学习《初等数学研究》的几点认识

学习《初等数学研究》的几点认识相城区职业高级中学阙俊杰摘要：通过学习《初等数学研究》对中学数学教材中的周期函数、数系的扩展、对数定义作出了进一步的论述。关键词：周期函数；数的概念；对数函数；1问题的提出有的新教师认为中学数学内容浅显，对教材不难理解，忽视运用教育理论知识去研究分析中学数学教材，这种做法对教学工作十分不利。高师课程中设有两门《初等数学研究》课程即《初等代数研究》和《初等几何研究》，有利于在校而又即将踏上工作岗位的高师学生或者任教年数较少的数学教师，对中学数学教材的分析研究。我认为对于即将踏上工作岗位或者任教年数较少的数学教师而言，学习《初等代数研究》和《初等几何研究》有它特殊的意义。我国现代化建设对中学数学教育提出了新的要求。为了适应新的教学要求，中学数学教学思想、教学理论和教材教法都在不断变化发展中。对于有经验的数学教师尚需学习研究其理论和新成果，新教师尤其要正确理解现行教材内容、体系的精神实质，灵活恰当的贯彻到教学工作中去，才能取得良好的教学成果。对于新教师而言，他们虽然经过中学和大学的学习，对于中学数学教材内容中的基础知识有所掌握，并能初步应用。可是作为数学教师，不仅要求对数学内容及体系做到深刻理解、灵活应用，还要求掌握其中的数学思想方法及寓于教材中的教学理论观点和方法。只有这样才能按照教材的教学目的要求、指导思想、学生的年龄特征和认识规律来进行教学；才能充分发挥教材的优点，避免缺点；挖掘教材的有利因素，防止不利因素；才能广泛的调动学生学习的积极性，借以提高教学质量。可见新教师必须学习《初等代数研究》和《初等几何研究》才能有效的结合中学生实际使用中学数学课本这个教学工具。2几点认识2.1关于周期函数在中学教学中，仅在三角函数一节中讲到了周期函数以及最简单的三角函数的周期问题，但也是笼统的提一下，没有具体的理论证明。《初等代数研究》对这部分内容做了比较深入的研讨。中学数学中周期函数是这样定义的：一般地，对于函数f（x）,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。通过学习《初等代数研究》，我们知道其实这个定义包含两层意义：对而且只要对定义域A（A为相应函数的定义域）内的任意x，首先要有x+TA都成立。其次要使与x和对x+T对应的函数值相等，即f（x+T）=f（x）都成立。对于最小正周期，中学教学中是这样定义的：对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。由定义我们可得周期函数不一定有最小正周期。例常数值函数f（x）=C（C为常数）是实数集R上以任意非零实数为周期的周期函数，显然它没有最小正周期。根据周期函数的定义我们还可以知道，如果是f（x）的周期，那么（1）—T也是f（x）的周期，这是因为（2）也是的周期，这是因为。。在中学数学中没有给出简单三角函数的最小正周期的证明，现在我们以正弦函数为例给出相应的证明。证明：的最小周期为。证设是函数的周期，那么对于一切实数都有：成立，于是。若，则，。不是常数，不合题设条件，从而必须，。所以当时，是函数的最小正周期。运用上述证明思路，我们还可以证明的最小正周期是。（中学数学中是用物理知识中的振幅来给出最小正周期的）证：设是函数的周期。那么对于一切实数有，即。。而其中不可能恒为零，所以必有。，。所以当时，是函数的最小正周期。2.2关于数系概念数系这一章是《初等代数研究》的重要内容。关于数系概念的扩展知识，我们基本上是在中学阶段学习的。在学习高等数学课程时，又是假设大家已经系统的掌握了数的概念的扩展，由于中学所学的数的概念的扩展是描述性的，作为新教师来说，仅有这些知识绝对不够用的。《初等代数研究》中数系这一章给我们补上了这重要的一课。数系的扩充，通常采用两种方法：一是添加元素法，即把新元素添加到已建立的数集中去；二是构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的。《初等代数研究》很清楚的告诉我们数系的扩充，使我们对数系有了一个深刻的理解，对今后教学中把握中学数学教材有很大的帮助。首先，他引进了自然数集，自然数集对于加法和乘法运算是封闭的，而对于除法运算确是不封闭的，也就是说在自然数集中，方程并不都是有解的，为了解决这一矛盾，我们引进一种形如的新数（为自然数，且）把自然数集扩充为算数（非负有理数）数集。算数数集对于加法、乘法和除法（除数不能为零）这三个运算都是封闭的，而对于减法运算却不是封闭的。在算数数集中，方程并不都是有解的。为了解决这一矛盾必须引进一种新数，把算数数集加以扩充，根据数集的扩充原则。如果扩充是可能的，那么在新建立的数集里，对于任意两个非有理数方程应该有解，特别的，当为任意非负有理数，时，方程应该有解，这个解用减法来表示就是简记为即有下式成立把符号“”看作一种数，当时，称之为“负数”。这种负数与原有的算数数集构成一个新的数集，叫做有理数集。有理数集对于加法、减法、乘法和除法（除数不为零）四则运算都是封闭的，而对于开方运算却不是封闭的，因此，为了满足开方运算的需要，必须引进新数（也就是无限不循环小数），这种新数与原有的有理数集构成一个新的数集称为实数集。在实数集中，负数不能开偶次方。为了解决这一矛盾必须引进新数（虚数），虚数与原有的实数集构成了一个新的数集称为复数集。我们总结一下数系的扩充（采用了添加元素的方法）数集的每一次扩充都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的范围。但是，数集的每一次扩充也会失去某些性质。例如，从自然数集N扩充到整数集Z之后，对减法具有封闭性，但失去了良序性质，即N中任何非空子集都有最小元素。又如，实数集R扩充到复数集C后，C是代数闭域，即任何代数方程必有根，但是去了R的顺序性，C中元素无大小可言。数集扩充到复数集后能否继续扩充？这个问题的答案是有条件的。如果要求完全满足复数集的全部运算性质，那么任何扩充都是难以成功的。如果放弃某些要求，那么进一步的扩充是可能的，比如放系乘法交换律，复数集C可以扩充为四元数系H。如果再适当改变对乘法结合律的要求，四元数系又可以扩充为八元数系。2．3关于对数概念对数是我们在高一时学习的，高一课本中是这样定义的：一般地，如果的次幂等于，就是，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底，叫做真数。那么我们不禁要问对于任意一个正实数，是否都有唯一的实数存在，使得成立呢？由于高中生的认知结构和所学的知识所限高中课本没有给出证明。《初等代数研究》就很明确的回答了这个问题并且给出了详细的证明。定理：如果是一个不等于1的正实数，那么对于任意给定的正实数，都存在唯一的实数，使得。证明存在性设，可知在的一切值里，有任意大的数，也有任意接近于零的数。设是其中大于的最小数，于是有，若，则存在性已得证。若，则将闭区间分成十等分，可得选取一个数（是0，1，2，，9之间的一个整数），使，若，则存在性已得证。若，则再将闭区间分成十等分，如此下去，或存在性在某一步已得证，或得一个无限小数，它确定一个实数。设这一实数精确到的不足和过剩近似值分别是与则有，但，所以，即为所求的实数，存在性得证。唯一性设，。如果，在时，有，从而，这是不可能的，所以。同理可证，因此，只有，即满足等式的实数是唯一的。再设，则，再按以上的证明方法，可以知道有一个唯一的实数，使=，这时。必须指出，当时，对任意实数，都有，所以当时上述命题不成立。以上的证明我们可以看到高中教材中对对数的定义是正确的，只不过鉴于高中生的认知水平有的地方没有详细说明罢了所以这个对数定义对高中生是非常合适的。3结束语以上是我学习后对于中学数学教材有关函数的周期性、数系以及对数概念提出来一些个人的看法，并不系统和全面，但从中不难看出，学习《初等代数研究》和《初等几何研究》对我们以后研究中学数学教材所涉及的理论问题有一定的指导作用，而中学教学工作是在中学教育系统中，有目的有计划的进行的，中学数学课必须贯彻它的教学目的，并按照中学数学教学大纲规定的内容、进度来进行教学，才能符合中学教学计划的要求。因此，教师要做好中学数学教学工作，必须正确、全面、深刻的理解中学数学课的教学目的和教学内容的依据，而一位新教师要胜任如此复杂、高度艺术的数学教学工作，不仅要努力学习数学专业知识，提高自身的数学