求导数的一般方法与高阶导数

求导数的一般方法与高阶导数第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期三主要内容一、基本初等函数的导数二、函数四则运算求导法则三、复合函数求导法则四、隐函数求导法则第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期三一、常数和基本初等函数的导数第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期三二、函数的四则运算的求导法则定理如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处可导，并且第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期三证(3)第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期三第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期三推论第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期三第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例1解例2求函数的导数.解第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例3解同理可得第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例4解同理可得第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期三定理3即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)三、复合函数的求导法则第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期三推广第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例6解解例5第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例7解第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例6解解例5第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例7解熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期三复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。

如设那么对于复合函数，我们有如下求导法则：

例8求的导数解：设由 得即第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例9解第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例10解例11解第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期三四、隐函数的导数1.定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例12所确定的隐函数的导数解将方程两边分别关于求导，得第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例2解:所求切线方程为显然通过原点.第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例14解解得第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例15生物群体总数的生长规律为为生物群体在t时刻的总数，均为常数，且试求生长率第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期三解原方程整理得方程两边对t求导第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期三参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期三由复合函数及反函数的求导法则得第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例9解第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期三

所求切线方程为第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例10解例11解第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期三五、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期三记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期三高阶导数求法举例例12解第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例13解第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例14解同理可得第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期三例15求函数的二阶导数.解第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期三小结1.注意2.复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期三3.已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或初等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.常数与基本初等函数的和、差、积、商.4.任何初等函数的导数都可以按常数和基本第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期三练习解解得第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期三思考题第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期三思考题解答正确地选择是（3）例在处不可导，取在处可导，在处不可导，取在处可导，在处可导，第四十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期三思考题求曲线上与轴平行的切线方程.第四十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期三思考题解答令切点为所求切线方程为和第四十四页，共四十七页，编辑于20