pdes dqlu cos shu数学物理方法方程

与共 ClarkE.Moustakas RosaLuxemburgThefirstkeytowisdomisthis questioning...forbydoubtingweareledtoquestionandbyquestioningwearriveatthetruth. ofeverydaythinking. AlbertEinsteinThemostimportantmotiveforworkintheschoolandinlifeisthepleasureinwork,pleasureinitsresultandknowledgeofthevalueoftheresulttothecommunity.Albert2/ 1PDE12233 556 3/6PAGEPAGE4/u(x,t)偏导数的表述2∂u,∂u,∂u,∂x ∂t x∂xu,∂tu,xux,ut,本课程中,除非特别说明,我们默认斜体下标(x,yzt等)表示偏导数;n=12unn表数值而非偏导♠ut−ν∇2u=Lk(=nπ ωn(=ut−a2∇2u=l三类典型的二阶线性PDE波动方程,波动方程,双曲型,utt−a2∇2u=扩散方程,抛物型,ut−ν∇2u=调和方程调和方程,椭圆型,∇2u=其中,∇2=∇·∇=∂xx+∂yy+∂zz是Lace算子, =i∂x+j∂y+k∂z是Hamilton算子(矢量PAGEPAGE7/挑担引言:用科学的语言描述现象尤明庆:“关于扁担挑运力学原理的注记:扁担是常见的工具.人双替前,肩部高低变化可以激励扁担作为悬臂梁牵引荷物上下振动;而行走速度的脉动可以引起悬挂于扁担两端的荷物前后摆动,绳索对扁担的水平作用力和竖直作用力均周期变化,后者可引起扁担振动而得到放大.合适的扁担可以使挑担者在:扁担,力学原理,振动,频率[2]2011,33(4):PAGEPAGE9/过程 实际问题物理化 识别:/材料特性、 近似与简化:基于合理的假设（往往在建 物理模型数学化坐标的选取:微元分析法控制体法 数学建模: 实验定律,波动方程:Hooke输运方程:Fourier/Fick **变分原 PAGEPAGE11/PAGEPAGE13/波动方程:“张紧的弹性轻弦的微小横振动”为例纵振动波动请阅读§7.1(109–111页弦:其长度与截面半径相比要大得多的物体均匀:质量分布均匀,设其线密度为ρ;柔软:弦可自由弯曲T沿弦的切线:存在张力 运动的机制（弹性:弹性变形,受弹性力作用;轻:可忽略重力;重力远小于张力.横振动:/立面内振动且弦上各点的位移u与弦的平衡位置垂直;微小:(波长相比为小量.方法:微元分析法,[xx+∆x]“常”“变“直”“曲微元内的质点模型,对于任意时刻,Newton运动定律(即动量守恒律): x方向的动力学方程(Tcosθ)x+∆x−(Tcosθ)x= (1)♡y方向的动力学方程(Tsinθ)

—(Tsin

x+F∆x=(ρ∆x)u(2)(2)Fx为横向外力作用,被忽略了（事后可检验 主项平衡,抓大放小微振动假设:T的均匀性xθ⇒θ的高阶量（线性化 ⇒cosθ≈ ⇒sinθ≈θ≈tanθ=

∆u=∆♡cosθ≈1,(1)Tx+∆x=

x, (3)Tx而变♡sinθ≈ux,(2)(Tux)x+∆x−(Tux)x+F∆x=(ρ∆x)utt. (4)微振动假设:T微元的弧长 x+∆x

x+∆xx∆s 1+u2dx dx=∆x,x ux的高阶小量由此,可以认为振动过程中弦长不随时间改变,Hooke定律 张力也不随时间改变T运动过程中保持均匀性和定常性,是常数物理描述的数学化 数学结果的物理化本构关系:应力和应变之间,’s于是,(4)

T(uxx+∆x

—

x)+F∆x=x,x→0,Tuxx+F=注意:量纲的平衡utt−a2uxx=f (5)a2=T/ρ;f(x,t)=F(x,t)/ρ称为力密度,t时刻作用于x处单位质量上的横向外力.PAGEPAGE18/ 力学

⇒/(力学),x⇒T沿空间的均匀性Hooke(本构关系)⇒T的定常性y方向:Newton(动量守恒律 波动方程 数学取微元:作近似:u:(垂向).ut:速度ux:斜率,(waveutt:加速度自由振动:齐次方程;f(x,t)=受迫振动:(受横向力,f(x,t)̸=参数识别:a,振/波动的速度(相速度从解答中分析PAGEPAGE22/波动方程的其他例子 杆的纵振动方程⇒与弦的横振动物理机理不完全相同,但满足的偏微分方程相同,此处,a2=E/ρ,EYoung氏模量,ρ是密度.u:(水平).ut:速度ux:(i.e.应变).utt:加速度自由振动:齐次方程;f(x,t)=受迫振动:(受纵向力,f(x,t)̸=utt−a2∇2u=0在力学、声学中的应用T/ρ:振动在弦（膜）(速);T是弦（膜）中张力,ρ是密度 a定容比热的比值,p0ρ0的压强和密度γp0/ρ0(声速),γ请阅读§7.1(111–115页传输线方程（电报方程utt−a2∇2u=0传输线方程（电报方程1/LCc(c:celerity),LC是电感、电容uua是真空中电场强度或磁场强度（矢量方程1/µ0ε0是光速,µ0ε0介电常数和导磁率PAGEPAGE24/ 微元分析法只是一种建立方程的途径(从力的角度,从微分的角度局部性质),不是惟一的途径.PAGEPAGE25/41PAGEPAGE26/输运方程:建模以热传导方程为例.u(xyzt为介质中某一(x,y,z)t的温度.能量守恒定律(微元体)内,净流入的热量等于介Fourier热传导定 本构关Q=−κ∇u, (6)(由高流向低)与温度梯度(由低指向高)相反.请阅读§7.1(115–118页输运方程建模方法一 x方向为例,(6)xq1=−κux.设想介质内部出一个长方体,六个面都和坐标面重合.κ为常数.∆tx(x处流入,右表xx流出,ux<0):[8]

– x+∆x x+∆x (κux)|x =

(7)(8)(能是个正定的标量热矢量是个矢量PAGEPAGE28/41yz方向同理可得.记单位时间内单位体积内F(xyzt)根据能量守恒定律,净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量:(κ∇2u+F)∆x∆y∆z∆t=c·ρ∆x∆y∆z·(9)ρ是介质的密度,c(specificheatcapacity)[9].所以ut−ν∇2u=f, 其中ν=κ/ρc,f(x,y,z,t)=F 输运方程建模方法二:S,其包围的区域记为V,Sn.t1t2区域∫Q cρ(ut=t2 ut=t12 (∫ 2 utdt2∫Vt∫2 dV[t1t2SV∫Q1

t2(

κundS∫t1( =2∫t1t2

κ∇u·ndSS

上面最后一个等号用到了Gauss,un下标n表示沿着外法线方向的导数(此处热流沿着法线流入,un>0) 的热量为F,[t1,t2]内在V中产生的热量为 t2Q2 QQ1Q2, t2=

∫V ∫V (κ∇u)dV

t2

V

PAGEPAGE33/ t1,t2V都是任意的,cρut=∇·(κ∇u)+ 对于均匀的各向同性体,ρ,c,k都是常数.ut ν∇2u=f,νκ/ρcf(x,y,z,t)=F/ρc.

PAGEPAGE33/ **拓展:Reynolds//“物质导数”(substantial ∂fdt=∂t+(v·∇)f. d∫∫∫

fdV=

∫∫∫∫∫∫V

[∂f[

+∇·(fv) ]+f v (17)(18)的证明:EulerxLangrangeξ之⇐=流动特性的数学表述.PAGEPAGE34/ (系统)的物质导数.式(18)右端第二项,可依Gauss/散度定理,体f为广义的密度标量/矢 1F=fv(fluxdensity)/张量.质量:f=ρ.12动量:f= 23能量:f=ρe 2v·v3∂f+ F∂t ut−ν∇2u=uν=D,DFick定律中的扩散系数uν=κFourier定律中的热传导系数c是比热,ρ是密度扩散:diffusion色散:dispersion耗散:dissipation,【提问ν

35PAGEPAGE36/PAGEPAGE37/调和方程:建模浓度的扩散持续下去其空间分布不再随时间变化,ut=0.u不随时间变化例如静电场的****变分原理可能的位移中,真实位移使总位能达到最小.请阅读§7.1(118–121页调和/Lace方程∇2u=0;Poisson方程∇2u=f//u/温度u是静电场的电势函数 是稳恒电流势 /流函数请阅读§7.1(118–121页PAGEPAGE39/ (非定常)过程.位势方程(Lace&Poisson方程)反映了浓度、温度的稳态(定常)分布.表面上看,ut即【提问】一个从初态到终态物理过程,终态的控ut?t→∞时的极限?什么PAGEPAGE40/ 线性与非线性偏微分方程F(x,tuuxut0为非线性(nonlinear)A(x,t)ut+B(x,