复变函数总课件第六章

内容简介在第一章曾讲过w=f(z)在几何上，可以看作是把z

平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的点集G*(函数值集合)的映射(或变换)，这个映射通常称为由函数w=f(z)所构成的映射。z

˛

G w

˛

G*w

=

f

(

z

)fi称w为z的象点（映象），而z称为的原象。~~~~~~~~~~~~

~~~~第六章

共形映射第六章

共形映射本章从几何的角度来对解析函数的性质和应用进行讨论。我们将看到，解析函数(映射)在导数不为零的点处具有一种保角的特性，它在数学本身以及在解决流体力学，弹性力学，电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的重要方法。

1.

曲线的切线

2.

导数的几何意义

3.

共形映射的概念§1共形映射的概念t

˛

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)1.

曲线的切线Dtz(t0

+Dt

)-z(t0

)方向相同.它的正向取t增大时点z移动的方向.若z'(t0

)„0,t0

˛

(a

,b

),取P0

,P

˛

C

,P0

,P对应的参数分别为t0

,t，设连续曲线yoxy(z)P0C

:

z

=

z(t

)P割线p

p对应于参数

t增大的0方向。则割线的方向向量p0

p与向量jyoxy(z)0PC

:

z

=

z(t

)PT割线方向p0

p

的极限位置：Dtz(t

+

Dt

)

-

z(t

)z'(t

)

=

lim00Dt

fi

00—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.j

=

arg

z'(t0

).则曲线C在z0有切线,z'(t0

)\若z'(t0

)„0,t0

˛

(a

,b

),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~就是切向量,它的倾角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义

切线随切点的移动而连续转动的有向曲线称为有向光滑曲线.(2)若曲线C1与曲线

C2相交于点z0

,在交点处两曲线正向之间的夹角就是它们的两条切线正向之间的夹角.C2

:

z

=

z2

(t

)C1

:z

=

z1

(t

)oxy(z)z0q~~~~~~~~~~(1)Argz'(t0

)--曲线C在点z0处切线的正向与正x轴方向之间的夹角.2.

解析函数导数的几何意义t

˛

[a

,

b

]C

:

z

=

z(t

)设w

=f

(z)在区域D内解析,z0

˛

D,且f

'(z0

)„0,在D内过z0引一条有向光滑曲线:G

—

过点w0

=

f

(

z0

)，正向取

t增大方向的曲线

.z0

=

z(t0

)取t0

˛

(a

,b

)z'(t0

)

„

0则w

=

f

(

z

)fi

w平面上G

:w

=f

[z(t

)]z平面上C:z

=z(t

)~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~

w

'

(

t0

)

=

f

'

(

z0

)

z'(

t0

)

„

0

Argw

'

(

t0

)

=

Argf

'

(

z0

)+

Argz

'

(

t0

)a

=

F

-j(1)C

:

z

=

z(t

)o(z)xovuw

=

f

(

z

)fiF(w)G

:

w

=

f

[z(t

)]T

'jTz00wa

j记即

Argf

'(z0

)

=

Argw'(t0

)

-

Argz'(t0

)即yFz0的转动角,记作a

.若视x轴与u轴和y轴与v轴的正向相同,称曲线C的切线正向与映射后曲线G正向之间的夹角为(原曲线C经映射w

=f

(z))在点~~~~~~~即Argf

'(z0

)=Argw

'(t0

)-Argz

'(t0

)a

=

F

-

juFxTjz0w0T

'a映射后在点z0的转动角.(1)导数幅角Argf'(z)的几何意义①Argf

'(z0

)(f

'(z0

)„0)是曲线C经过w

=f

(z)~~~~~~~~~动角的不变性.与方向无关,这种性质称为映射具有转由(1)式a

仅与映射

w

=

f

(

z

)及点

z0有关,

则②转动角a的大小及方向与曲线C的形状~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~j2设Ci

(i

=1,2)在点z0的夹角为q

,Ci

(i

=1,2)在变换w

=f

(z

)下映射为相交于点w0

=f

(z0

)的曲线Gi

(i

=1,2),G1

,G2的夹角为Q

.xy

(z)1C2Cjo

10zw

=

f

(

z

)fiQ

=

F

2

-

F

1G2G1F

1F

2ovu(w)w0(i

=

1,2)由式(1)有，

a

=

F

i

-

j

i

F

2

-

F

1

=

j

2

-

j

1\

Q

=

q——保角性q

=

j

2

-j1由上述讨论我们有w

=

f

(

z

)过z0的C1

,

C2

fi

过w0的G1

,

G2

(C1

,

C2

)

=

(G1

,

G2

),这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质--保角性(2)模f'(z)的几何意义用Ds表示C上的点z0与z之间的一段弧长;Ds表示G上的对应点w0与w之间的弧长.ijDw

=w

-w0

=re

且iq设Dz

=

z

-

z0

=

re

,=

1=

1

limD

sD

wD

sD

zD

z

fi

0D

z

fi

0

lim(3)0Ds

Dz

DsDz

fi

0Ds

=

lim

Ds\

f

'(

z

)

=

lim

Dw

DsDz

fi

0

Dsf

'(z0

)--称之为曲线C在z0的伸宿率.Co(z)xyov(w)uGw

=

f

(

z

)fi0zzwDww0DzDsDs点z0处A

=易见

,

f'

(

z0

)

与映射

w

=

f(

z

)及z0有关,

而与曲线的形状方向无关

,

沿任何曲线作映射

f时,

在同一f

'(z0

)均不变--伸缩率不变性.w

=f(z

)在区域D内是共形映射.3.

共形映射的概念定义设w

=f

(z)在z0的邻域内有定义，且在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w

=f

(z)在z0为共形的，或称w

=f

(z)在z0是共形映射.~~~~~~

~~~~~~~~~~~~~~~若w

=f

(z

)在D内每一点都是共形的，则称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

w

=f

(z

)是共形(保角)映射，由定义及以上分析有:定理若w

=f

(z

)在z0点解析且f

'(z0

)„0,且a

=

Argf

'

(

z0

)为转动角

,

f

'

(

z0

)

为伸缩率。

若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~射~~。~~~~~~~~~~~~~~~~~~f

'(z0

)

„

0=

f

'(z0

)

d\Dw

»f

'(z0

)Dz（忽略高阶无穷小）f

(z)

-

f

(z0

)=Dz

z

-

z0Dww

=

f

(

z

)=

d

fi

w

-

w0zfi

z0fi

=

f

'(z0

)那么圆:z

-z0又

设w

=

f

(z)

z

˛

Dz0

˛

D

w0

=

f

(z0

)（忽略高阶无穷小）这就是为什么称共形映射的原因.共形映射要解决的基本问题：1、已知z平面上的区域D及解析函数f(z),求D在映射w=f(z)下的像域；2、已知z平面上的区域D和w平面上的区域G，求实现由区域D到G的映射w=f(z).解例试求变换w

=f

(z)=z

2

+2z在点z

=-1

+2i处的旋转角，并说明它将z平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？

f

'(z)

=

2z

+

2

f

'(-1

+

2i

)

=

4i4又f

'

(

z

)

<

1 (

x