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文档简介
第八章Fourier
变换§8.1 Fourier
变换的概念§8.2
单位冲激函数§8.3 Fourier
变换的性质Fourier
变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等)，又具有非常特殊的物理意义。因此，Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。Fourier
变换是在周期函数的Fourier
级数的基础上发展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下Fourier
级数展开。§8.1 Fourier
变换的概念§8.1 Fourier
变换的概念一、周期函数的Fourier
级数
二、非周期函数的Fourier
变换一、周期函数的Fourier
级数1.
简谐波的基本概念x(t
)
=
Acos(w
0t
+q
)=
a
cos
w
0t
+
b
sinw
0t其中，A
称为振幅，w
0
称为角频率，q
称为相位，(q
=0
称为零相位)。简谐波w
0T
=2p
为基本周期；(单位：秒)T
2pF
=
1
=
w
0为频率。(单位：赫兹Hz)补一、周期函数的Fourier
级数2.正交函数系2
0
n
0j
(t
)
=
cos
nw
t
n
0
y
1
(t
)
=
sinw
0t2
0
j
(t
)
=
cos
2w
t函数系
j0
(t
)
=
1
j1
(t
)
=
cos
w
0t
y
(t
)
=
sin
nw
t
y
(t
)
=
sin
2w
t补2.正交函数系特点
(1)
周期性由{jk
(t
)},{y
k
(t
)}组合叠加可以生成周期为T
的复杂波。(2)
正交性-T/2T/2ny
(t
)
d
t
=
0
,mj
(t
)-T/2T/2k
lj
(t
)
d
t
=
0
,j
(t
)T/2-T/2y
k(t
)
y
l(t
)
d
t
=
0
,(k
„
l
)一、周期函数的Fourier
级数一、周期函数的Fourier
级数2.正交函数系问题对于任何一个周期为T
的(复杂)函数fT
(t
)，能否：+¥0
0
n=1Tf
(t
)
=anjn
(t
)
+
bny
n
(t
)A
j
(t
)
+?+¥=
A0
+
an
cos
nw
0t
+
bn
sin
nw
0
tn=1+¥=
A0
+
An
cos(nw
0
t
+qn
)
.n=1(Fourier级数的历史回顾)(Dirichlet定理)设fT
(t
)是以T
为周期的实值函数，且在区间[-T/2,T/2]上满足如下条件(称为Dirichlet条件)：连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点.则在fT
(t
)的连续点处有定理3.
Fourier
级数的三角形式一、周期函数的Fourier
级数P183定理8.12T在
f
(t
)
的间断处，上式左端为
1
[f
(t
+
0)
+
f
(t
-
0)].T
T0Tω
=2π
,
称之为基频。(Dirichlet定理)定理=
2T/2-T/2nfT
(t
)
cos
nω0t
d
t
,T
an
=
0
,
1,
2
,
fT
(t
)
sin
nω0t
d
t
,=
2T/
2-T/2T
nb其中,n
=
1,
2
,
20aT(an
cos
nω0
t
+
bn
sin
nω0
t
)
,+f
(t
)
=+¥n=1一、周期函数的Fourier
级数3.
Fourier
级数的三角形式(A)称(A)
式为Fourier
级数的三角形式。定义nnAa=
n
,cosqnnsinqA-
b=
n
,，200A
=A
=
a2
+
b2
,n
n
n令则(A)
式变为OAnann-bqn2aa0T(an
cos
nω0
t
+
bn
sin
nω0
t
)
,+f
(t
)
=+¥n=1一、周期函数的Fourier
级数4.
Fourier
级数的物理含义(A)改写P184+¥fT
(t
)
=
A0
+
An
cos(nω0t
+
θn
)n=1频率成份，其频率是以基频ω0
为间隔离散取值的。”这是周期信号的一个非常重要的特点。+¥4.
Fourier
级数的物理含义fT
(t
)
=
A0
+
An
cos(nω0
t
+
θn
)n=1表明
周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的(角)频率分别为一个基频ω0
的倍数。意义
认为“
一个周期为T
的周期信号fT
(t
)并不包含所有的一、周期函数的Fourier
级数相位θn这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。反映了在信号fT
(t
)中频率为nω0
的简谐波沿时间轴移动的大小。反映了频率为nω0
的简谐波在信号fT
(t
)中所占有的份额；振幅An一、周期函数的Fourier
级数+¥4.
Fourier
级数的物理含义fT
(t
)
=
A0
+
An
cos(nω0t
+
θn
)n=1代入(A)
式并整理得根据
Euler
公式
ej
nω0t
=
cos
nω0t
+
j
sin
nω0t
,
(
j
=
-
1
)2e
jnω0t
+e-
jnω0t可得cos
nω0t
=2-
je
jnω0t
+
je-
jnω0t,
sinnω0t
=)
.e22200e
++¥-
jnω
tan
+
jbnan
-
jbna0fT
(t
)
=
+
(n=1jnω
t推导已知20aT(an
cos
nω0
t
+
bn
sin
nω0
t
)
,f
(t
)
=一、周期函数的Fourier
级数5.
Fourier
级数的指数形式++¥n=1(A)P183)
.e22200+¥e
+-
jnω
tan
+
jbnjnω
ta0
an
-
jbn推导
fT
(t
)
=
+
(则有=
a00令c2
2nn=1,
c=
an
-
jbn
,2=
an
+
jbn
,c-n=
10T/2-T/2Tf
(t
)
e-
jnω
t
d
t
,nT其中,
cn
=
0
,
–
1,
–
2
,
+¥fT
(t
)
=
cn
e
jnω0t
,n=-¥一、周期函数的Fourier
级数5.
Fourier
级数的指数形式(B)称(B)
式为Fourier
级数的指数形式。定义(1)
分解式是惟一的。注意计算系数cn
时,
其中的积分可以在任意一个长度为
T
的区间上进行。采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。5.
Fourier
级数的指数形式一、周期函数的Fourier
级数6.
离散频谱与频谱图212n
nAa
2
+
b2
=
n
，-n得
c0
=
A0
,
|cn
|=|c
|=OAnna-bnnqbnq-n2cn2c-n20=
an
+
jbn
,2-n分析2=
an
-
jbn
,
cn由
c
=
a0
,
c即cn
的模与辐角正好是振幅和相位。narg
cn
=
-arg
c-n
=
θ
, (n
>
0).称|cn
|为振幅谱，称arg
cn
为相位谱；称cn为频谱，记为F
(nω0
)=cn
.定义一、周期函数的Fourier
级数P1856.
离散频谱与频谱图频谱图O将振幅|cn|、相位arg
cn
与频率nω0
的关系画成图形。|
F
(nω0
)|ww
02w
0
3w
04w
0-w
0-2w
0-3w
0-4w
0Oww
0
2w
0
3w
0
4w
0-w
0-4w
0
-3w
0
-2w
0arg
F
(nω0
)一、周期函数的Fourier
级数(1)
当n
=0
时，解0T基频
ω
=
2π
=
1.0TTf
(t
)
d
tT0t
d
t
=
π
.2π12π0=c
=
F
(0)
=
1T/2-T/2Tf
(t
)
d
t
=
1TOt2pfT
(t
)2p解(2)
当n
„0
时,n
0c
=
F
(nω
)
=
1T/2-T/20-
jnω
tTf
(t
)
ed
t
=T-
jnt=2πt
e
d
t
=2π01-
jnt-
2nπ
j2π0t
de1t
e-
jnt
2p
+0-
2nπ
j1=-
jnt2π2nπ
j01nje
d
t
=
.TT0f
(t
)
e-
jnω
t
d
t1T0Ot2pfT
(t
)2p(3)的Fourier
级数为+¥e
.n=-¥n„0jntTjnf
(t
)T解01
|
n|,f
(t
)
=
π
+π,
n
=
0,n
„
0.(4)
振幅谱为
F
(nω
)
=
0,
n
=
0,n
>
0,n
<
0.相位谱为
arg
F
(nω0
)
=
π
2
,-
π
2
,Ot2pfT
(t
)2p(5)
频谱图如下图所示。解1
2OF
(nω0
)π…-2
-1…w1
2-2
-1Oarg
F
(nω0
)wπ/2-
π/2……Ot2pfT
(t
)2p借助Fourier
级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。但是，Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函数，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、非周期函数的傅立叶变换二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(1)
非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。f
(t
)tfT
(t
)tfT
(t
)t-
T/
2T/
2T
fi
+¥f
(t
)
=
lim
fT
(t
)二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(2)当T
fi+¥
时，频率特性发生了什么变化？Fourier
级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，其频谱是以ω0
=2π
T
为间隔离散取值的。当T越来越大时，取值间隔越来越小；当T
趋于无穷时，取值间隔趋向于零，即频谱将连续取值。因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。分析二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(3)当T
fi+¥
时，级数求和发生了什么变化？jnω
tT/2T1T00f
(t
)ed
t]e-
jnω
t-T/2+¥n=-¥T
fi
+¥=
lim
[将间隔
ω0
记为Dω,
节点
nω0
记为
ωn
,并由
T
=
2π
=
2π
得ω0
Dωjnω
tnc
e0+¥=-¥T
fi
+¥
n=
limTT
fi
+¥f
(t
)
=
lim
f
(t
)分析jω
tTnn-
jω
tf
(t
)ed
t]e
Dω2π
Dωfi
0
n=-¥
-p/Dω
f
(t
)
=
1
lim
[p/Dω+¥(C)P187分析则按照积分定义，在一定条件下，(C)
式可写为T,T记
g
(ω)
=[
d
t]ef
(t
)e-
jωt
jωt-p/Dω二、非周期函数的傅立叶变换1.简单分析(3)当T
fi+¥
时，级数求和发生了什么变化？p/DωT
n=
1
lim
g
(ω
)
ω+¥D2π
Dωfi
0
n=-¥f
(t
)f
(t
)
ed
t]e d
ω2πjw
t-
jw
t1[+¥
+¥-¥
-¥=f
(t
)-¥|
f
(t
)|
dt
<
+¥
.(2)绝对可积，即定理设函数f
(t
)满足(1)
在(-¥
,+¥
)上的任一有限区间内满足Dirichlet
条件；+¥二、非周期函数的傅立叶变换2.
Fourier
积分公式2在f
(t
)的间断处，公式的左端应为1
[f
(t
+0)+f
(t
-0)].称(D)式为Fourier
积分公式。定义则在f
(t
)的连续点处，有f
(t
)f
(t
)
ed
t]e d
ω2πjw
t-
jw
t1[+¥
+¥-¥-¥=(D)P187定理8.2(2)
Fourier
逆变换(简称傅氏逆变换)F
(w
).二、非周期函数的傅立叶变换3.
Fourier
变换的定义定义(1)
Fourier
正变换(简称傅氏正变换)F
(ω)
=+¥-¥-jw
tf
(t
)e
d
t
=
[
f
(t
)]+¥-¥2π其中，F
(w
)称为象函数，f
(t
)称为象原函数．f
(t
)与F
(w
)称为傅氏变换对，记为f
(t
)«1jw
tF
(f
(t
)
=w
)e dw
=
-1
[F
(w
)]P188定义8.1注上述变换中的广义积分为柯西主值。二、非周期函数的傅立叶变换称F
(w
)为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；称|
F
(w
)|为振幅谱；称arg
F
(w
)为相位谱。4.
Fourier
变换的物理意义与Fourier
级数的物理意义一样，Fourier变换同样刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。F
(w
)反映的是f
(t
)中各频率分量的分布密度，它一般为复值函数，故可表示为F
(w
)
=|
F
(w
)|
e
j
arg
F
(w
)
.定义P188-
2
j(e-
jaw
-
e
jaw
)2=w=a-a-jw
te d
t
=-a-
jwe-
jw
t
a1(e-
jaw
-
e
jaw
)1-
jw=.sin
aw=
2aaw(1)
F
(w
)
=+¥-¥[
f
(t
)]
=
f
(t
)
e-jw
t
d
t解f
(t
)a-a1OtP188
例8.2aw(2)
振幅谱为F
(w
)=2a
sin
awa(2n
+
2)π<
|
w
|
<a(2n
+
1)ππ,0,相位谱为arg
F
(w
)=2nπ
£
|
w
|
£
(2n
+
1)πaa解|
F
(w
)|2aw
π
O
πa
awarg
F
(w
)ππa
π
Oa主瓣旁瓣(3)
求Fourier
逆变换，即可得到的Fourier
积分表达式。解+¥-¥=cosw
t
dw
+w1 2sin
aw2π+¥-¥sinw
t
dwwj
2sin
aw2π+¥-¥=w1πsin
aw
cos
w
t
d
w
=
1
2,
=
a,
1, |
t
|<
a,|
t
|
0, |
t
|>
a.+¥-¥xsin
ax
d
x
=
π
,
(a
>
0).+¥-¥[F
(w
)]
=1 2sin
aw
e
jw
t
dww2π-1f
(t
)
=在上式中令t
=0，可得重要积分公式:注在上式中令t
=0，可得重要积分公式:+¥-¥xsin
ax
d
x
=
π
,
(a
>
0).一般地，有+¥-¥-
π
,
π
,
a
>
0
,a
=
0
,a
<
0
.sin
ax
d
x
=
0
,x特别地，有0sin
x
d
x
=
π
.x
2+¥注+¥=0ed
t-(a
+
jw
)ta
+
jw=1a
2
+
w
2=
a
-
jw
.+¥e-(a
+
jw
)t-(a
+
jw
)=011Of
(t
)t(1)
F
(w
)
=+¥=0e
e d
t-a
t
-jw
t解[
f
(t
)]P190
例8.4解(2)
振幅谱为|
F
(w
)|=;1a
2
+
w
2相位谱为arg
F
(w
)=-arctan(w
/a
).|
F
(w
)
|w1/aOwarg
F
(w
)p
/2-
p
/2O-¥2π
+¥
1F
(w
)e
jw
t
dw
=-ww
0
e
jw
t
dw02ππtsin
w
0
t==
π
0w
tw
0
sin
w
0
t
f
(t
)
==
1解-1
[F
(w
)]w
002π
jt1e
jw
t-w=2
jπte
jw
0
t
-
e-
jw
0
t1=1OF
(w
)ww
0-w
0w
0
=
S
(w
t
)
.π
a
0(?)(关于抽样信号)P189
例8.3¥-¥[F
(w
)]
=2e
jw
t
d
wjw2π1f
(t
)
=解-1¥-¥¥-¥d
w
+=1 cos
w
t
d
wjw1jwj
sin
w
tππ¥-¥=w1
sin
w
tπd
w
=
0
,
1,
t
>
0
t
=
0-
1,
t
<
0f
(t
)t-112
.jwsgn
t
‹
fisgn
t
.
记为轻松一下……附：历史回顾——Fourier级数1807
年12月12日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier
宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由任意图形定义的任何函数
都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称3L)审阅后，认为其推导极不严密，被拒(锯)收。1811
年，Fourier
将修改好的论文：《关于热传导问题的研究》提交给法国科学院。经过评审小组(3L)审阅后，认为其新颖、实用，从而于1812
年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被《论文汇编》拒(锯)收。附：历史回顾——Fourier级数1822
年，Fourier
经过十年的努力，终于出版了专著：《热的解析理论》这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论
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