安徽省黄山市桂林中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

安徽省黄山市桂林中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，B=60°，则△ABC的面积为（）A． B． C．1 D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得sinA==，结合大边对大角可求A，进而利用三角形内角和定理可求C，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a=1，b=，B=60°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵a＜b，A＜60°，∴A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，∴S△ABC=ab==．故选：B．2.已知函数则函数的最大值是

A.4

B.3

C.5

D.参考答案：【答案解析】B

解析：，当时函数取得最大值3，所以选B.【思路点拨】利用二倍角公式把已知函数化为关于的二次函数，再配方求得最值.3.函数的部分图象如图，则A.；

B.；

C.；

D.。参考答案：C4.在中，，则等于

（）（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）参考答案：D略5.已知函数，则下列结论正确的是

（

）A.此函数的图象关于直线对称

B.此函数的最大值为1C.此函数在区间上是增函数

D.此函数的最小正周期为参考答案：C6.集合，，若，则a的取值范围是A．a≥5B．a≥4C．a＜5D．a＜4参考答案：A7.设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.以下正确命题的个数为（

）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A．

B．

C．

D．参考答案：D9.下列结论中正确的是(

) A．若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0 B．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）的概率为0.4，则ξ位于区域（1，+∞）内的概率为0.6 C．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4'分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 D．利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的Χ2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大参考答案：D考点：相关系数．专题：综合题；概率与统计．分析：A．由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；B．由变量ξ～N（1，σ2），根据对称性，求出ξ位于区域（1，+∞）内的概率，判定命题是否正确；C．根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；D．由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确．解答： 解：A．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此不正确；B．∵变量ξ～N（1，σ2），∴ξ位于区域（1，+∞）内的概率为0.5，因此不正确；C．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，因此不正确；D．利用随机变量Χ2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的Χ2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大，正确．故选：D．点评：本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题．10.定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若，则的取值范围是

▲

；参考答案：[2，+￥

略12.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值为

参考答案：13.设分别为椭圆:的左右顶点,为右焦点,为在点处的切线,为上异于的一点,直线交于,为中点,有如下结论:①平分;②与椭圆相切;③平分;④使得的点不存在.其中正确结论的序号是_____________.

参考答案：①②略14.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线和曲线C的公共点有

个．参考答案：115.（理）的展开式中，的系数是______(用数字作答).参考答案：8416.若复数（是虚数单位），则的模=

.参考答案：略17.某单位有青年职工300人，中年职工150人，老年职工100人．为调查职工健康状况，采用分层抽样的方法，抽取容量为33的样本，则应从老年职工中抽取的人数为

．参考答案：6略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx－ax（a>0）． （I）当a=2时，求f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+），都有f（x）<0，求a的取值范围．参考答案：略19.已知函数f（x）=+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数．①求实数m的最大值；②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；②由①得g（x）=，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可．解答： 解：（1）求导函数可得f′（x）=x2﹣2x+a∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，∴，∴．（2）①由=，得g′（x）=．∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，即在[2，+∞）上恒成立．设（x﹣1）2=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立当m≤0时，不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．当m＞0时，设y=t+2﹣，t∈[1，+∞）因为y′=1+＞0，所以函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此ymin=3﹣m．∴ymin≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．综上，m的最大值为3．②由①得g（x）=，其图象关于点Q（1，）成中心对称．证明如下：∵g（x）=，∴g（2﹣x）==因此，g（x）+g（2﹣x）=．∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．∴存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．20.已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数关系将f（x）=4cosxsin（x+）﹣1转化为f（x）=2sin（2x+），即可求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+），x∈[﹣，]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+）﹣1=4cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，﹣1≤2sin（2x+）≤2．∴f（x）max=2，f（x）min=﹣1．21.已知椭圆C：的离心率为，F为该椭圆的右焦点，过点F任作一直线交椭圆于两点，且的最大值为4.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左顶点为A，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，求证：.参考答案：解：（Ⅰ）依题意知：，，即；所求椭圆的方程：．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，；（ⅰ）当直线斜率不存在时，；直线；所以,同理；即；即；所以．（ⅱ）当直线斜率存在时，设直线，，[来源:学,科,网Z,X,X,K]由得：[来源:Z_xx_k.Com]即，，由三点共线得：，同理即,,∴即所以．22.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD中，为正三角形，，，AC与BD交于O点．将沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为，且P点在平面ABCD内的射影落在内．

（Ⅰ）求证：平面PBD；

（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.参考答案：(Ⅰ)易知为的中点，则