1987~2022武汉大学数学分析考研试题

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武汉高校数学分析1992

1．给定数列如下：

}{nx00>x，??

????+?=?+11)1(1knnnxaxkkx，",2,1,0=n（1）证实数列收敛。

}{nx（2）求出其极限值。

2．设函数定义在区间)(xfI上，试对“函数在)(xfI上不全都延续”的含义作一绝对语气的（即不用否定词的）讲述，并且证实：函数在区间xxln),0(+∞上不全都延续。

3．设函数在区间上严格递增且延续，)(xf],0[a0)0(=f，为的反函数，试证实成立等式：。

)(xg)(xf[]xxgaxxfafad)(d)()(00∫∫?=4．给定级数∑+∞

=+01

nn

nx。

（1）求它的和函数。)(xS（2）证实广义积分xxSd)(1

0∫收敛，交写出它的值。

5．对于函数???

????=+≠++=0,00,),(22222

22yxyxyxyxyxf，证实：

（1）到处对),(yxfx，对可导；

y（2）偏导函数，有界；

),(yxfx′),(yxfy′（3）在点不行微。

),(yxf)0,0(（4）一阶偏导函数，中至少有一个在点不延续。

),(yxfx′),(yxfy′)0,0(6．计算下列积分：

（1）

xxxxabdln10?∫，其中为常数，ba,baMxn>E为的一切项组成的数集。试证必存在自然数}{nxp，使得Expinf=。

2．设函数在点的某空心邻域内有定义，对于随意以为极限且含于的数列，极限都存在（有限数）。)(xf0x0U0x0U}{nx)(limnnxf∞

→（1）试证：相对于一切满足上述条件的数列来说，数列的极限是唯一确定的，

即假如和是随意两个以为极限且含于的数列，那么总有}{nx)}({nxf}{nx}{nx′0x0

U)(lim)(limnnnnxfxf′=∞

→∞→。（2）记（1）中的唯一确定的极限为，试证：)}({nxfAAxfxx=→)(lim0

。3．设函数在点的邻域)(xf0xI内有定义，证实：导数)(0xf′存在的充要条件是存在这样的函数，它在)(xgI内有定义，在点延续，且使得在0xI内成立等式：

)()()()(00xgxxxfxf?+=，

又这时还有)()(00xgxf=′。

4．已知有限闭区间上的延续函数在该区间上是可积的。现假设有一函数，

在区间上有定义，有界（存在正数)(xf],[baM，],[bax∈?，有Mxf],[Ma)()(xfxfn→

→+∞→n），证实：（1）反常积分

收敛。xxfad)(∫+∞（2）。xxfxxfanand)(d)(lim∫

∫+∞+∞+∞→=8．设证，问

)|sin(|),(3yxyyxF+=（1）在附近是否满足)0,0(0),(=yxF的隐函数存在定理条件？

（2）在附近关于是否严格单调？

)0,0(),(yxFy（3）在附近，是否存在过在的唯一延续隐函数？为什么？

)0,0()0,0(

（3）若存在隐函数过点，问其导函数为何？

)0,0(武汉高校数学分析1996

1．设)(+∞→→naan，令

?

??≤>=+0,00,nnnn

aaaa，???≤>=0,00,aaaa证实：。)(+∞→→++naan2．设，在可微，且Ayxfyxyx=→),(lim),(),(00),(yxg),(00yx0),(00=yxg。证实：

（1）α+=Ayxf),(，()

20220)()()(yyxxoxx?+?=?α，（）；),(),(00yxyx→（2）在可微。

),(),(yxgyxfz=),(00yx3．设当，，],[bax∈0)(≥xf0/)(≡

xf，且在上延续，证实：。)(xf],[ba0d)(>∫xxfba4．给定级数

nnxnn)(!)!2(!)!12(1

??∑∞=，证实：（1）1

21!)!2(!)!12(+RRx≥||0)(=x?，证实：

（1）当初有∞→n)0()()(fxnxfx??→→??????，+∞>>cba

武汉高校数学分析1997

1．设且不趋于，证实数列中存在子序列是收敛的子序列。

0>nana∞+}{na}{kna2．设为延续函数，且)(xf{}

],[0)(baxfx?≠，+∞yxf),(),(yxcfcycxf=0>?c0,>βα，使得2222),(yxyxfyx+≤≤+βα。

4．设有二阶延续偏导数，),,,(zyxtuu=?为空间的一有界闭集，它有光洁边界，处的单位外法向矢量为，证实：

),,(zyx????νzyxutSutuzyxutuddddd21dddd2(∫∫∫∫∫∫∫∫???????????=????ν外侧）其中222222z