第二章三类典型的偏微分方程

三类典型的偏微分方程当前第1页\共有28页\编于星期六\16点

一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向振动时，求这根弦上各点的运动规律。OLxy2.1波动方程☆

一维波动方程

最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。当前第2页\共有28页\编于星期六\16点

讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。不受外力影响。研究对象：线上某点在t

时刻沿垂直方向的位移。当前第3页\共有28页\编于星期六\16点简化假设：

由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。在弦上任取一小段它的弧长为：由于假定弦在平衡位置附近做微小振动，很小，从而

可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时间无关。即点处的张力记为。

由于振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。当前第4页\共有28页\编于星期六\16点横向：其中：

作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。

也就是说，张力

是一个常数。横向：当前第5页\共有28页\编于星期六\16点由中值定理：纵向：当前第6页\共有28页\编于星期六\16点………一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力作用：a就是弦的振动传播速度当前第7页\共有28页\编于星期六\16点假设外力在处外力密度为：方向垂直于轴。等号两边用中值定理：并令为单位质量在点处所受外力。当存在外力作用时：等号两边除以当前第8页\共有28页\编于星期六\16点

弦振动方程中只含有两个自变量：。由于它描写的是弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：二维波动方程：三维波动方程：当前第9页\共有28页\编于星期六\16点

建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素，使问题得到适度的简化。总结：当前第10页\共有28页\编于星期六\16点☆均匀杆的纵振动

考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位移)完全相同。试写出杆的振动方程。在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t)。在杆中隔离出一小段(x,x+dx)，分析受力：当前第11页\共有28页\编于星期六\16点通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．根据Newton第二定律，就得到：根据胡克定律当前第12页\共有28页\编于星期六\16点☆静止空气中一维微小压力波的传播设ρ为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：动力学方程连续性方程物态方程考虑到微小压力波，u是一阶小量，是二阶小量当前第13页\共有28页\编于星期六\16点代入得对t求导，得利用得一维声波方程。当前第14页\共有28页\编于星期六\16点☆静止空气中三维声波方程☆微幅水波动方程式中：水面波高为ξ为声波速度

水波速度为当前第15页\共有28页\编于星期六\16点2.2扩散方程

问题：一根长为l的均匀导热细杆，截面为一个单位面积。侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为k，比热为c，线密度为ρ。求杆内温度变化的规律。AB☆一维热传导方程的推导热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。当前第16页\共有28页\编于星期六\16点所要研究的物理量：分析：设杆长方向为x

轴，考虑杆上从到的一段(代表)，设杆中温度分布为满足的物理规律：均匀物体：物体的密度为常数各向同性：物体的比热和热传导系数均为常数假设条件：当前第17页\共有28页\编于星期六\16点利用Fourier热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程。

由Fourier热力学定律，单位时间内通过A端面的热量为：单位时间内通过B端面的热量为：当前第18页\共有28页\编于星期六\16点在dt

时段内通过微元的两端流入的热量在任意时段内，同时在此时段内,微元内各点的温度由流入微元的热量

升高为

当前第19页\共有28页\编于星期六\16点为此所需的热量为由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得当前第20页\共有28页\编于星期六\16点即：其中☆内部有热源的情况：其中

分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt。当前第21页\共有28页\编于星期六\16点根据热学中的傅立叶定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S流入V的热量为高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）热场☆三维热传导方程的推导当前第22页\共有28页\编于星期六\16点流入的热量导致V内的温度发生变化流入的热量：温度发生变化需要的热量为：三维热传导方程热场有热源三维热传导方程当前第23页\共有28页\编于星期六\16点☆一维浓度扩散方程☆动量输运方程C为物质浓度，λ为扩散系数。u为速度，fx为流体体积力，ν

为流体粘性系数。

显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用同一类型方程来描述。当前第24页\共有28页\编于星期六\16点2.3稳态方程(调和方程)

稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象，表征物理过程达到平衡状态的情况，因此物理量不随时间变化，但随空间发生变化。因此，稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布。热传导问题，控制方程为：设场内热源为稳态的，即为f(x,y,z)

流场温度不随时间变化，即T=T(x,y,z)

则有当前第25页\共有28页\编于星期六\16点这就是稳态方程，称为泊松方程。如果场内无热源，g(x,y,z,t)=0，则有：这个方程又称为拉普拉斯方程。其中：当前第26页\共有28页\编于星期六\16点

又如在理想势流场中，存在速度势φ(x,y,z)，速度与φ(x,y,z)的关系为：