太原理工微积分与数学模型10年修改版第二章理工大高数

第三节

无穷小与无穷大~无穷小与无穷大的概念二无穷小与无穷大和极限的关系三无穷小的运算性质一、无穷小与无穷大的概念1.无穷小

极限为零的变量称为无穷小。定义1

如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数d(或正数X

),使得对于适合不等式

0

<x

-x0

<d(或x

>X

)的一切x

,对应的函数值f

(x)都满足不等式f

(

x)

<

e,那末称函数f

(x)当x

fi

x0

(或x

fi

¥

)时为无穷小记作

lim

f

(

x)

=

0xfi

x0(或lim

f

(x)=0)xfi

¥xfi0例如,lim

sin

x

=0,

\函数sin

x是当x

fi

0时的无穷小xxfi

¥

lim

1

=

0,\函数1

是当x

fi

¥

时的无穷小(-1)n

limnfi

¥n}是当n

fi

¥

时的无穷小nx(-1)n=0,\数列{注意1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆；2)零是可以作为无穷小的唯一的数。2.无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大。定义2

如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数d（或正数X），使得对于适合不等式0

<|

x

-x0

|<d（或|x|>X）的一切x所对应的函数值f

(x

)都满足不等式|

f

(x)|>M

则称函数f(x

)当x

fi

x0

(或x

fi

¥

)时的无穷大。记作

lim

f

(x

)

=

¥x

fi

x

0(

或

lim

f

(x

)

=

¥

)x

fi

¥特殊情形：正无穷大，负无穷大。(或

lim

f

(

x)

=

-¥

)x

fi

x0(

x

fi

¥

)lim

f

(

x)

=

+¥x

fi

x0(

x

fi

¥

)注意无穷大是变量,不能与很大的数混淆；切勿将lim

f

(x)=¥

认为极限存在；xfi

x0无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。y

=

1

sin

1x

x例如,当x

fi

0时,y

=1

sin

1x

x是一个无界变量,但不是无穷大2(k

=

0,1,2,3,)2k1kp

+

px

=(1)当k充分大时,xk

<

d,y(

xk

)

=

2kp

sin

2kp=

0

<

M不是无穷大k2kx

=(2)2kp1(k

=

0,1,2,3,)ky(

x

)

=

2kp

+

p

,

当k充分大时，y(

x

)

>

M

无界=

¥1xfi

1

x

-

1例

证明

lim1证："

M

>

0

要使

x

-1

>

M

,只要

x

-1

<

,M1

1取d

=M

,M

x

-

11当0

<x

-1

<d

=1

时,就有=

¥1>

M

\

limxfi

1

x

-

1的图形的铅直渐近线。xfi

x0定义

如果

lim

f

(

x)

=

¥

,则直线x

=

x0是函数y

=

f

(

x)y

=

1x

-

11.无穷小与函数极限的关系证：设

lim

f

(

x)

=

Axfi

x0令a

(x)=f

(x)-A则有lim

a

(x)=0xfi

x0\

f

(

x)

=

A

+

a

(

x)定理

1

lim

f

(

x)

=

Axfi

x0其中a(x)是当x

fif

(

x)

=

A

+a

(

x)x0

时的无穷小。二、无穷小与无穷大和极限的关系设f

(x)=A

+a

(x)x0时的无穷小,其中a

(x

)是当x

fi则

lim

f

(

x

)

=

lim

(

A

+

a(

x

))x

fi

x0

x

fi

x0=

A

+

lim

a(

x)x

fi

x0=

Ax0时的无穷小。a

(x

)是当x

fi2.无穷小与无穷大的关系=

01limxfi

D

f

(

x)(2)若lim

f

(x)=¥

,则xfi

D1limxfi

D

f

(

x)定理2

(1)若lim

f

(

x)

=

0,(

f

(

x)

„

0),

则xfi

D=

¥即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大。1恒有f

(x)<M

,\

"

M

>

0,

$d

>

0,使得当0

<

x

-

x0

<

d

时\当x

fi1x0时,f

(x)为无穷大由于f

(x)„0,>

Mf

(

x)1从而xfi

x0证：(1)

设

lim

f

(

x)

=

0,且

f

(

x)„

0证：(2)<

ee\

"

e

>

0,

$d

>

0,

使得当0

<

x

-

x0

<

d

时恒有

f

(

x)

>

1

,

即1f

(

x)设

lim

f

(

x)

=

¥xfi

x0\当x

fi1x0时,f

(x)为无穷小无穷小的讨论。意义1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问题(无穷小）；2.给出了函数f

(x)在x0

附近的近似表达式f

(x)»A,误差为a

(x)。注

关于无穷大的讨论,都可归结为关于三、无穷小的运算性质定理3

同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。证：设a

及b

是当x

fi

¥

时的两个无穷小,"e

>0,$X

1

>0,X

2

>0,使得21当x

>X

时恒有a

<e22当x

>X

时恒有b

<e\

lim(

a

+

b

)

=

0注意

无限个无穷小量的和不一定是无穷小。例如但n个之和为1,不是无穷小。n

fi

¥时1

是无穷小，，na

–

b

£

a

+

b

<e

e2

2+

=取X

=max{

X1

,X

2

},当

x

>

X时,

恒有定理4

有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。证：

设函数u在U

0

(

x

,d

)内有界,0

1则

$M

>

0,

d1

>

0使得当0

<|

x

-x0

|<d1

时，恒有|

u

|<M

,又设是当x

fix0时的无穷小，$d2

>

0\ "

e

>

0,M|

u

a

|=|

u

| |

a

|<

M

e

=

ex0时，

u

a

为无穷小

。\当x

fi取d

=min{d1

,d2

}则当0

<|

x

-x0

|