第十二讲常数项级数审敛内容提要与典型例题演示文稿

第十二讲常数项级数审敛内容提要与典型例题演示文稿当前第1页\共有29页\编于星期六\17点第十二讲常数项级数审敛内容提要与典型例题当前第2页\共有29页\编于星期六\17点1、常数项级数收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件:常数项级数审敛一、主要内容当前第3页\共有29页\编于星期六\17点常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛当前第4页\共有29页\编于星期六\17点2、正项级数及其审敛法(1)比较审敛法(2)比较审敛法的极限形式是同阶无穷小特别（等价无穷小）当前第5页\共有29页\编于星期六\17点3、交错级数及其审敛法4、任意项级数及其审敛法Leibniz定理绝对收敛，条件收敛附：正项级数与任意项级数审敛程序当前第6页\共有29页\编于星期六\17点发散NYYNN改用它法Y收敛收敛发散收敛发散当前第7页\共有29页\编于星期六\17点N发散YY收敛N用检比法用比较法用L—准则或考察部分和NNY条件收敛当前第8页\共有29页\编于星期六\17点例1求极限解考察正项级数由检比法收敛由级数收敛的必要条件得二、典型例题当前第9页\共有29页\编于星期六\17点例2设试证发散证不妨设a>0

由极限保号性知由于故由比较法的极限形式得发散例3若都发散则A必发散B必发散C必发散D以上说法都不对当前第10页\共有29页\编于星期六\17点例3解当前第11页\共有29页\编于星期六\17点根据级数收敛的必要条件，原级数发散．解从而有当前第12页\共有29页\编于星期六\17点原级数收敛；原级数发散；原级数也发散．当前第13页\共有29页\编于星期六\17点例4解即原级数非绝对收敛．由莱布尼茨定理：当前第14页\共有29页\编于星期六\17点所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．当前第15页\共有29页\编于星期六\17点都收敛且例5设试证收敛证由知因都收敛故正项级数收敛再由比较审敛法知正项级数收敛而即可表为两个收敛级数之和故收敛当前第16页\共有29页\编于星期六\17点例6设且若收敛则也收敛证由题设知而收敛由比较法得收敛Cauchy积分审敛法设单调减少则与同敛散例7当前第17页\共有29页\编于星期六\17点证由f(x)单调减少知即故与同敛散例8设是单调增加且有界的正数数列试证明收敛当前第18页\共有29页\编于星期六\17点证记则且而正项级数的部分和又单调增加且有界故由单调有界原理知存在即收敛进而收敛由比较法得收敛当前第19页\共有29页\编于星期六\17点设正数数列单调减少，级数发散考察的敛散性证记由单调减少故由单调有界原理知存在且若由Leibniz审敛法得交错级数收敛与题设矛盾由检根法知收敛例9当前第20页\共有29页\编于星期六\17点已知证明⑴⑵⑶由知对有证⑴例10当前第21页\共有29页\编于星期六\17点而收敛故由比较法知收敛⑵由知有而发散故由比较法知发散当前第22页\共有29页\编于星期六\17点⑶如但当前第23页\共有29页\编于星期六\17点讨论的敛散性解对级数收敛绝对收敛发散发散分情况说明例11当前第24页\共有29页\编于星期六\17点级数成为收敛发散级数成为绝对收敛条件收敛当前第25页\共有29页\编于星期六\17点例12对的值，研究一般项为的级数的敛散性解由于当n充分大时，定号故级数从某一项以后可视为交错级数总有级数发散当前第26页\共有29页\编于星期六\17点非增地趋于0由Leibniz审敛法知收敛但而发散故由比较法的极限形式发散当前第27页\共有29页\编于星期六\17点条件收敛级数显然收敛当前第28页\共有29页\编于星期六\17点正项级数由级数收敛的必要条件要使收敛必须但在一般项趋于0