《合情推理与演绎推理》教学案

合情推理与演绎推理推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理推理一般分为合情推理与演绎推理两类合情推理归纳推理类比推理定从个别事实中推根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，义演出一般性的结论点个别到一般的推理

推演出它们在其他方面也相似或相同由特殊到特殊的推理一1通过观察个别情 1找出两类事物之间相似般况发现某些相同性质；性或一致性；1步2步22骤质中推出一个明确的一般性命题猜想个明确的命题猜想演绎推理；特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；模式：三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——提供了一个一般性①大前提——提供了一个一般性的原理；“三②小前提——指出了一个特殊对段论”的象；结构③结论——两个判断结合起来，提示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题“三 ①大前提——M是2段论”的表示3m9√5一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an∈N* ×n均为实数，则可以推测35，b＝6√2数列2,5,11,20，,47，…中的等于 答案32解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出－20＝12，所以＝323＝3125,5＝15625,＝78122022的后四位数字为 答案8125解析＝3125,5＝15625,＝78125,5＝390625,5＝3195312595的后四位数字相同，…，由此可归纳出5＋4∈N＝5,6,7,8202＝4×501＋52022781254陕西观察下列等式1＝11－2＝－31－2＋＝61－2＋－＝－10……照此规律，第n个等式可为 答案－2＋－＋…＋－1＋＝－·解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的项为－＋2等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分1,3,6,10,15,21，…设此数列为{aa－a＝2，a－n 2 1 3a＝3，a－a＝4，a－a＝5，…，a－aa2 4 3 5 4 n n－a＝＋＋＋…＋a＝＋＋＋…＋＝n个等1 n4－＋3－＋…＋－＋＝－＋15anS，则S－S，S－S，n n 4 8 4 12 8S－S成等差数列类比以上结论有设等比数列{bn项积16 12 n为T，则T， ， ，成等比数列n 4答案解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b}的前n项nT，nT＝aa

a，T＝a

…a

＝aa…a，4 123

8 12

12 12 12T＝aa…a，16 12 16因此＝aa

a，＝a

aa，＝aaaa，5678

9

11

13

1516T1，4T4

，，成等比数列题型一 归纳推理1先分别求后归纳猜想一般性结论，并给出证明f计算各式，利用归纳推理得出5结论并证明解f0＋f1＝＋＝＋＝＋＝，同理可得：f－1＋f2＝，f－2＋f3＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1＝1f＋f＝1 2 1 2证明：设

＋＝1，1 23x133x23∵f3x133x231 2(3x1(3x13)(3x 3)2(3x13)(3x 23)3x13x 2 323xx1 23(3x3x)3123x13x 2 33x13x 2 323(3x3x)23123x13x 2 323(3x3x 2 3)1233思维升华1归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围或试验的基础之上的结论和科学的发现很有用61观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为 2f＝＋＋＋…＋∈N4>816>，则有 答案15＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝812f2n>n≥2，n∈N*解析1＝2,＋＋＝＝2,＋＋＋＋＝2＝52,＋＋＋＋＋＋10＝49＝＋＋＋＋1＋1＋12＋1＝＝8122342>≥2，∈N*7题型二 类比推理2已知数列{aan m n∈N，则a＝an列{bb>0，∈Nb＝，b＝d－≥2，，∈N，则可n n m n以得到b＝ m＋n思维启迪等差数列{a}和等比数列{bn n的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算答案解析 设数列{a}的公差为数列{b}的公比为qn na＝a＋－，b＝b－，a＝，n 1 n 1 b＝m＋n思维升华1分析、联想进行对比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键8圆锥曲线间的类比等三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应法则，如：两条边直线垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等1给出下列三个类比结论：与②loglogy与a a asinαsinβ；③＋＝＋a＋2＋2＋＝＋•b＋2其中结论正确的序号是 2形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆为直角三角形两直角边长类比此方法可得三9R＝ 答案1③2R＝解析1①②错误，③正确2球半径题型三 演绎推理31的图象关于点，－对称；2证明 函数f的定义域为全体实数，任取一点则－1－y＝－1＋＝－，f1－＝－＝－10＝－＝－，即函数的图象关于点，－对2解 由1知即思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提已知函数y＝f，满足：对任意a，b∈R，a≠b，fR上的单调增函数证明 设，∈R，取<，1 2 12则由题意得

f＋f>f＋f，11 2212 21∴[f－f]＋[f－f]>0，1 1 2 2 2 1[f－f]－>0，2 12 1∵<，∴f－f>0，f>f12 2 1 2 1R上的单调增函数11高考中的合情推理问题1,3,6,1n个三角形数为＝nn个数的表达式：三角形数 ＝正方形数 Nn＝，五边形数 Nn＝－，六边形数 Nn＝－n………可以推测的表达式，由此计算N10,24＝ N解析由NnNnN，，∴N10,24＝×100＋×10＝1100－100＝1000答案10001225P00 0

P0

作椭圆的两条切P，PPP所在的直线方程是＋＝1，那1 2 12么对于双曲线则有如下命题：若P00 0PP，PPP0 1 2 12所在直线的方程是 思维启迪直接类比可得解析 设P，y，P，y，11 1 22 2P

的切线方程分别是1 2－＝1，－＝1P，y在这两条切线上，00 0故有－＝1，－＝1，P，y，P，y在直线－＝111 1 22 2PP12

所在的直线方程是－＝1答案 －＝135“1×2＋2×3＋…＋nn＋1”如下一种方法：先改写第项：13＋1＝[＋1＋2－－1＋1]，1×2＝1×2×3－0×1×2，2×3＝2×3×4－1×2×3，…，nn＋1＝[nn＋1n＋2－n－1nn＋1]相加，得1×2＋2×3＋…＋nn＋1＝nn＋1•n＋2类比上述方法，请你计算结果 思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证解析 类比已知条件得＋1＋2＝[＋1＋2＋3－－1＋1＋2]，1×2×3＝1×2×3×4－0×1×2×3，2×3×4＝2×3×4×5－1×2×3×4，3×4×5＝3×4×5×6－2×3×4×5，…，nn＋1n＋2＝[nn＋1n＋2n＋3－n－1nn＋1n＋2]14以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋nn＋1n＋2＝nn＋1n＋2n＋3答案nn＋1n＋2n＋3温馨提醒1合情推理可以考查学生的抽象思维能力和创新能力，在每年的高考中经常会考到；合情推理的结论要通过演绎推理来判断是否正确方法与技巧1合情推理的过程概括为―→―→―