2二次曲面分类简介

补充二次曲面的一般理论

空间直角坐标变换二次曲面方程的化简应用不变量判断二次曲面的类型二次曲面的仿射特征和度量特征2021/5/91空间直角坐标变换

空间仿射坐标变换公式向量的坐标变换公式:其中

(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3

在原坐标系I

中的坐标.I到I的过渡矩阵2021/5/92点的坐标变换公式:其中

(c11,c21,c31),(c12,c22,c32),(c13,c23,c33)分别为新坐标向量e1,e2,e3

在原坐标系I

中的坐标,(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系I

中的坐标.空间直角坐标变换

2021/5/93过渡矩阵的性质1.过渡矩阵是可逆矩阵.

2.

设有三个仿射坐标系I,I,I,I

到I

的过渡矩阵为C,I

到I

的过渡矩阵为D,则I

到I

的过渡矩阵为CD.3.

若I

到I

的过渡矩阵为C,则

I到I

的过渡矩阵为C1.4.

两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵.空间直角坐标变换

2021/5/94空间直角坐标(点)变换移轴:或其中(d1,d2,d3)为新原点O在原坐标系I

中的坐标.空间直角坐标变换

2021/5/95转轴:

设新坐标向量e1,e2,e3

与原坐标向量e1,e2,e3

的交角如下表所示:原系x轴(e1)z轴(e3)y轴(e2)新系交角x轴(e1)y轴(e2)z轴(e3)111222333空间直角坐标变换

2021/5/96则转轴公式为:或空间直角坐标变换

2021/5/97或一般的空间直角坐标(点)变换公式:空间直角坐标变换

2021/5/98空间一般坐标变换公式,还可以由新坐标系的三个坐标面来确定.设有两两互相垂直的三个平面:

1:A1x+

B1y

+C1z

+D1=0,

2:A2x+

B2y

+C2z

+D2=0,

3:A3x+

B3y

+C3z

+D3=0,其中AiAj+

BiBj

+CiCj

=0,(i,j=1,2,3,ij).空间直角坐标变换

2021/5/99若取1

为yOz面,2

为xOz面,3

为xOy面,则原系到新系的坐标变换公式为:

其中正负号的选取要使得坐标变换为右手直角坐标变换.空间直角坐标变换

2021/5/910二次曲面的类型

二次曲面的一般方程空间中二次曲面的一般方程为a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

其中a11,a22,a33,

a12,a13,

a23不全为零.+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0()2021/5/911吕林根《解析几何》P275.

定理6.6.1适当选取坐标系,二次曲面的方程总可化为下列五个简化方程之一:(I)

a11x2+a22y2

+a33z2

+c=0,

a11a22a330;

(II)

a11x2+a22y2

+2b3z

=0,

a11a22b30;

(III)

a11x2+a22y2

+c

=0,

a11a220;

(IV)

a11x2+2b2y

=0,

a11b20;

(V)

a11x2+c

=0,

a110.

二次曲面的类型二次曲面的类型

2021/5/912(一)椭球面[1]椭球面:[2]点:吕林根《解析几何》P278.

定理6.6.2适当选取坐标系,二次曲面的方程总可化为下列十七个标准方程之一:[3]虚椭球面:二次曲面的类型

2021/5/913(二)双曲面[4]单叶双曲面:[5]双叶双曲面:(四)抛物面[7]椭圆抛物面:(三)二次锥面[6]二次锥面:二次曲面的类型

2021/5/914(五)二次柱面[9]椭圆柱面:[10]虚椭圆柱面:[11]一条直线:[8]双曲抛物面:二次曲面的类型

2021/5/915[12]双曲柱面:[13]一对相交平面:[14]抛物柱面:[17]一张平面:[15]一对平行平面:[16]一对平行平面:二次曲面的类型

2021/5/916用不变量判断二次曲面类型二次曲面的表示空间中二次曲面的一般方程为a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

其中a11,a22,a33,

a12,a13,

a23不全为零.+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0记

F(x,y,z)=

a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c()2021/5/917则用不变量判断二次曲面类型2021/5/918(x,y,z)=

a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

则用不变量判断二次曲面类型2021/5/919记

F1(x,y,z)=

a11x+a12y

+a13z

+b1F2(x,y,z)=

a12x+a22y

+a23z

+b2F3(x,y,z)=

a13x+a23y

+a33z

+b3F4(x,y,z)=

b1x+b2y

+b3z

+c

则

F(x,y,z)=

xF1(x,y,z)+yF2(x,y,z)+

zF3(x,y,z)+F4(x,y,z)用不变量判断二次曲面类型2021/5/920记

1(x,y,z)=

a11x+a12y

+a13z

2(x,y,z)=

a12x+a22y

+a23z

3(x,y,z)=

a13x+a23y

+a33z

4(x,y,z)=

b1x+b2y

+b3z

则(x,y,z)=

x1(x,y,z)+y2(x,y,z)+z3(x,y,z)

用不变量判断二次曲面类型2021/5/921I1=a11

+a22+a33,

二次曲面的不变量用不变量判断二次曲面类型2021/5/922二次曲面的半不变量用不变量判断二次曲面类型2021/5/923P287.定理6.7.3给出二次曲面方程()

,则用不变量和半不变量判别()为何种类型的充要条件是:第(I)类曲面:

I3

0;

第(II)类曲面:I3

=

0,I4

0;

第(III)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

0;

第(IV)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

0;

第(V)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

=

0.

用不变量和半不变量判断二次曲面的类型用不变量判断二次曲面类型2021/5/924型别识别标志类别椭球面

一点

虚椭球面I4

<0I4

=0I4

>0椭球面

(I3

0

I2

>

0或

I1I3>0)P291.定理6.7.5用不变量判断二次曲面类型2021/5/925型别识别标志类别单叶双曲面双叶双曲面

I4

>

0

I4

<

0

二次锥面

I4

=

0

双曲面

(I3

0

I2

0或

I1I3

0)二次锥面

(I3

0

I2

0或

I1I3

0)用不变量判断二次曲面类型2021/5/926型别识别标志类别椭圆抛物面双曲抛物面

I4

<

0I4

>0抛物面

(I3=

0

I4

0)用不变量判断二次曲面类型2021/5/927型别二次柱面

(I3=0

I4=0I2

0)识别标志类别双曲柱面

一条直线

K2

0椭圆柱面

K2=0I1K2>0I2

>

0,

虚椭圆柱面

I1K2<0I2

>

0,

I2

>

0,

I2

<

0,

一对相交平面

K2=

0I2

<

0,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/928型别识别标志类别一对平行平面

K2

=0,

K1=0抛物柱面

K2

=0,

K1>0K2

=0,

K1<0K2

0二次柱面

(I3=0

I4=0I2

=

0)一对虚平行平面

一对重合平面

用不变量判断二次曲面类型2021/5/929P291.定理6.7.4设1,2,3是二次曲面()

的特征方程|IA0|=3

I12

+

I2I3=0

的非零特征根,则二次曲面()

的简化方程如下:第(I)类曲面:

I3

0;

第(II)类曲面:I3

=

0,I4

0;

用不变量和半不变量化简二次曲面的方程用不变量判断二次曲面类型2021/5/930第(III)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

0;

第(IV)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

0;

第(V)类曲面:I3

=

0,I4

=

0,I2

=

0,K2

=

0.

用不变量判断二次曲面类型2021/5/931例1设在空间直角坐标系下二次曲面有下列方程,判断其类型,并求其标准方程:(1)

x2+y2+5z26xy2xz+2yz6x+6y6z+10=0;

(2)

2x2+2y2+3z2+4xy+2xz+2yz4x+6y2z+3=0.

解:(1)二次曲面的矩阵为

(3)

4x2+y2+z2+4xy+4xz+2yz24x+32=0.

用不变量判断二次曲面类型2021/5/932I1

=1+1+5=

7,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/933因为I3

0,I2

=

0,I4

<

0,

所以这是双叶双曲面.

解特征方程3I12+I2I3=372+36=0

得三个非零特征值1=6,2=3,3=2,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/934因此二次曲面(1)

的简化方程为:即故它的标准方程为用不变量判断二次曲面类型2021/5/935(2)二次曲面的矩阵为

I1

=2+2+3=

7,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/936因为I3

=

0,I4

<

0,

所以这是椭圆抛物面.

用不变量判断二次曲面类型2021/5/937解特征方程3I12+I2I3=372+10

=0

得两个非零特征值1=5,2=2,

因此二次曲面(2)

的简化方程为:即故它的标准方程为用不变量判断二次曲面类型2021/5/938(3)二次曲面的矩阵为

I1

=4+1+1=

6,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/939因为I3

=

I4

=

I2

=0,K2

0,

所以这是抛物柱面.

=144

144+0=

288,

用不变量判断二次曲面类型2021/5/940因此二次曲面(3)

的简化方程为:即故它的标准方程为用不变量判断二次曲面类型2021/5/941二次曲面仿射特征度量特征直线与二次曲面的相交情况设空间二次曲面的一般方程为a11x2+a22y2

+a33z2

+2a12xy+2a13xz

+2a23yz

+2b1x

+2b2y

+2b3z

+

c

=0()直线l的参数方程为2021/5/942则直线l

与二次曲面的相交方程为(X,Y,Z)t2

+2[XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)]t

+F(x0,y0,z0)=0.情形1

当(X,Y,Z)

0

时,()是t

的二次方程,其判别式

4(X,Y,Z)

F(x0,y0,z0),()=4[XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)]2二次曲面仿射特征度量特征2021/5/943①

若>0,则l

和

有两个不同交点;②

若=0,则l

和

有两个重合交点;③若<0,则l

和

无交点,但方程()

有两个共轭复根,也称l

和有两个虚交点.情形2

当(X,Y,Z)

=0

时,

④

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)0,则()为t

的一次方程,l

和

只有一个交点.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/944而F(x0,y0,z0)0,则()无解,l

和

不相交.⑤

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)＝0,⑥

XF1(x0,y0,z0)+YF2(x0,y0,z0)+ZF3(x0,y0,z0)＝0,且F(x0,y0,z0)＝0,则()为恒等式,于是任何实数t

都是()的解,从而整条直线

l在二次曲面上.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/945二次曲面的渐近方向定义6.2.1

一个非零向量u(X,Y,Z)

如果使得(X,Y,Z)

=0,则称u

所代表的直线方向为

的渐近方向.否则,称为非渐近方向.通过任意给定的点(x0,y0,z0),且以二次曲面()的任意渐近方向u(X,Y,Z)为方向的所有直线的轨迹是一个以(x0,y0,z0)为锥顶的锥面:(xx0,yy0,z

z0)＝0.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/946二次曲面的中心定理6.2.1点M0(x0,y0,z0)是二次曲面()的中心的充要条件是M0的坐标(x0,y0

,z0)是下面方程组的解:称上述方程组为二次曲面()的中心方程组.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/947中心方程组的系数矩阵A和增广矩阵B分别为二次曲面仿射特征度量特征2021/5/948

R(A)=R(B)=3,中心方程组的系数行列式方程组有唯一解,二次曲面()有唯一中心;

R(A)=R(B)=2,中心方程组有无穷多解,这些解可用一个参数线性表示,因此二次曲面()有无穷多中心,它们构成一条直线;

R(A)=R(B)=1,中心方程组有无穷多解,这些解可用两个参数线性表示,因此二次曲面()有无穷多中心,它们构成一个平面;二次曲面仿射特征度量特征2021/5/949

R(A)R(B),中心方程组无解,因此二次曲面()没有中心.定义6.2.3

有唯一中心的二次曲面叫中心二次曲面;否则称为非中心二次曲面,其中没有中心的二次曲面叫无心二次曲面;有无数中心且构成一条直线的二次曲面叫线心二次曲面;而有无数中心且构成一个平面的二次曲面叫面心二次曲面.推论二次曲面()成为中心二次曲面的充要条件是I30,为非中心二次曲面的充要条件是I3

=0.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/950二次曲面的径面和奇向定理6.4.1

二次曲面()的一族平行于一个非渐近方向

u(X,Y,Z)的弦的中点的轨迹是一个平面,称为共轭于方向u的径面,其方程为XF1(x,y,z)+YF2(x,y,z)+ZF3(x,y,z)＝0或定理6.4.2

二次曲面的任何径面一定通过它的中心(假若中心存在的话).推论1线心二次曲面的任何径面通过它的中心线.推论2面心二次曲面的径面与它的中心平面重合.1(X,Y,Z)x+2(X,Y,Z)y+3(X,Y,Z)z+4(X,Y,Z)=0.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/951仍表示一个平面,也称为共轭于方向u的径面.注:如果u(X,Y,Z)是二次曲面的渐近方向,那么平行于u的弦不存在,但如果1(X,Y,Z),2(X,Y,Z),3(X,Y,Z)

不全为零,那么定义6.4.2

满足i(X,Y,Z)=0,i=1,2,3

的渐近方向u(X,Y,Z)称为二次曲面的奇异方向,简称奇向.定理6.4.3二次曲面有奇向

I3

=0.推论有且只有中心曲面没有奇向.定理6.4.4二次曲面的奇向平行于其任意径面.1(X,Y,Z)x+2(X,Y,Z)y+3(X,Y,Z)z+4(X,Y,Z)=0.二次曲面仿射特征度量特征2021/5/952二次曲面的主径面和主方向定义6.5.1

如果二次曲面的径面垂直于它所共轭的方向,则称这个径面为二次曲面的主径面.显然主径面就是二次曲面的对称面.定义6.5.2

二次曲面的主径面的共轭方向,或二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向.注:u(X,Y,Z)成为二次曲面()的主方向存在,使得二次曲面仿射特征度量特征2021/5/953二次曲面的切线和切平面定义6.3.1

如果直线与二次曲