高考数(理)命题热点全覆盖专题08+含参数的导数问题解题规律

PAGE6专题08含参数的导数问题解题规律一．知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝________；⑤(eq\r(x))′＝________．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．（解法二）由得设，则，由于单调递减且，所以时单调递增，时单调递减方程在上有且只有一个解等价于。故．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（二）构造函数例2．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.所以，故．练习1.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知存在两个极值点，，令，若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.【详解】（1）.（ⅰ）当，即时，，在上单调递减；（ⅱ）当，即或时，令，得或.①当时，在上，单调递增；在上，单调递减.②当时，在和上，单调递减；在上，单调递增.（2），则，由（1）可知，，，且.则，从而.令，，则.因为，所以，所以在上单调递减，则，即.因为，，即，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．（四）多变量问题例4．已知函数（），（）（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）【答案】(1)单调递增区间为，的单调递减区间为（2）见解析（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先求得（），可得，又可证明在定义域内递增，即可证明是g(x)的唯一极小值点；（Ⅲ）令两函数的值域有交集即可.试题解析：：（Ⅰ）因为令，得因为，所以当变化时，，的变化情况如下：极大值故的单调递增区间为，的单调递减区间为当变化时，，的变化情况如下：1极小值故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点.（Ⅲ）（五）与三角函数有关的函数问题例5．已知函数（）.(1)若，求函数的极大值；(2)若时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，对其求导，判断导数与0的关系，故而可得其极值；（2）对求导，，当时，函数单调递增，不等式成立；当时，对其进行二次求导，可得恒成立，单调递增，结合零点存在定理可得有唯一零点，进而可得当时，单调递减，且，即不恒成立；试题解析：（1）时，，当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，所以，当时，取得极大值，.（2）当，即时，，所以单调递增，所以；当时，，所以单调递增，，，所以有唯一零点，记为，当时，，单调递减，且，即不恒成立；综上所述，的取值范围是.练习1.已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求的值(2)求函数在值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线的方程可得的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数在值域.试题解析：（1）为），又，解得.（2）由（1）知，，函数在上递增，，，函数在上的值域为.（六）构造函数求参数例6．设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）设，对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）无极大值；（2）.【解析】(1)当时，，定义域为，，结合函数的单调性可得，函数没有极大值.(2)由已知，构造函数，则在上单调递减，分类讨论可得：①当时，.②当时，，综上，由①②得：.（1）当时，，定义域为，，当时，单调递减，当时，单调递增，的递减区间是，递增区间是.无极大值.（2）由已知，设，则在上单调递减，①当时，，所以，整理：设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是.②当时，，所以，整理：设，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以最大值是，综上，由①②得：.练习1.已知函数在处的切线斜率为.（1）若函数在上单调，求实数的最大值；（2）当时，若存在不等的使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)先根据切线的斜率求出，再根据函数单调，得到恒成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的，且使得，进而得到k＞0.【详解】（1）函数在处的切线斜率为解得.所以，故因为函数在上单调故或在上恒成立.显然即在上不恒成立.所以恒成立即可.因为可知在上单减，单增故，所以实数的最大值为1.（2）当时，由（1）知函数在上单调递增不妨设，使得即为存在不等的，且使得.其否定为：任意，都有即：函数在上单调递增.由（1）知：即所以若存在不等的使得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（七）讨论参数求参数例7．已知函数，（为自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（3）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，，根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数进行单调性的研究，分，，,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。（3）原不等式等价于恒成立，对右侧函数研究单调性得最值即可。解析：（Ⅰ）当时，.，.所以函数在点处的切线方程为.因为，所以，所以，所以取，显然且所以，.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当时，由，得，或.当，则.当变化时，，变化情况如下表：注意到，所以函数至多有一个零点，不符合题意.当，则，在单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意.若，则.当变化时，，变化情况如下表：注意到当，时，，，所以函数至多有一个零点，不符合题意.综上，的取值范围是.（Ⅲ）当时，，即,令，则令，则当时，，单调递减；当时，，单调递增又，，所以，当时，，即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增，所以，所以．点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论的能力，属于较难的题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1.设函数，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；（Ⅱ）记求两次导得在递增，又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（Ⅰ）令，由∴在递减，在递增，∴∴即成立．（Ⅱ）记，∴在恒成立，，∵，∴在递增，又，∴①当时，成立，即在递增，则，即成立；②当时，∵在递增，且，∴必存在使得．则时，，即时，与在恒成立矛盾，故舍去．综上，实数的取值范围是．点睛：导数是研究函数的单调