物理电动力学

物理电动力学第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三内容概要1磁场的矢势2矢势微分方程3矢势边值关系

4静磁场的能量

§3-1

静磁场的矢势及其微分方程和边值关系重点：矢势的引入,满足的库仑规范,

物理意义微分方程和边值关系的建立静磁场能量公式及理解第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三由于矢势是一个矢量，所有的公式都是矢量形式，计算比较复杂.人们还是希望能象在静电场中引入静电势求解静电场一样也在静磁场中引入一个标量势函数（磁标势）来求解静磁场以简化计算。第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第三章第二节磁标势第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三

其具体内容为：

一、磁标势的引入

二、磁标势的方程和边值关系

三、磁标势法求解静磁场第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三、磁标势的引入1、从数学角度定义在矢量场中引入标量势的条件从数学的角度而言：对于某矢量场引入其标量势函数的条件，可表述成定理如下：在区域内有矢量场，若对内任一闭合曲线都有则必能引入一单值的标量势函数引入标量势的条件要存在标量势函数

第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三要存在标量势函数例如：对于静电场在全空间均有

于是我们引入了静电场的标量势函数，且2．在静磁场中引入磁标势的两个困难（2）．静磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。可见：一般情况下在静磁场中不能引入磁标势第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三3．在静磁场中引入磁标势的条件区域内无传导电流分布区域内作出的任何一条闭合曲线都不连环着电流

即只能在区域，且在区域中任何回路都不能与电流相链环。语言表述：引入区域为无传导电流分布的单连通区域。

第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三类比静电场的标势的引入静电场标势[简称电势]对于静电场第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三总结静磁场的标势的引入静磁场标势[简称磁标势]在静磁场中：对于无传导电流分布的单连通区域虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三引入磁标势的区域为无自由电流分布的单连通区域。4、引入磁标势的几种情况

(1)空间中没有自由电流，全空间均可以引入磁标势描述磁场。例1：求磁化矢量为的均匀磁化介质球产生的磁场第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三4、引入磁标势的几种情况

(2)空间中有传导电流，则挖去电流及电流线所围着的一个曲面S，在剩下的空间中可以引入磁标势。第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三4、引入磁标势的几种情况

因此通常用磁标势来描述和求解永磁体的磁场

（3）对于永磁体，它的磁场都是由分子电流激发的，全空间任何传导电流，因而在全空间可引入磁标势。磁化铁球第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三二．磁标势满足的微分方程1．引入磁标势区域(无传导电流分布的单连通区域）磁场满足的场方程2．满足的泊松方程第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三转化为看两组方程并进行类比:无源区域的静磁场无源区域的静电场类比知无源区域的静场具有相同的规律第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三转化为第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三语言表述：引入区域为无传导电流分布的单连通区域。

在静磁场中引入磁标势的条件第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三类比：

的边值关系

同样的：

的边值关系需讨论

三．磁标势满足的边值关系第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三类比静电势的边值关系的导出静电场的基本边值关系导出第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三三．磁标势满足的边值关系的边值关系需讨论

第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三类比：第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三若两种介质均为各向同性线性非铁磁介质:即对于两侧均为线性非铁磁介质的分界面:边值关系：第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三若介质1为铁磁质，介质2为各向同性线性非铁磁质边值关系:即对于若介质1为铁磁质，介质2为线性非铁磁质第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三作业11设理想铁磁体的磁化规律为现将这种理想铁磁体做成的半径为的均匀磁化球的无限介质中，浸入磁导率为求空间各点的磁感应强度。第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三四．无源区域静电场与无源区域静磁场的比较静磁场静电场第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三例1：证明的磁性物质表面为等磁势面。12角标1代表磁性物质、角标2为真空因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直（切向分量与法向分量之比→0)第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三则表面上任意两点的磁标势之差表面为磁等势面12第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第三章第二节磁标势第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三

一、磁标势的引入

二、磁标势的方程和边值关系

三、磁标势法求解静磁场第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三边值关系:第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三五、利用磁标势求解静磁场方程+边值关系

+区域边界条件，才能唯一确定给定区域中的磁标势，从而求解静磁场。泊松方程+边值关系+区域边界条件称为求解磁标势的定解问题

对定解问题，可以用不同方法和手段进行求解。主要讨论两种方法：1、拉普拉斯方程的分离变量法2、镜象法？第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三静电场的基本问题是求解区域内的电势.方程+边值关系

+区域边界条件，才能唯一确定给定区域中的静电势，从而求解场。泊松方程+边值关系+区域边界条件称为求解静电势的定解问题

对定解问题，可以用不同方法和手段进行求解。主要讨论两种方法：1、拉普拉斯方程的分离变量法2、镜象法第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三静磁问题的唯一性定理：如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布，只要在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：

(i)磁标势之值m|s(ii)磁场强度的法向分量(iii)磁场强度的切向分量第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三五、利用磁标势求解静磁场方程+边值关系

+区域边界条件，才能唯一确定给定区域中的磁标势，从而求解静磁场。泊松方程+边值关系+区域边界条件称为求解磁标势的定解问题

对定解问题，可以用不同方法和手段进行求解。主要讨论两种方法：1、拉普拉斯方程的分离变量法2、镜象法第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第三章第二节磁标势第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三

一、磁标势的引入

二、磁标势的方程和边值关系

三、磁标势法求解静磁场第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三边值关系:第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三五、利用磁标势求解静磁场方程+边值关系

+区域边界条件，才能唯一确定给定区域中的磁标势，从而求解静磁场。泊松方程+边值关系+区域边界条件称为求解磁标势的定解问题

对定解问题，可以用不同方法和手段进行求解。主要讨论两种方法：1、拉普拉斯方程的分离变量法2、镜象法第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三1、写出定解问题2、分析对称性，写出拉氏方程在球坐标系中,轴对称问题的通解形式3、把定解问题中的定解条件代入通解形式，确定通解形式中的待定系数4、利用1、2、3求出磁标势，再进一步求其它物理量先利用有限性条件使某些系数为零，从而进一步简化通解形式拉普拉斯方程的分离变量法求解磁标势的解题步骤第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三1、写出定解问题2、分析对称性，写出拉氏方程在球坐标系中的最简单通解

3、把定解问题中的定解条件代入通解形式，确定待定系数4、利用1、2、3求出电势，再进一步求其它物理量拉普拉斯方程的分离变量法求解电标势的解题步骤先利用的边界条件，确定系数简化通解第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三拉普拉斯方程的分离变量法求解磁标势应用例子例1：求磁化矢量为的均匀磁化铁球产生的磁场第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三例1：求磁化矢量为的均匀磁化铁球产生的磁场解：全空间无传导电流，有：

所以可引入磁标势设则求解区域的定解问题为：

方程：第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三边值关系：边界条件：建立球坐标系，又因为问题具有轴对称性，所以通解形式为:第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三下面利用边值关系定系数：第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三如何求磁场分布?第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三铁球内外的B和H如图第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期三[例2]磁导率为的均匀介质球，半径为R0，被置于均匀外场中，球外为真空。求:空间磁场分布。zoθ解：全空间无传导电流，可引入磁标势：

则求解区域的定解问题为：

第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期三[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场中，球外为真空。求电势分布。1、写出定解问题(1)拉普拉斯方程求解区域为：:

(2)边值关系:(3)边界条件:zoθ第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期三建立球坐标系，又因为问题具有轴对称性，所以通解形式为:第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期三比较两边系数，得第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期三再由边值关系可得:第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期三比较的系数得方程组确定待定的系数第五十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期三待定的系数确定为：由此得到磁标势为：第五十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期三如何求磁场分布?第五十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期三Z第六十页，共六十四页，编辑于2023年，星期三在球内总磁场作用下，介质球的磁化强度为：介质球的总磁偶