2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（3月份）含答案解析版

2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（3月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）（2022•周至县三模）设全集U={0,1,2,3,4,5},A={\,3},B={2,4},

则（d）C（*）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,5}

2.（5分）（2022•昆明一模）复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则彳4=（）

A.2+zB.2—IC.—2+iD.—2—i

3.（5分）（2022•昆明一模）已知不均为单位向量，若|G-月|=百，则N与囚的夹角为（

）

A.-B.-C.-D.—

6323

4.（5分）（2022•昆明一模）若ae（0,g,sin2a=1+cos2a,则cosa=（）

A.-B.—C.—D.1

222

22

5.（5分）（2022•昆明一模）已知双曲线E:*■-方=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为耳、

6，点"在y轴上，△岫乙为正三角形，若线段Mg的中点恰好在双曲线的渐近线上，

则E的离心率为（）

A.41B.6C.2D.5/5

6.（5分）（2022•昆明一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何

体的三视图，则该几何体的体积等于（）

七%七-----------------

.14乃__10"〃7）

A.---B.---C.——D.红

3333

第1页（共27页）

7.（5分）（2022•昆明一模）在ZU8C中，AB=3,AC=2,cosNA4C=！，点。在5c边

3

上且8。=1,则A4CD的面积为（）

.73272„2V3口4贬

A.——nB.----C.---D.----

3333

8.（5分）（2022•昆明一模）3月5日学雷锋活动日，某班安排5名同学（其中2人具有文

艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每个活

动至少安排1人，每人安排1个活动.若文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的

安排方案有（）

A.240种B.78种C.72种D.6种

22

9.（5分）（2022•昆明一模）已知椭圆〃:3+匕=1（“>0）,过焦点厂的直线/与A/交于

a2

A,B两点、,坐标原点。在以/斤为直径的圆上，若|/E|=2|8F|,则〃的方程为（）

.x2y2x2j2x2y2x2y2

32425262

10.（5分）（2022•昆明一模）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、

“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（8点为看台底部）由近及远沿直线依

次竖直摆放，分别记五块标语牌为P2Q2.....且BQ=16米.为使距地面6

米高的看台第一排/点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则82=（）

BQiQ2Q3QAQ5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

11.（5分）（2022•昆明一模）函数f（x）=xe*-2_%_/女的零点个数为（）

A.3B.2C.1D.0

12.（5分）（2022•昆明一模）已知函数/（x）=sin3x+costyx®〉0）在区间［工,巴］单调递增,

64

下面三个结论：

①①的取值范围为（0,1］;

②/（X）在区间［工，刍可能有1个零点；

64

③存在CO,使/（X+y）=f（x）.

第2页（共27页）

其中正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.（5分）（2022•昆明一模）写出一个定义域为（0,+oo）且值域为R的函数/（x）=—.

14.（5分）（2022•昆明一模）四面体Z8CA中，4D，平面48C,AB=l,AC=2,AD=3,

ZBAC=90°.若Z,B,C,。四点都在同一个球面上，则该球面面积等于.

15.（5分）（2022•昆明一模）长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品

及特种纺织品的重要原料.新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，

产量占全国长绒棉总产量的95%以上.新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，

选取甲、乙两地实验田进行种植.在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随

机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2x2列联表（单位：份），其

中,40且aeM.

注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指

标之一.根据现行国家标准规定，马克隆值可分为4,B,C三个级别，/级品质最好，B

级为标准级，C级品质最差.

Z级或8级C级合计

甲地a50-a50

乙地80-aci—3050

合计8020100

当a=时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则%的最小值

为一.

2

1«4“2n（ad-bc）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.（5分）（2022•昆明一模）如图，正方形纸片的边长为5CM,在纸片上作正方形

MG”,剪去阴影部分，再分别沿EFG”的四边将剩余部分折起.若4,B,C,。四点

恰好能重合于点P,得到正四棱锥尸-EFG4,则尸-EFG”体积的最大值为—cm3.

第3页（共27页）

D

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）（2022•昆明一模）已知数列｛a,J满足q=1,<2n+l+―'—=1.

3%+1

（1）设6“=_L,证明：｛a｝是等差数列；

a„

（2）设数列的前“项和为S”，求S”.

18.（12分）（2022•昆明一模）如图1,在A4B4中，点"，。是4幺的三等分

点，点G，C是48的三等分点.分别沿AG和。C将△4。。和△40G翻折，使平面

4G4〃平面ABCD，且DD,1平面ABCD,得到几何体ABCD-4GA，作DE•!CC1于E,

连接/E,4。，如图2.

（1）证明：图2中，AE1CC,；

7

r求直线处与平面曲所成角的正弦值•

图2

19.（12分）（2022•昆明一模）《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议（COP15）第二

第4页（共27页）

阶段将于2022年4月在昆明召开，组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行有关专业

知识及技能测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中

随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加测试，

在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为2,且甲、乙两人各题是否答对

3

相互独立.

（1）分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；

（2）记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

20.（12分）（2022•昆明一模）已知抛物线":/=2陟（p>0）的焦点为尸，点T（l,4在E上.

（1）求|7用；

（2）。为坐标原点，E上两点/、8处的切线交于点P,P在直线>=-2上，P4、PB分

别交x轴于用、N两点，记AO48和的面积分别为岳和S2.试探究：色是否为定

$2

值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

2

21.（12分）（2022•昆明一模）已知函数/（x）=l-竺awO.

e'

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）当x>0,a>0时，e\f（x）^bx,证明：如《卷.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考

题区域内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4一4：坐标系与参

数方程］（10分）

22.（10分）（2022♦昆明一模）在平面直角坐标系屹y中，圆G的方程为公+y2K2&>（））,

3

x=—cos9,

曲线G的参数方程为《；3"为参数），已知圆G与曲线C2相切，以。为极点，X

y=5+—sin^o

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求尸和曲线G的极坐标方程；

（2）已知在极坐标系中，圆G与极轴的交点为£）,射线0=a（O<a<?r）与曲线q、CJ分

别相交于点4、B（异于极点），求A48。面积的最大值.

［选修4—5：不等式选讲|（10分）

第5页（共27页）

23.（2022•昆明一模）已知函数f（x）=|x-l|-|x+l|.

（1）解不等式/（x）＞l；

（2）若|》-加|品。），求实数用的取值范围.

第6页（共27页）

2022年云南省昆明市高考数学三诊一模试卷（理科）（3月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）（2022•周至县三模）设全集U={0,1,2,3,4,5},J={1,3},8={2,4},

则（/）「（/）=（）

A.{0,5}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{0,1,2,5}

【考点】交、并、补集的混合运算

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算

【分析】先求出“、8的补集，然后进行交集运算即可.

【解答】解：•.•全集。={0,I,2,3,4,5},A={\,3},8={2,4},

=2,4,5},。，8={0,1,3,5},

*={0,5},

故选：A.

【点评】本题主要考查了交集、补集的运算，属于基础题.

2.（5分）（2022•昆明一模）复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,则彳.，=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.—2—i

【考点】复数的运算

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算

【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共粗复数的定义，即可求解.

【解答】解：•••复数z在复平面内对应的点的坐标为（-1,2）,

z=—1+2i,

z=-l-2z,

z,i=（―1—2z）z=2—z.

故选：B.

【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及共粗复数的定义，属于基础题.

3.（5分）（2022•昆明一模）已知Z,月均为单位向量，若-月|=6，则石与石的夹角为（

)

第7页（共27页）

A.-B.-C.-D.—

6323

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角

【专题】计算题；转化思想；演绎法；平面向量及应用；数学运算

【分析】根据数量积与模长的关系有5-4=3,展开得|歼-2m|B|cosO+|W=3,代入

数据求解.

【解答】解:因为|。-否|=行，所以仅一司2=3,gpa2-2a-b+b2=3,

设n与b的夹角为。，贝力开一2问防|COS6+|H=3,

代入|5|=|6|=1（得COS0=—y,9=.

故选：D.

【点评】本题考查数量积与模长、夹角的关系，属于基础题.

4.（5分）（2022•昆明一模）若ae（0,g,sin2a=l+cos2a,则cosa=（）

.1V2„73.

A.—Bn•—C.—nD.1

222

【考点】二倍角的三角函数

【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算

【分析】由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tana=1,结

合a的范围可求a=C,进而利用特殊角的三角函数值即可求解.

4

【解答】解：因为sin2a=1+cos2a,

所以2sinacosa=2cos2a,

又a£（0,5）,可得cosa>0,

所以sina=cosa,即tana=1,可得a=工，

4

则cosa=cos—=♦

42

故选：B.

【点评】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在三角函

数化简求值中的应用，属于基础题.

Y22

5.（5分）（2022•昆明一模）已知双曲线E:丁-V*=力〉0）的左、右焦点分别为片、

第8页（共27页）

5，点M在y轴上，△岫月为正三角形，若线段的中点恰好在双曲线的渐近线上，

则£的离心率为（）

A.V2B.A/3C.2D.y[5

【考点】双曲线的性质

【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

【分析】根据N在双曲线的渐近线上列方程，进而求得离心率.

【解答】解：不妨设用在y轴的正半轴，设r>0,

由于△上用名为正三角形，所以f=J5c,故〃（0,J3c）,

设加区的中点为N由于E（c,O）,所以N（],亭），

N在渐近线夕=gx上，

所以反=*二空瓜e=±=、匹写=2.

2alaaVa

故选：C.

【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题.

6.（5分）（2022•昆明一模）如图，网格纸上小正方形的边长为I,粗实线画出的是某几何

【考点】由三视图求面积、体积

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出圆台的体积.

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为1和2,高为2

的圆台：

第9页（共27页）

如图所示:

^r=1x(^--22+^2-22.l2+^12)X2=—.

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式,

主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

7.（5分）（2022•昆明一模）在&48c中，AB=3,AC=2,cosN84C=l,点。在5c边

3

上且3。=1,则A4CD的面积为（）

Ab272「2^n4夜

A.——RB.----C.---D.----

3333

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算

【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算

【分析】利用S=L/8ZC-sinN氏4C,求得A43C的面积，再由余弦定理求出3C的长，

2

2

从而知$9=丁”，得解•

【解答】解：因为cos/8/C=g,且N8ZCe（0,开），

所以sinABAC=y!\-cos2ABAC=述，

3

所以2MBe的面积S=lN8./C-sinN8/C=Lx3x2x^=2^,

223

由余弦定理知，8c2=/炉+/。2-2/5-ZCCOSZB/C=9+4-2X3X2X』=9,

3

所以8c=3,

因为8。=1,所以CO=8C-8O=2,

第10页（共27页）

所以AACD的面积S'=2$=—x2-72=4也.

333

故选：D.

【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于基础题.

8.（5分）（2022•昆明一模）3月5日学雷锋活动日，某班安排5名同学（其中2人具有文

艺特长）到敬老院参与文艺表演、疫情防控宣传、卫生大扫除、交流谈心四项活动，每个活

动至少安排1人，每人安排1个活动.若文艺表演只能安排具有文艺特长的同学，则不同的

安排方案有（）

A.240种B.78种C.72种D.6种

【考点】排列、组合及简单计数问题

【专题】计算题；整体思想；综合法；排列组合；数学运算

【分析】5名同学参加4项活动，则有一项活动有两人，根据情况分类讨论.

【解答】解：分两种情况，（1）若文艺表演有2人，则有彳=6种，

（2）若文艺表演有1人，则其他某项活动有2人，共C；=72种,

综上，不同的安排方案有6+72=78种，

故选：B.

【点评】本题考查了排列组合的知识，属于基础题.

9.（5分）（2022•昆明一模）已知椭圆工■+乙=1（〃>0）,过焦点尸的直线/与/W交于

a2

A,8两点，坐标原点O在以力尸为直径的圆上，若［4/|=2|3尸则M的方程为（）

AX2X2,y2厂工2y2nX2y2

A.F--=1B.---1-J—=1C.F--=1D.F--=1

32425262

【考点】椭圆的性质

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算

【分析】可设F（-c,0）,由已知可得点/为椭圆/短轴的端点，设A（0,6），由|4F|=21昉|

可得点B的坐标，代入椭圆方程中，结合d=/一2,即可求解。的值，从而可得M的方程.

【解答】解：由题意可设厂（-c,0）,

因为坐标原点。在以力广为直径的圆上，

所以。4_1_。尸，可得点N为椭圆M短轴的端点，

第11页（共27页）

设/（0,a）,因为|/用=2|8/|,

所以8（音，_字,

代入椭圆M方程中可得丝+1=1,即/=3°2,

4a4

又°2=/_2,

所以/=3（/一2）,解得/=3,

所以椭圆M的方程为—+^-=1.

32

故选：A.

【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

10.（5分）（2022•昆明一模）如图所示,在某体育场上,写有专用字体“一”、“起”、“向”、

“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（8点为看台底部）由近及远沿直线依

次竖直摆放，分别记五块标语牌为62，P2Q2.....P&,且BQ=16米.为使距地面6

米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ,=（）

=--------

....二二三咨E与岑之三二卒二三三三…4—二二二二——二生

BQiQ?Q3<?4。5

A.40.5米B.54米C.81米D.121.5米

【考点】解三角形

【专题】计算题；整体思想：综合法；解三角形：数学运算

【分析】利用比例求得正确答案.

【解答】解：依题意&=二一,。0=8,

16QQ”修

」一=二一,0,0=12,

16+8

——-一•=二一,。3。4=18，

16+8+12QQ

-----------=二一,。4。5=27，

16+8+12+18a。」

所以畋=16+8+12+18+27=81米，

故选：C.

【点评】本题考查了距离的测量问题，递推可得结果，属于基础题.

第12页（共27页）

11.(5分)(2022•昆明一模)函数_/'(、)=疵1-》_加•的零点个数为()

A.3B.2C.1D.0

【考点】函数的零点与方程根的关系

【专题】综合题；函数思想；换元法；函数的性质及应用；逻辑推理

【分析】将函数化为/*)="3、-2一("X+X)的形式，然后令t=/〃x+x,进而研究函数

y=e'~2-t,feR的零点个数即可.

【解答】解：由己知得f(x)=/""I一(/〃*+x),

令t=htx+x,由x>0得feH,易知函数f=/〃x+x在R上单调递增，

故原函数零点的个数即为函数g")=eT一.，/仁R的零点个数，

2

g'(t)=e'--I,由g，⑴=0得f=2,且f<2时，g'(t)<0,/>2时，g'(t)>0,

故g«)在(YO,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，

故g(f)MM=g(2)=-1<0,而g(0)=4>0,g(4)=/-4>0,

e

所以g(。在(-00,2)和(2,+8)上各有一个零点，故g(f)有两个零点，即原函数有两个零点.

故选：B.

【点评】本题考查函数零点个数判断方法与函数思想的应用，属于中档题.

12.(5分)(2022•昆明一模)已知函数/a)=sinox+cos0x(0>O)在区间［三,与单调递增，

64

下面三个结论：

①3的取值范围为(0,1］；

②/(X)在区间［生，。可能有1个零点：

64

③存在0,使/(x+|o=/(x).

其中正确结论的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【考点】命题的真假判断与应用；两角和与差的三角函数

【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算

【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断.

【解答】解：因为/(x)=sin0x+costyx=V^sin(<wx+&)在区间［工白单调递增，

464

第13页(共27页)

71(f)乃、…71

——十一224乃——

642

所以J.

—+-^lk7T+-

442

解得12左一4.5忘小8A'+1,keZ,

因为。＞0,12左-4.5W8Z+1,k&Z,

所以4=0或A=l,

所以0＜小1或g9,①错误；

2

②当0＜小1时，-＜(ox+-^-,/(x)w0,即此时函数没有零点，

442

当三WoW9时，y^WX+^y,此时/(x)=0有一个零点，

综上〃x)=0有一个零点，②正确；

③存在＜y=8时，T=?，此时/(工+9=〃工)成立，③正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查了辅助角公式，正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.(5分)(2022•昆明一模)写出一个定义域为(0,+＜»)且值域为R的函数/(x)=_Inx_.

【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算

【分析】根据已知条件，写出一个符合题意的函数解析式，即可求解.

【解答】解：•・•/(x)=〃优的定义域为(0,+oo),值域为R,

/(x)=Inx符合题意.

故答案为：Inx.

【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题.

14.(5分)(2022•昆明一模)四面体N8CZ)中，ZO-L平面N8C,AB=\,AC=2,AD=3,

ZBAC=90°.若4,B,C,。四点都在同一个球面上，则该球面面积等于_14万_.

【考点】球的体积和表面积

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算

【分析】首先利用三棱锥和球的关系求出球的球心，进一步求出球的半径，最后确定球的表

面积.

【解答】解：四面体48C。中，平面/1BC,若A,B,C,。四点都在同一个球面

第14页(共27页)

上，

如图所示:

设点E为8c的中点，由于48=1,AC=2,AD=3,/比iC=90。，点。为外接球的球心,

OC为外接球的半径，

故8C=JV+22=6,

OE=-AD=~,

22

所以"［（|）2+（争/呼,

故S球=4,万,r=14万.

故答案为：14%.

【点评】本题考查的知识要点：三棱锥和外接球的关系，球的半径的求法，球的表面积，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

15.（5分）（2022•昆明一模）长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品

及特种纺织品的重要原料.新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地,

产量占全国长绒棉总产量的95%以上.新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，

选取甲、乙两地实验田进行种植.在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随

机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2x2列联表（单位：份），其

中心40且aeN”.

注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指

标之一.根据现行国家标准规定，马克隆值可分为力，B,C三个级别，/级品质最好，B

级为标准级，C级品质最差.

第15页（共27页）

A级或5级C级合计

甲地a50-a50

乙地80-a。一3050

合计802010()

当。=小时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则为的最小值

为46.

隔.n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K、k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考点】独立性检验

【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计；数学运算；数据分析

【分析】根据列联表中数据计算K"结合题意令片>6.635求出旬的最小值.

【解答】解：根据列联表中数据，计算长2=10°><[“.-30)-(8()—")(5()-0)]2=仅-40)2,

50x50x80x204

令("40)>6.635,解得a>40+216.635,或a<40-246.635；

4

因为心40且aeN*,且2.5<J6.635<3,所以。的最小值为46,

即a0的最小值为46.

故答案为：46.

【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

16.(5分)(2022•昆明一模)如图，正方形纸片的边长为5cm,在纸片上作正方形

EFGH,剪去阴影部分，再分别沿EFG”的四边将剩余部分折起.若4,B,C,。四点

恰好能重合于点P,得到正四棱锥P-EFGH,则尸-EFG，体积的最大值为一生叵

3

cm3.

第16页(共27页)

D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】计算题：方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运

算

【分析】设正方形的边长为2x,分析可得0<x<述，求出正四棱锥P-EFG”的

4

体积关于x的函数关系式，结合导数法可求得正四棱锥P-EFG”体积的最大值.

【解答】解：设正方形488的中心为点。，则点。也为正方形EFG”的中心，

连接4F,连接4c分别交FG于点M、N,易知A/、N分别为EH、尸G的中点，

_1c

22

•.•0、M分别为HF、HE的中点，则=则4A/=NO-0M=述-x,

22

56万

由题意可得力"一"X,可得0<》<二七，

4

x>0

如下图所示，在正四棱锥P-E尸GH中，PO±EFGH,OMu平面EFGH,PO1OM,

因为尸加=述-工，OM=x,则PO=/PM?_0"=庐_5缶,

2V2

VP-EFGH=g尸°,SEFGH=1X^^-5^2X-4/=/gx"—5母X，，

第17页（共27页）

令/（幻=1/_5历5,其中0cxe手，

则/（*）=50--25右4=25/（2-瓜）,列表如下:

（在半）

X(0.72)X=V2

4

广（X）+0-

/（X）增极大值减

所以，/（幻3=/（0）=10，

因此，尸-《尸6，体积的最大值为生叵。病.

3

故答案为：生叵.

3

【点评】本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养，立体几何中的最值问题等知

识，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）（2022•昆明一模）已知数列｛/｝满足q=1，a„+l+—=1.

3«„+1

（1）设"=_L,证明：｛”,｝是等差数列；

（2）设数例J｛亍J的前〃项和为母，求S,,•

【考点】数列的求和；等差数列的性质

【专题】综合题；整体思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算

【分析】（1）先根据递推关系式计算出则6角的表达式，然后根据等差数列的定义法计算出

第18页（共27页）

的结果，即可证明结论成立;

（2）先根据第（1）题的结果计算出等差数列｛"｝的通项公式，进一步计算出数列｛〃“｝的通

项公式，再计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前〃项和

+p,可得%1

【解答】（1）证明：依题意，由区

氏+1

1

1——

+1%+1

11

「•4+1一”-=—+1---=1,

.•・数列也J是以1为公差的等差数列.

（2）解：由（1）,可知4=」-=3,

%

故=3+(〃—1)x1=〃+2,

]

—=n+2f即〃“=

4〃+2

.工),

nn(n+2)2nn+2

,S'=—..+%

M12n

"L1J1、1J1、l11.1,11、

=-(l--)+-(--T)+-(--T)+••*+-(z―--一—)+-(-----)

232242352n-\n+\2nn+2

111111111

—।-------------1-------------F…-I------------------------1-----------------)

32435n-1n+1n〃+2

1

=1(11—•)

2+2n+1〃+2

1

)

TIA?〃+2

32〃+3

42(〃+1)(〃+2)

【点评】本题主要考查等差数列的判别，数列求通项公式，以及数列求和问题.考查了整体

思想，转化与化归思想，定义法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档

题.

18.（12分）（2022•昆明一模）如图1,在A484中，点已，。是4力的三等分

点，点G，c是48的三等分点.分别沿AG和。。将△43C和△4AG翻折，使平面

第19页（共27页）

4cA,平面ABCD，且。2_L平面ABCD，得到几何体ABCD-4Goi，作。E_LCQ于E,

连接AXD,如图2.

（1）证明：图2中，AE1CC,；

⑵在图2中，若若=|,求直线如与平面皿所成角的正弦值.

图1图2

【考点】直线与平面垂直；直线与平面所成的角

【专题】计算题；转化思想：综合法：空间位置关系与距离：空间角；逻辑推理：直观想象;

数学运算

【分析】（1）证明_L4）,ADVCD,推出ZO_L平面，得到4D，CG，结合

DE1CC,,推出CG_L平面即可证明4E_LCG.

（2）以。为原点，DA,DC,。2所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系

D-xyz.求出面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线。4与平面力。£所

成角的正弦值即可.

【解答】（I）证明：因为1■平面48cD,ZOu平面Z8CD,所以。R1/O,

在翻折前，点。，C分别是48的三等分点，所以。C//Z5,

在四边形Z8C。中，ADVAB,所以/O1CA,

因为所以NDJ■平面，又C£u平面,所以/D_LCG，

又因为。EJ_CG，DE[\AD=D,所以CG，平面NCE，由NEu平面ZOE,

第20页（共27页）

所以/EJ.CG.

(2)解：以。为原点，D4,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系D-xyz.

Ar>2

如图，由为=［，不妨设“8=3，AD=2,则4(2,0,2),C,(0,1,2),C(0,2,0),

DAt=(2,0,2),

又由(1)知，平面/OE的一个法向量为乙不=(0,-1,2),设直线与平面ZOE所成

的角为。，

2x2710

则sin0=|cos〈瓯,西〉|=巴丁巴

|即卜ICGI26x55

所以，直线。4与平面NOE所成角的正弦值为乎.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间

想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

19.(12分)(2022•昆明一模)《生物多样性公约》缔约方大会第十五次会议(COP15)第二

阶段将于2022年4月在昆明召开，组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行有关专业

知识及技能测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题6道，规定每次测试都从备选题中

随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加测试，

在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为2,且甲、乙两人各题是否答对

3

相互独立.