高数课件函数微分

一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则四、小结实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.0A

=

x

20xx0设边长由x0变到x0

+Dx,0正方形面积A

=x

2

,\

DA

=

(

x

+

Dx)2

-

x

20

0=

2

x

Dx

+

(Dx)2

.0(1)

(2):Dx的线性函数,且为DA的主要部分;:Dx的高阶无穷小,当Dx

很小时可忽略.DxDx(Dx)2x0

Dxx0

Dx一、微分的定义再例如,设函数y

=x

3在点x

处的改变量0为Dx时,

求函数的改变量Dy.Dy

=

(

x

+

Dx)3

-

x

30

00=

3

x

2

Dx

+

3

x0(1)(Dx)2

+

(Dx)3

.(2)当Dx

很小时,

(2)是Dx的高阶无穷小o(Dx),\

Dy

»

3

x

2

Dx.0既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义设函数y

=f

(x)在某区间内有定义,x0及x0

+Dx在这区间内,如果函数的增量Dy

=f

(x0

+Dx)-f

(x0

)=A

Dx

+o(Dx)成立(其中A是与Dx无关的常数),

则称函数y

=

f

(

x)在点x0可微,

并且称A

Dx为函数y

=f

(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分,记作dy

x

=

x

或df

(

x

),

即dy

=

A

Dx.0

0

x

=

x0微分dy叫做函数增量Dy的线性主部.(微分的实质)由定义知:dy是自变量的改变量Dx的线性函数;Dy

-dy

=o(Dx)是比Dx高阶无穷小;当A

„0时,dy与Dy是等价无穷小;dy

Dy

=

1

+

o(Dx)A

Dxfi

1

(Dx

fi

0).A是与Dx无关的常数,但与f

(x)和x0有关;当Dx

很小时,

Dy

»

dy

(线性主部).数

f

(

x)在点x0处可导,

且

A

=

f

¢(

x0

).函数f

(x)在点x0可微的充要条件是函定理证(1)

必要性

f

(x)在点x0可微,\

Dy

=

A

Dx

+

o(Dx),\

Dy

=

A

+

o(Dx)

,Dx

DxDxDx

fi

0Dx

fi

0

Dx则lim

Dy

=A

+lim

o(Dx)=A.即函数

f

(

x)在点

x0可导,

且A

=

f

(

x0

).可微的条件(2)

充分性

函数f

(

x)在点x0可导,0Dx即Dy

=

f

¢(

x

)

+

a,0\

lim

Dy

=

f

¢(

x

),Dx

fi

0

Dx(Dx

fi

0),a

fi

0且

f

(

x0

)

=

A.从而Dy

=

f

(

x0

)

Dx

+

a

(Dx),=

f

(

x0

)

Dx

+

o(Dx),即函数f

(x)在点x0可微,\

可导

可微.

A

=

f

(

x0

).函数

y

=

f

(

x)在任意点x的微分,

称为函数的微分,

记作dy或df

(

x),

即dy

=

f

¢(

x)Dx.例1

求函数

y

=

x

3

当

x

=

2,

Dx

=

0.02时的微分.解

dy

=

(

x

3

)

Dx

=

3

x

2

Dx.x

=2Dx=0.02x=2Dx

=0.02\

dy

=

3

x

2

Dx=

0.24.通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分,记作dx,

即dx

=

Dx.\

dy

=

f

(

x)dx.dxdy

=

f

¢(

x).即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.

导数也叫"微商".二、微分的几何意义y

=

f

(

x)x0MNTdyDyo(Dx)xyo）aDx几何意义:(如图)坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量.当Dy是曲线的纵x0

+

DxP当Dx

很小时,

在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN

.三、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则dy

=

f

(

x)dx求法:

计算函数的导数,

乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式d

(

x

m

)

=

mx

m-1dxd

(cos

x)

=

-

sin

xdxd

(cot

x)

=

-

csc2

xdxd

(csc

x)

=

-

csc

x

cot

xdxd

(C

)

=

0d

(sin

x)

=

cos

xdxd

(tan

x)

=

sec2

xdxd

(sec

x)

=

sec

x

tan

xdxdx1

+

x2dx d

(arc

cot

x)

=

-1

+

x2d

(arctan

x)

=dx1

-

x2xdx d

(arccos

x)

=

-1

-

x2d

(arcsin

x)

=d

(ln

x)

=

1

dxdxx

ln

ad

(ex

)

=

exdxd

(ax

)

=

ax

ln

adxad

(log

x)

=111112.

函数和、差、积、商的微分法则d

(u

–

v)

=

du

–

dv d

(Cu)

=

Cduv

2d

(

)vd

(uv)

=

vdu

+

udvu

=

vdu

-

udv例2解2设

y

=

ln(

x

+

e

x

),

求dy.x

+

e21

+

2

xe

xx

2

,

\

dy

=

y¢dx

=

y¢=dx.21

+

2

xe

x2x

+

e

x例3解设y

=e1-3

x

cos

x,求dy.dy

=

cos

x d

(e1-3

x

)

+

e1-3

x

d

(cos

x)(e1-3

x

)

=

-3e1-3

x

, (cos

x)

=

-

sin

x.\

dy

=

cos

x

(-3e1-3

x

)dx

+

e1-3

x

(-

sin

x)dx=

-e1-3

x

(3

cos

x

+

sin

x)dx.设函数

y

=

f

(

x)有导数

f

(

x),若x是自变量时,

dy

=

f

(

x)dx;若x是中间变量时,

即另一变量

t

的可微函数

x

=

j

(t

),

则j

(t

)dt

=

dx,dy

=

f

(

x)j

(t

)dt\

dy

=

f

(

x)dx.结论：无论

x是自变量还是中间变量,

函数y

=f

(x)的微分形式总是微分形式的不变性dy

=

f

(

x)dx六、微分形式的不变性解dy

=

e

-ax

cos

bxd

(bx)

+

sin

bx e

-ax

d

(-ax)=

e

-ax

cos

bx bdx

+

sin

bx e

-ax

(-a)dx=

e

-ax

(b

cos

bx

-

a

sin

bx)dx.例3解设y

=sin(2

x

+1),求dy.

y

=

sin

u,

u

=

2

x

+

1.\

dy

=

cos

udu

=

cos(2

x

+

1)d

(2

x

+

1)=

cos(2

x

+

1) 2dx

=

2

cos(2

x

+

1)dx.例4

设

y

=

e

-ax

sin

bx,

求dy.五、小结★微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题

导数的概念函数的增量问题

微分的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.★导数与微分的联系:可导

可微.2课时★导数与微分的区别:函数

f

(

x)

在点x0处的导数是一个定数

f

(

x0

),而微分

dy

=

f

¢(

x0

)(

x

-

x0

)

是x

-

x0的线性函数,它的定义域是R,实际上,它是无穷小.

lim

dy

=

lim

f

(

x0

)(

x

-

x0

)

=

0.x

fi

x0

x

fi

x0从几何意义上来看,

f

(

x0

)

是曲线

y

=

f

(

x)

在点(

x0

,

f

(

x0

))

处切线的斜率,而微分

dy

=

f

¢(

x0

)

(

x

-

x0

)是曲线

y

=

f

(

x)

在点(

x0

,

f

(

x0

))

处的切线方程在点

x0

的纵坐标增量.思考题因为一元函数y=f

(x)在x0

的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？作

业P1203-(3)(7);P12412-(2);思考题解答说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.一、

填空题：1、已知函数f

(x)=x

2

在点x

处的自变量的增量为0.2，对应的函数增量的线性全部是dy

=0.8，那么自变量x

的始值为

.2、d2

x=

e dx

.3、d=

sec2

3

xdx

.4、

y

=

x2e2

x

,dy

=

e2

xd

+

x2d.)

=2e

2

x5、d

(arctandx

.de

x

=练习题221

e2

xtan

3

x31x2e2

x2

2ex

2

+

e4

x2e2

x2

2

+

e4

x二、

求下列函数的微分：x

2

+

1x1、

y

=

；22、

y

=

[ln(1

-

x)]

；x=

33、

y

=

ep-3

x

cos3x

，求dy

p

；答案：(

x2

+

1)

2

dx-

3dxx

-

12

ln(1

-

x)答案：答案：3dx2、无穷小与函数极限的关系:证必要性x

fi

x0设

lim

f

(

x)

=

A,

令a(

x)

=

f

(

x)

-

A,则有lim

a(x)=0,x

fi

x0\

f

(

x)

=

A

+

a(

x).充分性设f

(x)=A

+a(x),其中a(x)是当x

fi

x0时的无穷小,定理1lim

f

(

x)

=

A f

(

x)

=

A

+

a(

x

),x

fi

x0其中a(x)是当x

fix0

时的无穷小.一、填空题：1、利用公式f

(x)»f

(x0

)+f

¢(x0

)(x

-x0

)计算f

(x)时，要求______很小.2、当

x

»

0

时

，

由

公

式

Dy

»

dy

可

近

似

计

算ln(1

+x)»

；tanx

»

，由此得tan

45

»

；ln1.002»

.二、

利用微分计算当

x

由45

变到45 10

,

时，函数y

=cos

x

的增量的近似值(1三、已知单摆的振动周期T

=2p=0.017453弧度).l

，其中g

=980

厘g米/秒2，l

为摆长（单位为厘米），设原摆长为20厘米，为使周期T

增大0.05秒，摆长约需加长多少？练习题四、求近似值：1、tan

136

；2、

arcsin

0.5002

；

3、3

996

.五、设A

>

0，且

B

<<

An

，证明nAn-1nAn

+

B

»

A

+B，并计算10

1000

的近似值.六、已知测量球的直径D

有1%的相对误差，问用公式V

=p

D3

计算球的体积时，相对误差有多大？6七、某厂生产（教材2-18图）所示的扇形板，半径R

=200毫米，要求中心角a

为55

产品检验时，一般用测量弦长L的办法来间接测量中心角a

，如果测量弦长L时的误差dL

=0.1毫米，问由此而引起的中心角测量误差da

是多少？一、1、x

-x0

；2、x,

x,

0.01309,

0.002.二、21602

p

»

-0.0021.三、约需加长2.23厘米.四、1、-0.96509；五、1.9953.六、3%.2、30o47¢；3、9.9867.七、da

=0.00056(弧度)=1¢55¢.练习题答案例1

半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了

0.05厘米,问面积增大了多少?四、微分在近似中的应用计算函数增量的近似值若y

=

f

(

x)在点x0处的导数f

(

x0

)

„

0,且Dx

很小时,解\设A

=pr

2

,r

=

10厘米,

Dr

=

0.05厘米.DA

»dA

=2pr

Dr

=2p·10

·

0.05

=p

(厘米2

).»

dy

x

=

x

=

f

(

x0

)

Dx.0Dy

x

=

x01.求f

(x)在点x

=x0附近的近似值;Dy

=

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)

»

f

(

x0)

Dx.f

(

x0

+

Dx)

»

f

(

x0

)

+

f

(

x0

)

Dx.(Dx

很小时)例1计算cos

60o30

的近似值.设f

(

x)

=

cos

x,

\f

(

x)

=

-sin

x,

(

x为弧度)解p

,36030

x

=

p,

Dx

=2、计算函数的近似值f

¢(p)

=

-

3

.3

2\

f

(p)

=

1

,3

23

360\

cos

60o30¢=

cos(p

+3

360p

)

»

cos

p

-

sin

p3»

0.4924.p=

1

-

3

p2

2

3602.求f

(x)在点x

=0附近的近似值;令

x0

=

0,

Dx

=

x.

f

(

x0

+

Dx)

»

f

(

x0

)

+

f

(

x0

)

Dx,\

f

(

x)

»

f

(0)

+

f

(0)

x.常用近似公式

(

x

很小时)n(1)n

1

+x

»1

+1

x;

(2)sin

x

»x

(x为弧度);证明(1)设f

(x)=n

1

+x,(3)

tan

x

»

x

(

x为弧度);

(4)

e

x

»

1

+

x;(5)

ln(1

+

x)

»

x.11

-1(1

+

x)n

,f

¢(

x)

=nnf

(0)

=

1,

f

¢(0)

=

1

.n\

f

(

x)

»

f

(0)

+

f

(0)

x

=

1

+

x

.例2计算下列各数的近似值.解(2)

e

-0.03

.(1)

3

998.5;(1)

3

998.5

=

3

1000

-

1.51000=

3

1000(1

-

1.5

)

=

103

1

-

0.00151»

10(1

-

3

·

0.0015)

=

9.995.(2)

e

-0.03

»

1

-

0.03

=

0.97.由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差——称为测量误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：如果某个量的精度值为A,它的近似值为a,那末A

-a

叫做a的绝对误差.a而绝对误差与a

的比值A

-a

叫做a的相对误差.问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得.3、误差估计办法:将误差确定在某一个范围内.如果某个量的精度值是

A,

测得它的近似值是

a,又知道它的误差不超过

dA

,即A

-

a

£

dA

,那末dA叫做测量A的绝对误差限,a而dA

叫做测量A的

相对误差限.一般地,根据直接测量的x

值按公式y

=f

(x)计算y的值时，如果测量x

的绝对误差限是dx，即

Dx

£

dx

,

那么，当

y¢„

0时，y的绝对误差