数学2003年全国入学统一考试一真题

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1lim(cosx)ln(1x2) 曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程 设x2 n0

cosnx(x)，则a2 1 从R的基1,2 到基1,2的过渡矩阵 0 6x,0xy设二维随量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

则P{XY1} 的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 (注：标准正态分布函数值(1.960.975,(1.645).yOx yOx设{an},{bn},{cn均为非负数列，且liman0limbn1limcn, anbn对任意n成立 (B)bncn对任意n成立 极限(D)极限[]

x0,

f(x,y)(x2y2

（4）设向量组I：1,2,,rII12,s(A)当rs时，向量组II必线性相关 (B)当rs时，向量组II必线性相关(C)当rs时，向量组I必线性相关 (D)当rs时，向量组I必线性相关 Ax=0和Bx=0,A,B均为mn4Ax=0Bx=0的解，则秩(A秩(A秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. ① ① ② ③ 1设随量X~t(n)(n1),Y ，X Y~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形求D的面积1 将函数f(x) 1 2nDxy0x,0y}，LD的正向边界. xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx

xesinydyyesinxdx2L某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土).（注：m表示长度单位米.）（本题满分12分）y=y(x)在(,y0,xxyy=y(x)的反函数d2x(ysinx)(dx)3

y(0)0,y(0)3的解2F(t)

f(x2y2z2 ，G(t)

f(x2y2，f(x2y2

f(x2D(t 其中(txyzx2y2z2t2}D(t)xyx2y2tt>0F(t2

1 A

，P

，B

APB+2EA

A的伴随矩阵，E3阶单位矩阵.（本题满分8分）l1l2l3

ax2by3c0bx2cy3a0cx2ay3b0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：设总体X的概率密度为2e2(x),xf(x) x其中0是未知参数.从总体XX1X2Xn，记ˆmin(X1X2Xn求总体X.1lim(cosx)ln(1x2) 【分析】1型未定式，化为指数函数或利用limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)进行计算求极限可 【详解1】lim(cosx)ln(1x2)=ex0ln(1x2 而limlncosxlimlncosx

e2cosx1，故原式e11e2x0ln(1x2

1x

x

12 所以原式=e2 zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程是2x4yz5,可根据曲面zx2y2切平面的法矢量与n{2,4,1}平行确定.【详解F(xyzzx2y2Fx2x，Fy2y，Fz1设切点坐标为(x0y0z0{2x02y01}，其与已知平面2x4yz02x02y01 x1,y2，相应地有zx2y2 2(x14y2z50，即2x4yz5设x2 n0

cosnx(x)，则a2 【分析f(xx2xx2

cosnx(xn2式为an0f(xcosnxdx

1a xcos2xdx

dsin=1[x2sin

sin2x =1xdcos2x1[xcos

cos

【评注】本题属基本题型，主要考查级数的展开，本质上转化为定积分的计算 1 3从R的基1,2 到基1,2的过渡矩阵为 0 【分析】n维向量空间中，从基1,2,,n12,n的过渡矩阵P 1 【详解】根据定义，从R的基1,2 到基1,2的过渡矩阵 P=[,]1[,]

1 1

1 1 3= f(x,y)6x,0xy

1.4

可转化为二重积分P{g(X,Y)z0 f(x,y)dxdy进行计算

P{XY1}f(x,y)dxdy2 x1=2(6x

)dx1 240cm)0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.960.975,(1.645) X1n【分析】已知方差 1，对正态总体的数学期望进行估计，可根 ~N(0,1)，1nP{X

u1确定临界值u，进而确定相应的置信区间 【详解】由题设，10.95，可见 于是查标准正态分布表知2

1.96本题x40,因此，根据P{X

P{401

1.96}0.95，即P{39.51,40.490.95的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(D)一个极小值点和两个极大值点 yOx yOx【详解3个，而x=0则是导数不存在的点.三个x=0左侧x=0f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应推导f(x)的图象，本题是其逆问题.设{an},{bn},{cn均为非负数列，且liman0limbn1limcn, anbn对任意n成立 (B)bncn对任意n成立 极限(D)极限 【分析(A),(B) 是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限

2b1c1n(n1,2,，则可立即排除(A),(B),(C)

x0,

f(x,y)(x2y2

A域内f(x,y)是于零、恒小于零还是变号.f(x,y)【详解】 x0,y0(x2y2

f(xyxyx2y2 x,y充分小时f(x,y)f(0,0)xy(x2y2可见当y=x

x充分小时，f(xyf(0,0)x24x40而当y=-x

x充分小时，f(xyf(0,0)x24x40.故点(0,0)f(x,y)的极值点，应选.（4）设向量组I：1,2,,rII12,s当rs时，向量组II必线性相关 (B)当rs时，向量组II必线性相关(C)当rs时，向量组I必线性相关 (D)当rs时，向量组I必线性相关 .II12,s线性表示，且向量组I线性无关，则必有rs.可见正确选项为(D).本题也 【详解112，则10102120 0 排除(A1,211,211线性无关，排除(B0 0 112，112线性表示，但1线性无关，排除(C).故正确选项为0 Ax=0和Bx=0,A,B均为mn4Ax=0Bx=0的解，则秩(A秩(A秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. ① ① ② ③ 【详解Ax=0与Bx=0n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除 但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如A ，B =1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为【例】齐次线性方程组Ax=0Bx=0 A,B为相似矩阵 AB的行向量组等价 ]1设随量X~t(n)(n1),Y X Y~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n) 【分析】先由t分布的定义知X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，再将其代入Y1，X【详解】由题设知，X ，其中U~N(0,1),V~2(n)，于1V1Y

V

n，这里Un

~

F分布的定义知Y1~F(n,1故应选X U U X1过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形求D的面积;【详解】 yln

1(xx00平面图形D

lnx010x0y1e

A1(eyey)dy1e y1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为eV1e2 y=lnxx轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e2V1(eey)2dy20

e2

)2dy

12e y1D （本题满分12分）1 f(xarctan12xx的幂级数，并求级数2n1的和1等，转化为可利用已知幂级数展开的情形本题可先求导，再利用函数

1

的幂级数展开11

1xx2xnx为某特殊值，得所求级数的和 nn 1【详解f(x)14x2

(1)4

,x

2,2又 ,所4f(x)f(0)xf(t)dt

2x(1)n4nt2n0 (1)n

014 4

,x ,2n 2 因为级数2n1f(x)x2 (1)n4n 1x

f(x)12

44

,x ,2n 2 f()2

44

2n

22n1]

42n1f1)02(1)n

f(1)n02n Dxy0x,0y}，LD的正向边界. xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx

xesinydyyesinxdx2L【详解方法一 左边=esinydy0esinx =(esinxesinx)dx0 右边=esinydy0esinx =(esinxesinx)dx0 所 xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx 由于esinxesinx2，故由（1） Lxesinydyyesinxdx(esinyesinx)dxdyLDDxesinydyyesinxdx(esinyesinx)dxdyD因为D(esinyesinx)dxdy=(esinyesinx)dxdy xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx (2)由(1)xesinydyyesinxdx

(esinyesinxD

=(esinxesinx)dxdy2dxdy2 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问 k2度kx时，土层对桩的阻力的大小为kx，所W kxdx a xWx2kxdxk(x222)k(x2a2x1 1由W2rW12x2a22 x2(1 W kxdx (x2x2) [x2(1r)a22 2由W3rW2r2W13x2(1r)a2r2a2， x31rr2a，3 1rr2am （2）由归纳法，设xn 1rr2rn kxdx x2n nk

由于

rr

x2x

(1rrn1)a2rna2从 1rrna 11于 lim 11n即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进ay=y(x)在(,y0,xxyy=y(x)的反函数d2x(ysinx)(dx

dy

y(0)0,y(0)3的解2【分析dxdydx=

1

d2xd(dx )dy dy dx y

【详解】(1)由反函数的求 知dx

d2xd(dx)=

=

1 ()

y2 dy dx

(yysin *(2)方程*)yy0YCexCex y*AcosxBsinx代入方程*)A0,B1y*1sinxyysinx2yYy*CexCex

1sin1y(0)0,y(0)3，得

1. yexex1si2F(t)

f(x2y2z2 ，G(t)

f(x2y2，f(x2y2

f(x2D(t 其中(txyzx2y2z2t2}D(t)xyx2y2tt>0F(t2))【详解】 2ddtf(r2)r2sin 2tf(r2)r2 F(t) 2

f(r2

，tf(r2)rd0F(t)

tf(t2)t0t

f(r2)r(t，所以在(0,F(t0F(t)在(0,内单调增加

G(t)

tf(r2 tf(r20 t>0F(tG(tt>0F(tG(t0000tf(r2)r2drtf(r2)dr[tf(r2)rdr]2000 g(t)tf(r2)r2drtf(r2)dr[tf(r2)rd] g(t)f(t2)0

f(r2tr2dr0g(t)在(0,内单调增加2g(0)=0,t>0时，g(t)>0,2t>0F(t【评注（2）中的不aaa[bf bf2(x)dxbg2(x)dxaaaf(r2在上式中取f(x)为f(r2)f(r2A

，P

，B

A的伴随矩阵，E3阶单位矩阵A*

2

P1

0

5

0

1BP1A*P=

0 4 3B2E

0 4 5 E(B2E) 2

2

(9)2(3)B+2E的特征值为129,3当129时，解(9EA)x01,0, 1,0, 1所以属于特征值129kk

k,101 2 1 2 10 1当33时，解(3EA)x01 所以属于特征值3的所有特征向量为k

k

，其中k0为任意常数1 3 3 1方法二：设A的特征值为，对应特征向量为，即A.A70，所以又因A*AAE，故有A*A B(P1)P1A*P(P1) AA(B2E)P1A

AA

由于EA

(1)2(7)故A的特征值为121,3

当1时，对应的线性无关特征向量可取为 ， 0 当37时，对应的一个特征向量为3由P

0

1

，P

，P

1 10 1

k,kPkP

1 2 kP

k

，其中k是不为零的任意常数1 3 1【评注BP1AP，若是A的特征值，对应特征向量为B与A的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.l1l2l3

ax2by3c0bx2cy3a0cx2ay3b0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc秩均为2.【详解方法一bx2cycx2ay

A A

A A

6(abc)[a2b2c2abac=3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2(ab)2bc)2ca)20abc充分性：由abc0，则从必要性的证明可知 0，故秩(A)故秩(A)=2.

2(acb2)2[a(ab)b2=2[(a1b)23b2]0 秩(A)=秩A设三直线交于一点(x0

，则y为Ax=00A

于 A0

a Ab

6(abc)[a2b2