两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)含答案

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (二)明目标、知重点1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．1．两角和与差的正切公式(1)T(α＋β：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ(2)T(α－β)：tan(α－β)＝ .1＋tanαtanβ2．两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanα＋tanβtanαtanβ＝1－tanα＋β.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanα－tanβtanαtanβ＝tanα－β－1.[情境导学]某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处．小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度．解设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，30则sinα＝67.在Rt△ABD中，x＋30tan(45＋°α)＝ 30 tanα，于是x＝30tan45°＋α－30.tanα30如何能由sinα＝67求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sinα把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式．【来源：】探究点一两角和与差的正切公式的推导思考1你能根据同角三角函数基本关系式tanα＝sinαcos，从两角和与差的正弦、余弦公式α出发，推导出用任意角 α，β的正切值表示 tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．sinα＋β sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ当cosαcosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tanα＋tanβtan(α＋β)＝.1－tanαtanβ根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得tanα＋tan－βtanα－tanβtan(α－β)＝＝.1－tanαtan－β1＋tanαtanβ思考2在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？答在公式Tαβ，Tαβ中α，β，α±β都不能等于kπ＋π2(k∈Z)．＋－探究点二两角和与差的正切公式的变形公式思考两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)，tanα＋tanβtanα－tanβ＝－1.tanαtanβ＝1－tanα＋βtanα－β这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的． 请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习．练习：直接写出下列式子的结果：tan12＋°tan33°；(1)1－tan12tan°33＝°(2)tan75＝°；1－tan15°.(3)1＋tan15＝°3答案 (1)1 (2)2＋ 3 (3)例1 求下列各式的值：3＋tan15 °(1) ；1－ 3tan15 °(2)tan15＋°tan30＋°tan15tan°30.°解(1)原式＝tan60＋°tan15°°＋15°)1－tan60tan°15＝tan(60°tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30＋°tan45°1－tan30tan°45°3＋1＝3＝2＋3.1－33tan15＋°tan30°(2)∵tan45＝°＝1，1－tan15tan°30°tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1.反思与感悟

公式

T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，

公式中有

tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或

tan(α－β))三者知二可表示出第三个．

21·世纪*跟踪训练

1

求下列各式的值：cos75－°sin75 °(1) ；cos75＋°sin75 °(2)tan36＋°tan84－°3tan36tan°84.°1－tan75 °tan45－°tan75 °解 (1)原式＝ ＝1＋tan75 °1＋tan45tan°75 °＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝tan120(1°－tan36tan°84)°－3tan36tan°84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－3tan36°tan84°＝tan120°＝－3.例2 若α，β均为钝角，且 (1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β的值．解 ∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，tanα＋tanβ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.1－tanαtanβπ∵α，β∈ ，π，∴α＋β∈(π，2π)．27π∴α＋β＝4.反思与感悟此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．2-1-c-n-j-y跟踪训练2已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－ππππ2<α<，－<β<，求角222α＋β.21*cnjy*com解tanα＋tanβ＝－33，由已知得tanα·tanβ＝4，ππ∴tanα、tanβ均为负，∴－<α<0，－<β<0.22∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ＝－33＝3.1－tanαtanβ1－42π∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－3.例3已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．【出处：21教育名师】解∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，tanA＋tanB3∴1－tanAtanB＝－3，3∴tan(A＋B)＝－3.又∵0<A＋B<π，∴A＋B＝5ππ，∴C＝，663∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝3，∴tanB＋3＋tanB＝3，tanB＝3，33π2π∴B＝6，∴A＝3，∴△ABC为等腰钝角三角形．反思与感悟三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．21·cn·jy·com跟踪训练3已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.【版权所有：21教育】证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.tan(A＋B)＝tanA＋tanB＝－tanC.1－tanAtanBtanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC.即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.π＝3，则tanα的值为()1．若tan(－α)411A．－2B．－2C.2D．2答案Btanα＝tanππ解析4－4－απ1－tan4－α1－31＝＝＝－.π1＋321＋tan－α42．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为( )A．1

B．2 C．－2 D．不确定答案 B解析 (1＋tanA)·(1＋tanB)1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.153．已知A，B都是锐角，且tanA＝3，sinB＝5，则A＋B＝.答案π4解析∵B为锐角，sinB＝5，5cosB＝255，∴tanB＝12，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB＝1＋132＝1.1－tanAtanB111－×23π∵0<A＋B<π，∴A＋B＝.44．已知tanα－β＝1，tanβ－α＝－1，则tanα＋β＝.22232答案17α＋ββα解析tan2＝tanα－2＋β－2tanα－β＋tanβ－α＝221－tanα－βtanβ－α221＋－1123＝1×－＝.1－1723[呈重点、现规律]1．公式T(α±β)的适用范围及结构特征和符号规律π(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋2(k∈Z)．(2)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．www-2-1-cnjy-com(3)符号变化规律可简记为 “分子同，分母反 ”．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．π1，tanππ3等．如tan＝＝3，tan＝4633要特别注意π1＋tanαπ1－tanαtan＋α＝，tan－α＝.41－tanα41＋tanα3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．一、基础过关π3π1．已知α∈，π，sinα＝5，则tanα＋4的值等于()211A.7B．7C．－7D．－7答案A3，tanβ－π＝1，那么tanα＋π等于()2．已知tan(α＋β)＝5444131318B.231C.23D.6答案C3－1解析tanα＋π＝tanα＋β－β－π＝54＝7.441＋3×123543．已知tanα＝11π3π2，tanβ＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是()322π3π5π7πA.4B.4C.4D.4答案C4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()【来源：21cnj*y.co*m】A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．无法确定答案A51解析∵tanA＋tanB＝3，tanA·tanB＝3，tan(A＋B)＝5，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－5，22∴C为钝角．1＋tan75°.＝5.1－tan75°答案－36．已知tanπ1的值为．＋α＝2，则242sinαcosα＋cosα答案23解析∵tanπ1＋tanα1＋α＝2，∴＝2，解得tanα＝.41－tanα3122α∴＝sinα＋cos22α2sinαcosα＋cosα2sinαcosα＋cos21＋12＝tanα＋19＝＝.2tanα＋1233＋17．求值：(1－tan59)(1°－tan76)．°解原式＝1－tan59－°tan76＋°tan59tan°76°1－(tan59＋°tan76°)＋tan59°tan76°1－tan135°(1－tan59°tan76°)＋tan59°tan76°1＋1－tan59°tan76＋°tan59°tan76＝°2.二、能力提升8．化简tan10tan°20＋°tan20tan°60＋°tan60tan°10的°值等于()A．1B．2C．tan10°D.3tan20°答案A解析原式＝tan10tan°20°＋3tan20°＋3tan10°＝3(tan10＋°tan20°＋33tan10tan°20)°3×3＝1.39．设θ为第二象限角，若tanθ＋π＝1，则sinθ＋cosθ＝.42答案－105解析因为tanθ＋π＝tanθ＋1＝1，41－tanθ2所以tanθ＝－1，3因为θ为第二象限角，所以cosθ＝－12＝－310，1＋tanθ1010sinθ＝1－cosθ＝10，则sinθ＋cosθ＝10－310＝－10.51010cosα－sinα10．已知α、β均为锐角，且 tanβ＝ ，则tan(α＋β)＝ .cosα＋sinα答案 1cosα－sinα1－tan解析 ∵tanβ＝ ＝cosα＋sinα1＋tantanβ＋tanαtanβ＝1－tanα.tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1.tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.tanα＋tanβ＝1，∴tan(α＋β)＝1.1－tanαtanβ

α.α11．在△ABC中，求证：ABBCCAtan2tan2＋tan2tan2＋tan2tan2＝1.证明∵A＋B＋C＝180°，∴A＋B＋C＝90°.222∴A＋B＝90°－C.22A＋BC1C.∴tan2＝tan90°－2＝tan2A＋BC∴tan2·tan2＝1.ABCtan2＋tantan22＝1，∴AB1－tan2tan2∴t