四川省成都市泡桐树中学高三数学理期末试题含解析

四川省成都市泡桐树中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数满足：，，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，∴，故选．2.符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】逐个判断函数是否符合新定义的5个条件．【解答】解：（1）∵f1（x）=arctanx的定义域为R，∵﹣＜arctanx，∴f1（x）的值域为（﹣a，a），∵f1（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴f1（x）是S函数，（2）f2（x）=的定义域为R，∵﹣1＜＜1，∴f2（x）的值域是（﹣a，a），∵f2（﹣x）==﹣f2（x），∴f2（x）是奇函数，当x＞0时，f2（x）==a﹣，∵a＞0，∴f2（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f2（x）是S函数．（3）由解析式可知f3（x）的定义域为R，当x＞0时，a﹣＜a，当x＜0时，﹣a﹣＞﹣a，∴f3（x）的值域是R，不符合条件③，∴f3（x）不是S函数．（4）f4（x）的定义域为R，∵=1﹣，2x＞0，∴﹣1＜＜1，∴f4（x）的值域是（﹣a，a）．f4（﹣x）=a?=a?=﹣f4（x）．∴f4（x）是奇函数．∵f4（x）=a（1﹣），∴f4（x）在（0，+∞）上是增函数．∴f4（x）是S函数．故选：C．【点评】本题考查了函数的定义域，奇偶性，值域，属于中档题．3.已知函数f（x）=x2+bsinx，其中b为常数．那么“b=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可知函数的对称轴=0可求b的值．【解答】解：若f（x）=x2+bsinx为偶函数，则f（﹣x）=（﹣x）2+bsin（﹣x）=x2﹣bsinx=f（x）=x2+bsinx，∴b=0故选：C．4.已知向量a，b不共线，设向量，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（A）10

（B）2（C）－2

（D）－10参考答案：B5.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，，则的大小关系是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.极坐标方程表示的圆的半径是（

）． A． B． C． D．参考答案：D极坐标方程，两边同乘，得，化为直角坐标方程：，整理得，所表示圆的半径，故选．7.已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆）,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_____（单位cm）A.

B.C.

D.参考答案：C8.已知函数的定义域为，集合，若：是Q：”充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.若+=，则实数的值为（

）A.

B.

C.2

D.4

参考答案：D10.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位℃)①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26.方差为10.2，则肯定进入夏季的地区有(

)A．0个

B．1个

C.2个

D．3个参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P（x，y）在不等式组，表示的平面区域上运动，则Z=x-y的取值范围是_______．参考答案：略12.

用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，若该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________________参考答案：答案：613.二项式（x+2）5=a0x5+a1x4+…+a5y，则a1+a3+a5=

．参考答案：122【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=﹣1，y=1；x=﹣1，y=1；可得两个等式，再把这两个等式相加，化简可得要求式子的值．【解答】解：令x=y=1，可得（x+2）5=35=a0+a1+…+a5，令x=﹣1，y=1，可得﹣a0+a1﹣a2+a3﹣a4+a5=1，两式相加可得2（a1+a3+a5）=244，∴a1+a3+a5=122，故答案为：122．14.函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=

．参考答案：（x＞﹣2）考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换即可得出．解答： 解：由y=x2﹣2（x＜0）解得x=﹣，把x与y互换可得y=f﹣1（x）=﹣（x＞﹣2）．故答案为：（x＞﹣2）．点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．15.设实数x，y满足，则的最小值为

.参考答案：416.已知复数若为实数，则实数的值为_________.参考答案：略17.复数的虚部为_______________.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知是函数的极值点.（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.（参考数据：，，其中e为自然对数的底数）参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【分析】(Ⅰ)根据，求得实数的值，通过导数验证函数单调，可知时极值点为，满足题意；(Ⅱ)由(Ⅰ)函数的极小点值位于，此时的零点位于，且此为的极小点值点，代入，中，化简即可得到关于的二次函数，求解二次函数在区间上的值域即可证明结论。【详解】解：(Ⅰ)因为，且是极值点，所以，所以.此时，设，则.则当时，为减函数.又，所以在时，，为增函数；时，，为减函数.所以为的极大值点，符合题意.（Ⅱ）当时，，为增函数，且，所以存在当时，，为减函数；时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点.又，已知，可得，所以，所以，且满足.所以.其中也可以用如下方式证明：，设，则.则当时，，为减函数；当时，，为增函数.所以所以在，所以【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零点存在定理确定零点处理问题，从而可将证明问题转化为某一个区间内二次函数值域问题的求解，考查了学生基本计算能力以及转化与划归思想，属于难题。19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（1）证明：PB∥平面AEC（2）已知，，求二面角的余弦值.参考答案：(1)证明见解析；(2).试题分析：(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得：直线的方向向量为：，平面的一个法向量为，结合可得：平面.(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为：，据此计算可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由几何关系有：，则直线的方向向量为：，，设平面的法向量，则：，据此可得：平面的一个法向量为，结合可知：，据此可得：平面.(2)结合(1)的结论可知：，则平面的一个法向量为.由平面可知平面的一个法向量为：，据此可得：，则，观察可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.20.设函数.(1)画出函数的图象；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.参考答案：(1)由于，则的图象如图所示：(2)由函数与函数的图象可知，当且仅当或时，函数与函数的图象有交点，故不等式的解集非空时，的取值范围是.21.(本小题满分12分)如图，底面是等腰梯形的四棱锥E—ABCD中，EA平面ABCD，AB//CD，AB=2CD，ABC=．(