工科数分课件第二章2节简

性质4.1.（唯一性limfx)存在，则极限必唯一xfi性质4.2.（局部有界性dlimfx)存在则fx)在x0的邻域Uox内有界d0xfi性质4.3limfx)Alimgx)B,xfi xfi若A>

0f(x)>g(

时,fxgx),0A‡性质4.4limfx)A,且A0(或Axfi性质

时,fx0(或fx0 x˛Uox时 g(x)£f(x)£h(limg(x)=xfi

limh(x)=xfilimfx存在且等于xfi性质 x˛Uox时 g(x)£f(x)£h(limg(x)=xfi

limh(x)=xfilimfx存在且等于xfi例3

limsinx xfi sinx<x<tano 即cosx<sinx< o x上式对于

2

xp时2220<1-cosx=2sin22x

< <2

=x xfi

= \lim(1-cosx)=xfi\limcosx=

又lim1= \limsinx=xfi

xfi xfi 例1求极限0

=xfi

sin22 =

xfi

sinx2x2

xfi=

limsin2x=limsin2 =xfi

xfi 2limsinkx其中k0xfi limsinx-1)=（因xfi0时,x-1fi0,可 xfi

x-sinx2

xfi

x-

=xfi1

x2-

x+第二个重要极限：m11xexfi 1

1-lim1+ =e=lim1-nfi¥ n nfi¥ n 1[x

1x

1[xxfi+¥:1

£1

£1 [x]+1

x

[x] 1x

1-(-x

1-xfi-¥:1+ =1 =1

,tfi x (-x)

t lim1

1 =1j(x)fi¥ j(x) m1+ttfi

=

1(x))(x =j(x)fi1j(x1j(x)filim1+((x)=1e¥1sin =exfi

x2

=lim1

2

=

1

2

=xfi¥ x

xfi¥ x

xfi¥ x

3 1¥3)lim(xfi

x-2)xx+

=lim(1xfi

x+

)x=limxfi¥

x+

3

x+1注注=lim(1xfi

x+

lim-3xfi

=e-定理4.1（函数极限四则运算性质设limfx)Alimgx)B,lim[f(x)–g(x)]=A–lim[f(x) g(x)]=Alimfx)A 其中Bg( 定理4.2（复合函数的极限设limf(x)= limg(t)=x0xfi tfid且在Uo(t内g(txd则limfgtlimfx)tfi xfi 定理4.3(海涅定理)设函数f(x)定义在U0( 则limfx)Axfi "xn U0xfix limf(xn)=nfi注

limf(x)=xfi>0,$d0,使当0

x-

<时,f(x)-A<又limxnx0xnx0nfi对上述d0,$N0,使当nN时0<xn-x0<从而有f(xn)-A< 故limf(xn)=xfilimfx)Axfi *,存在满足0<|x- x|‡0xn|xnx0xnfix0limf(xn)„nfiy=sinx例4证明limy=sinxxfi 取{x}=1nlimxn=nfi

xn 取

4n+ p

x¢=nfi

n 而limsin1limsinnpnfi nfi而limsin1=limsin4n+1p=lim1= nfi

nfi

定理4.4 收敛定理)函数f(x)定义在U0( 则mfx)A的充分必要条件是：0,$ xfi对x1x20<|x1x0|<0<|x2x0<,fx1fx2 limf(x)=xfi

x-

<时 f(x)-A|<e2特别：取0<|xi-x0|<,i= f(

)-f(x2)

f(

)-A

f(

)-

e+e=.< <任取{xn},满足 xn=x0 (xn„x0nfi对d>0,$N˛N* 当m,n>N时0<xn-

<

0<|xm-x0|fxnfxm|<efxn)}是Cauchy列limfxnlx存在.nfi¥同理存在limfynlynfi将x1y1x2y2xnyn,组成{znlimzn=x0