高三数学第一轮复习-幂函数课件-新人教B版

学案8幂函数名师伴你行SANPINBOOK1.填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点1考点2考点3考点4名师伴你行SANPINBOOK2.返回目录

考纲解读幂函数(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况.名师伴你行SANPINBOOK3.返回目录

1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质,多以选择、填空题形式出现，也有与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性较强的解答题.2.以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点.考向预测名师伴你行SANPINBOOK4.返回目录

1.一般地,形如

的函数称为幂函数,其中α为常数.例如y=x,y=x2,y=x3,,y=等都是幂函数,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数.2.幂函数的性质一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:(1)图象都通过点

.(2)在第一象限内,函数值随x的增大而

.y=xα(α∈R)(0,0),(1,1)增大名师伴你行SANPINBOOK5.(3)在第一象限内,α>1时,图象是

的;0<α<1时,图象是的

.(4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向

无限伸展.当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:①图象都通过点

;②在第一象限内,函数值随x的增大而

,图象是向

的;③在第一象限内,图象向上与

轴无限地接近,向右与

轴无限地接近;④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下降的速度越

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向下凸向上凸右上方(1,1)减小下凸yx快名师伴你行SANPINBOOK6.3.形如f(x)=（其中m∈N+,n∈Z）的幂函数的性质(1)当n为偶数时，f(x)为

函数，图象关于

对称.(2)当m,n都为奇数时，f(x)为

函数，图象关于

对称.(3)当m为偶数且n为奇数时，f(x)是

函数,图象只在第一象限内.返回目录

非奇非偶偶y轴奇原点名师伴你行SANPINBOOK7.返回目录

4.幂函数y=x,y=x2,y=x3,的图象如图.5.幂函数y=x,y=x2,,,y=x3的性质名师伴你行SANPINBOOK8.返回目录

y=xy=x2y=x3定义域RRR［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R［0,+∞)R［0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(-∞,0)减,(0,+∞)增增增(-∞,0)减,(0,+∞)减定点(0,0)(1,1)(1,1)名师伴你行SANPINBOOK9.返回目录

考点1比较大小［2010年高考全国卷Ⅰ］设a=log32,b=ln2,c=5,则()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【分析】先换为同底的对数,再比较大小.C名师伴你行SANPINBOOK10.【解析】a=log32=.因为,所以即c<a<b.故应选C.返回目录

化为同底数的对数是本题的关键.名师伴你行SANPINBOOK11.返回目录

比较下列各组数的大小:名师伴你行SANPINBOOK12.返回目录

【解析】(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,∴3>3.1.(2),函数y=在(0,+∞)上为增函数.又,则,从而.名师伴你行SANPINBOOK13.(3)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又,∴返回目录

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考点2幂函数的定义当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为()A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数小于零.名师伴你行SANPINBOOK15.返回目录

【解析】

解法一:依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.又∵函数在(0,+∞)上是减函数,∴-5m-3<0,即m>,故m=-1舍去,∴m=2.故应选A.解法二:特值验证法,验证当m=-1,2时,是否满足题意即可.当m=2时,函数化为y=x-13符合题意;而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.名师伴你行SANPINBOOK16.

解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数必须为1,指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数的图象与性质进一步求解.返回目录

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已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):(1)是幂函数;(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数.(1)因为f(x)是幂函数,故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.名师伴你行SANPINBOOK18.返回目录

(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数,m2-m-1=1-5m-3>0,(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得m=-,此时m2-m-1≠0,故m=-.(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,∴m=-,此时m2-m-1≠0,故m=-.则∴m=-1.名师伴你行SANPINBOOK19.(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;当m=-时,f(x)是正比例函数;当m=-时,f(x)是反比例函数;当m=-1时,f(x)是二次函数.返回目录

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考点3幂函数的图象【分析】先根据幂函数f(x)和g(x)分别过点(2,2)和(-2,)求得f(x)和g(x)的解析式,然后根据h(x)的定义求得h(x)的解析式,最后借助函数h(x)的图象求解.若点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x),试求函数h(x)的最大值以及单调区间.数g(x)的图象上,定义h(x)=名师伴你行SANPINBOOK21.【解析】(1)设f(x)=xα,∵点(,2)在f(x)的图象上,∴（）α=2,即f(x)=x2；又设g(x)=xβ,点（-2，）在g(x)的象上，∴(-2)β=,∴β=-2.即g(x)=x-2.返回目录

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在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所示.

x-2,x<-1x2,-1≤x≤1x-2,x>1.根据图象可知函数h(x)的最大值等于1,单调递增区间是(-∞,-1)和(0,1);递减区间是(-1,0)和(1,+∞).则有h(x)=名师伴你行SANPINBOOK23.利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.返回目录

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若上题中的点(,2)改为(2,8),探求h(x)的单调性及奇偶性.【解析】设f(x)=xα,∵过点(2,8),∴α=3,∴f(x)=x3.由上题知,g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=g(x)的图象,如图,名师伴你行SANPINBOOK25.返回目录

从图中及h(x)的定义可知x-2,x≥1x3,x<1,且在定义域(-∞,1)上h(x)为增函数,在［1,+∞)上h(x)为减函数.又∵h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2=,∴h(-2)≠h(2),且h(-2)≠-h(2),∴h(x)为非奇非偶函数.h(x)=名师伴你行SANPINBOOK26.返回目录

考点4幂函数的性质已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调减函数.(1)求函数f(x);(2)讨论F(x)=的奇偶性.【分析】先求m,然后根据奇偶性的定义判断.名师伴你行SANPINBOOK27.【解析】(1)∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数,又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数,∴m2-2m-3<0,即-1<m<3.又m∈Z,∴m=0,1,2.当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;当m=1时,m2-2m-3=-4,∴m=1,即f(x)=x-4.返回目录

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(2)F(x)=-bx3,∴F(-x)=+bx3.①当a≠0,b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数;③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数;④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.名师伴你行SANPINBOOK29.

本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对a,b进行分类讨论.名师伴你行SANPINBOOK30.已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间;(2)比较f(-π)与f(-)的大小.(1)解法一:f(x)=其图象可由幂函数y=x-2向左平移2个单位,再向上平移1个单位而得到,如图,所以该函数在(-2,+∞)上是减函数,在(-∞,-2)上是增函数.返回目录

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解法二:f(x)==1+(x+2)-2,设x1<x2,x1,x2∈R,则f(x2)-f(x1)=［1+(x2+2)-2］-［1+(x1+2)-2］当x1,x2∈(-∞,-2)时,f(x2)-f(x1)>0,