐标为(0,0),
\AB\=^/[1-(-1)]2+(-1-1)2=2^2,所以圆的方程为x2+y2=2.
法二:(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为。一1)•(x+D+0+DS
—1)=0,即x2+y2=2.]
3.过点A(l,—1),8(—1,1),且圆心在直线x+y—2=0上的圆的方程是()
A.(x-3)2+(y+l)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(X—1)2+(y—1)2=4D.(x+1)2+0+1)2=4
C[设圆心C的坐标为伍,b),半径为r.因为圆心。在直线尤+y—2=0上,
所以人=2—4又|C4|2=|CB|2,所以(q-iy+Q-a+i)2=(a+i)2+(2-a-i)2,所
以a=l,8=1.所以r=2.所以方程为(x-l)2+(y-1)2=4.]
4.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.
x2+y2-2x=0[设圆的方程为/+产+6+或+/=0.;圆经过点(0,0),
(1,1),(2,0),
fF=0,CD=-2,
.•.42+D+E+F=0,解得<E=0,
14+20+尸=0,IF=0.
二圆的方程为x2+y2~2x=Q.]
[细研考点•突破题型]重难解惑直击高考
□考点一圆的方程4题组通关
1.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则
此圆的方程是()
A.。一2)2+。+3)2=13
B.(x+2)2+(y—3尸13
C.2)2+0+3)2=52
D.(%+2)2+。一3尸52
A[直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得直径长为2/,则半径
长为小,所以所求圆的方程是(x—2)2+。+3)2=13」
2.若不同的四点A(5,0),5(-1,0),。(一3,3),D(a,3)共圆,则a的值为
7[设圆的方程为x1+y2+Dx+Ey+F=^D2+E1-4F>0),分别代入A,B,
C三点坐标,得
A—4,
25+5£>+F=0,
25
l-D+F=0,解得JE=-y,
9+9~3D+3E+F=0,
.F=~5.
所以A,B,C三点确定的圆的方程为
25
j?+y2-4JC—5=0.
因为O(a,3)也在此圆上,所以4+9—4。-25—5=0.
所以a=7或a=一3(舍去).即a的值为7.]
3.已知圆C过点A(6,0),仇1,5),且圆心在直线/:2x—7y+8=0上,则圆
。的方程为________.恒益
5—0
(x—3>+(y—2)2=13[法一:(几何法)心8=/与=-1,
57
则A8的垂直平分线方程为y—2=x-
即x—y—1=0,
x~y—1=0,x=3,
联立方程<解得
2x-7j+8=0,J=2,
r=^(6-3)2+(0-2)2=V13,
故圆。的方程为(x—3)2+6,-2)2=13.
法二:(待定系数法)设所求圆的方程为(x—4+(y—A-=户.由题意可得
(6一.)2+(0—8)2=,,p?=3,
(1—a)2+(5—Z?)2=r2,解得{/?=2,
2a—7匕+8=0,〔户=13,
故所求圆C的方程为(x—3)2+(y—2)2=13.]
4.已知“GR,方程//+(“+2»2+4九+8),+5a=0表示圆,则圆心坐标是
,半径是.
(—2,—4)5[由已知方程表示圆,则屋=a+2,
解得a=2或a=-1.
当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.
当a=-1时,原方程为f+V+dx+gy—5=0,
化为标准方程为(X+2)2+(),+4)2=25,
表示以(一2,—4)为圆心,半径为5的圆.]
畲反思领悟求圆的方程的两种方法
r-^-n源燧面防元布荏康;宜爱廉山面芯正恭府
0,半径,进而写出方程:
了著巨算秦徉苕面芯7二商“福举莅二希
关,则设圆的标准方程,求出明6,r的值;:
待定②选择圆的一般方程,依据已知条件列出:
系数法关于O,E,尸的方程组,进而求出O.E,尸的:
值
□考点二与圆有关的最值问题4多维探究
考向1斜率型、截距型、距离型最值问题
[典例1-1]已知实数无,y满足方程^+/-4%+1=0.
⑴求拗最大值和最小值;
(2)求y—x的最大值和最小值;
(3)求_?十9的最大值和最小值.
[解]原方程可化为(x—2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,木为半径的圆.
(1户的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,
光
所以设"=攵,即
当直线y=Qc与圆相切时,斜率攵取最大值或最小值,此时考黑与=小,解
邛-十1
得k=±\f^(如图①).
所以:的最大值为小,最小值为一小.
图①
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