线性相关性的判定

线性相关性的判定第一页，共二十页，编辑于2023年，星期三x1α1

+

x2α2

+…

+

xnαn=b

(3)

显然，由（3）式知，若b能由α1,α2,

…

,αn线性表示，则线性方程组（1）有解，若b不能由α1,α2,…

,αn线性表示，则线性方程组（1）无解；当b=0时，（3）式变为x1α1

+

x2α2

+…

+

xnαn=

0（4）

显然，由（4）知，若α1,α2,…

,αn

线性相关，则它所对应的其次线性方程组Ax=0有非零解，若

α1,α2,…

,

αn线性无关，则Ax=0仅有零解.将A按列分块，由（2）得第二页，共二十页，编辑于2023年，星期三例如向量组显然，β

＝3α1

+2α2

+0α3，所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β

综上所述，向量b能不能由向量组α1,α2,…,αn线性表示，则说明它所对应的非齐次的线性方程组Ax=b有没有解的问题；向量组α1,α2,…,αn的线性相关性，则说明它所对应的齐次线性方程组Ax=0有什么样的解的问题.第三页，共二十页，编辑于2023年，星期三向量组由于α1，α2，β

线性无关，所以β

不能由α1，α2线性表示，即线性方程组x1α1+x2α2=β亦即无解.即有解.第四页，共二十页，编辑于2023年，星期三

又如向量组显然，α1，α2，α3

线性相关，且α3

＝3α1+2α2所以，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=0有非零解.第五页，共二十页，编辑于2023年，星期三向量组显然，α1，α2，α3

线性无关，所以齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α=0仅有零解.第六页，共二十页，编辑于2023年，星期三二、线性相关性的判定定理4向量组α1，α2，…，αm线性相关的充分必要条件是它所构成矩阵A=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.

例1n维向量组称为n维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性.第七页，共二十页，编辑于2023年，星期三解n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e1，

e2，…，

en

)是n阶的单位矩阵由|E|=1≠0，知R(E)=n，即R(E)等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的.

例2已知试讨论向量组α1，α2，α3

及向量组α1，α2

的线性相关性.第八页，共二十页，编辑于2023年，星期三解对矩阵（α1，α2，α3

）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵(α1，α2，α3)及矩阵（α1，α2）的秩，由定理4即可得出结论.（α1，α2，α3）＝〜〜可见R(

α1，α2

，α3)=2,由定理4知向量组α1，α2

，α3

线性相关；R(

α1，α2)＝2，向量组α1，α2

线性无关.第九页，共二十页，编辑于2023年，星期三例3已知向量组α1,α2

,α3线性无关,令β1=α1+α2

,

β2=α2+α3

,β3=α3+α1,试证向量组β1,

β2,β3线性无关.证设有x1,x2,x3使x1

β1+

x2

β2+x3

β3=0,即x1

(α1+α2

)+x2(

α2+α3)+x3

(α3+α1)=0亦即(x1+x3

)α1+(x1+x2

)

α2

+(x2+x3

)α3

=0因α1,α2

,α3

线性无关，故有第十页，共二十页，编辑于2023年，星期三由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1=x2=x3

=0，所以向量组β1,

β2,β3线性无关.第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期三

定理5（1）若向量组A:α1,α2,…,αm

线性相关，则向量组B:α1,α2,…,αm,αm+1也线性相关.反言之，若向量组

B线性无关，则向量组A也线性无关.证记A=(α1,α2,…,αm),B=(α1,α2,…,αm,αm+1

)有R(B)≤R(A)+1

，若向量组A线性相关，则由定理4有R(A)<m,从而R(B)≤R(A)+1<m+1,再由定理4知向量组B线性相关.

由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组必线性相关.特别地，含有零向量的向量组一定线性相关.一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关.第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期三(2)设(j=1,2,…,m)

即向量αj添上一个分量后得向量βj,若向量组A:α1,α2,…,αm线性无关，则向量组B:β1,

β2

,…,

βm也线性无关，反言之，若向量组B线性相关，则向量组A也线性相关.证记Ar×m=(α1,α2,…,αm),B(r+1)×m=(β1,

β2

,…,

βm),有R(A)≤R(B).若向量组A线性无关，则R(A)=m,从而R(B)≥

m.但R(B)≤m,故R(B)＝m

，因此向量组B线性无关.第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期三（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关.证

m个n维向量α1,α2,…,αm构成的矩阵An×m=(α1,α2,…,αm),有R(A)≤n.若n<

m,则R(A)<

m,故m个向量α1,α2,…,αm线性相关.推论若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都添上n–r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关.第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期三例4设有向量组αiT

=(ai,ai2,…

,ain),(i=1,2,…,m.m≤n),试证向量组α1T,α2T,…,αmT,线性无关，其中a1,a2,…,am为m个互不相等且不等于零的常数.证因为α1T

=(a1,a12,…

a1m,…,a1n)α2T

=(a2,a22,…

a2m,…,a2n)αmT

=(am,am2,…

amm,…,amn)…………………前m个分量作成的行列式第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期三从而向量组β1T

=(a1,a12,…

a1m)β2T

=(a2,a22,…

a2m)………βmT

=(am,am2,…

amm)线性无关，所以增加分量后所得的向量组

α1T

,

α2T,

…,

αmT线性无关.第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期三例5设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，若AB=E，证明B的列向量线性无关.证设B=(β1,β2,…

,βn)，其中β1,β2,…

,βn是B的列向量，若x1

β1+x2

β2+…

+xn

βn=0即（β1,β2,…

,βn）=BX

=0两边左乘A得ABX=0

，即EX=0，从而X

=0，所以β1,β2,…

,βn线性无关.第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期三例6设向量β

可由向量组α1，α2，…

，αm线性表示，但不能向量组(Ⅰ)α1，α2，…

,αm–1线性表示，记向量组（Ⅱ）

β，α1，α2，…

,αm–1

，则αm能由（Ⅱ）线性表示，但不能由(Ⅰ)线性表示.证由于β

可由α1，α2，…

，αm线性表示，即

β＝λ

1α1+λ2α2+…

+λ

m

αm又因为β不能由向量组α1，α2，…

,αm–1线性表示，所以λ

m≠0，从而故则αm

能由（Ⅱ）线性表示.第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期三假设αm能由(Ⅰ)线性表示，则有αm＝k1α1

+k2α2

+…

+km–1αm–1

β

＝λ

1

α1+λ2

α2+…

+λ

m

αm＝λ1α1+λ2α2+…

+