线性二次型指标的最优控制

线性二次型指标的最优控制第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三

8.3线性定常系统的状态调节器问题问题引入1举例说明3定理内容及说明2第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity

对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵A,B,Q,R均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解K(t)是时变的缘故。第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity

由例8-1的结果，从结果图中受到启发，当终端时间tf趋于无穷时，K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值。tf=10时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity

K(t)将趋于某常数，即K(t)可视为恒值，从而得到所谓无限时间(tf=∞)状态调节器或稳态状态调节器。tf=1000时黎卡提矩阵微分方程的解K(t)第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity

对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终端指标，取权阵P=0，其原因有：一是希望tf→∞，x(tf)=0,即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终端指标的终值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的响应，因而tf→∞时的终端指标将失去工程意义。第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity性能指标为：式中，Q，R均为常数对称正定阵，u无约束。由于P=0，所以K(tf)=K(∞)=P=0。从t=∞开始逆时间积分黎卡提矩阵微分方程，当K(t)的解存在且唯一时，经过一段时间，K(t)将达到稳态值，因此可认为在t=0开始很长一段时间内，K(t)是黎卡提微分方程的稳态解，即有在稳态时，，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提代数方程，解出的K阵为常值矩阵。第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三和二次型性能指标为BeihangUniversity可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为式中，u不受限制，Q和R为常数对称正定阵，则使J为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为式中，K为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即所对应的性能指标的最小值为第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分值有限，x(t)和u(t)要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐进稳定的。如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐进稳定。可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可。对有限时间调节器来讲，因为积分上限tf为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity对于以上结论，作如下几点说明：2.闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵的特征值均具有负实部，而不论原系统A的特征值如何。证明：设李雅普诺夫函数为

因K正定，故V(x)是正定的。与黎卡提代数方程

比较得由于Q，R均为正定矩阵，故负定，结论得证。第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity对于以上结论，作如下几点说明：1.适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三故当tf时，性能指标的最优值

将趋于无穷大，即

这与性能指标的最优值为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。闭环最优调节系统是渐进稳定的。证明：利用反证法来证明。

假设系统上述不是渐进稳定的，则必具有非负实部的特征根。于是，当tf时，状态变量X(t)不会趋于零，即。BeihangUniversity第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity对于以上结论，作如下几点说明：3.Q为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标J取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么Q为半正定时就可能出现这种情况，所以Q必须正定。Q为n×n半正定常数矩阵，且为能观测矩阵。第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity综上，状态调节器的设计步骤如下：1.根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵Q和R；2.由A,B,Q,R按求解黎卡提矩阵代数方程，求得矩阵K；3.由式求最优控制u(t);4.解式求相应的最优轨迹x(t);5.按式计算性能指标最优值。第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1设系统的状态方程为性能指标为试确定最优控制，使J最小。设a﹣b2

＞0，保证Q为正定。第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1解各矩阵分别为验证系统稳定性：系统状态完全能控，且Q及R为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一。第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1设。由式得最优控制为矩阵K满足黎卡提代数方程第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1即展开整理，可得3个代数方程为第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1解之在保证Q和K为正定矩阵条件下，则有最优控制为第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1最优状态调节器闭环系统结构图如图所示第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例1闭环系统的传递函数为闭环极点为故闭环系统是稳定的。a＜2时系统响应为衰减振荡；a＞2时系统不发生振荡，呈过程阻尼响应。第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例2调节火箭的滚动姿态时，用液态副翼使滚动姿态角φ尽可能小，同时使副翼偏转角δ及偏转率保持在物理限度内。系统状态方程为其中，是滚动时间常数；是滚动角速度；是副翼执行机构的指令信号；C是副翼效率。使性能指标

取极小，其中均为它们的最大要求值。求最优反馈控制u(t)。第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三满足黎卡提方程，且K＞0。由于对称性，独立的6个代数方程组经过消元并选取，有解BeihangUniversity例2解由题知其中第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例2其中，满足四次方程第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例2若设则四次方程为其两正实根是及，且后者破坏K＞0，故取。从而反馈控制第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例2第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity例2第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三28

8.3线性定常系统的状态调节器问题参考书目：◆巨永锋，李登峰，《最优控制》，重庆大学出版社，2005.◆李国勇等，《最优控制理论与应用》，国防工业出版社，2008.◆李国勇等，《最优控制理论及参数优化》，国防工业出

版社，2006.◆王朝珠，秦化淑，《最优控制理论》，科学出版社，2003.◆程兆林，马树萍，《线性系统理论》，科学出版社，2006.◆史忠科，《线性系统理论》，科学出版社，2008.第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期三29

8.3线性定常系统的状态调节器问题谢谢！第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期三30

8.3线性定常系统的状态调节器问题◆王朝珠，秦化淑，《最优控制理论》，科学出版社，2003.第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期三31

8.4输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题1举例3线性时不变系统输出调节器问题2第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下

以及性能指标

要求确其中，P和Q(t)是半正定矩阵，R(t)是正定矩阵，tf是有限的终端时刻，控制函数u(t)不受约束。确定最优调节作用u*(t),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量y(t)保持在零值附近。

第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期三y(t)=C(t)x(t)BeihangUniversity将输出方程代入性能指标得到状态调节器的性能指标函数第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity在状态调节器的性能指标中，要求P和Q(t)为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中和

也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统和性能指标

第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity最优控制存在且唯一

K(t)为下列Riccati矩阵微分方程的解满足边界条件最优轨线是下列线性微分方程的解第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity结论：最优输出调节器的最优控制函数，并不是输出量y(t)的线性函数，而仍然是状态向量x(t)的线性函数，表明构成最优控制系统，需要全部状态信息反馈，因此要求系统可观测，即有限时间输出调节器的最优解与有限时间状态调节器的最优解，具有相同的最优控制与最优性能指标表达式，仅在Riccati方程及其边界条件的形式上有微小的差别。第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期三BeihangUniversity前面所讨论的是终端时刻tf为有限值的情况。如果系统是线性时不变系统，即当tf=时其输出调节器问题可以参照tf=的状态调节器问题，得到相应的控制规律。但是，同时要求系统(A,B,C)是完全可控和完全可观测的。即完全可观完全可控第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期三其性能指标为

u(t)不受约束，Q和R是正定常数矩阵，则最优控制存在且唯一，并且由下式确定

K满足Ricatti矩阵代数方程BeihangUniversityK(∞)=P=0最优状态满足特征值具有负的实部第三十八页