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文档简介
1第四节 曲线的上下凸性和拐点x问题:如何研究曲线的弯曲方向?yo2xyoP1C
:
y
=
f
(
x)P2曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.设f
(x)是定义在区间I
上的函数，P1
,P2
是曲线C：y
=
f
(
x) (
x
˛
I
)
上的任意两点,
线段
P1
P2称为曲线C
的弦，C
上介于P1
,P2
之间的曲线段P1
P2
称为C
的弧.3定义如果曲线C
:y
=f
(x)(x
˛
I
)上任意两点P1
,P2xoP1C
:
y
=
f
(
x)P2的弦
P1
P2
总在弧
P1
,
P2
之上，则称曲线
C
是下凸的；如果曲线C
:
y
=
f
(
x)
(
x
˛
I
)
上任意两点
P1
,
P2的弦
P1
P2
总在弧
P1
,
P2
之下，则称曲线
C
是上凸的。yxyoP1C
:
y
=
f
(
x)P2下凸—凹上凸—凸4xyoy
=
f
(
x)xyy
=
f
(
x)o
x12x1
+
x2
x222f
(
x1
+
x2
)2f
(
x1
+
x2
)2f
(
x1
)
+
f
(
x2
)2f
(
x1
)
+
f
(
x2
)x1
x1
+
x2x2实际上，只要考虑[x1
,x2
]的中点就可以了。下凸：f
(x1
+x2
)<f
(x1
)+f
(x2
)2
2上凸：f
(x1
+x2
)>f
(x1
)+f
(x2
)2
2下凸5上凸曲线凸性的判定观察与思考：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？当曲线是下凸的时，f¢(x)单调增加。当曲线是上凸的时，f
¢(x)单调减少。曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。拐点设函数f
(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内xyoy
=
f
(
x)xyoy
=
f
(
x)ABBAb>
06af
(
x)
递增
ya
bf
(
x)
递减
y
<
0定理二阶可导.如果
f
(
x)
>
0
,
x
˛
(a,
b)
,则曲线y
=f
(x)在[a,b]上是下凸的；如果
f
(
x)
<
0
,
x
˛
(a,
b)
,则曲线y
=f
(x)在[a,b]上是上凸的。证略。例1判断曲线y
=x3
的凹凸性.解
y
=
3
x2
,y
=
6
x,<
0,当x
<0时，y\曲线在(-¥
,0]为上凸的；>
0,当x
>0时，y\曲线在[0,+¥
)为下凸的；点(0,0)是曲线的拐点
.xO7yy
=
x3例2
求曲线
y
=
3
x4
-
4
x
3
+
1的凹凸区间解及拐点.D
: (-¥
,+¥
)y
=
12
x3
-
12
x2
,3y¢=
36
x(
x
-
2).令y
=
0,2得
x1
=
0,
x2
=
3
.x(-¥
,0)0(0,
23)23(
23
,+¥
)f
(
x)+0-0+f
(
x)下凸拐点(0,1)上凸拐点(
23
,1127)下凸8例3解拐点的求法：求曲线
y
=
3
x
的拐点
.当x
„0时,13xy¢=29-
53
,x-23
,
y¢=
-x
=
0是不可导点
,
y
,
y
均不存在
.但在(-¥
,0)内,
y
>
0,
在(0,+¥
)内,
y
<
0,\
点(0,0)是曲线
y
=
3
x的拐点.91.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点.注意：拐点要写出纵坐标。例4
求曲线
y
=
x
2
3
的拐点.解23-
1xy¢=3
，1094-
43
，y¢
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