吉林省长春市五龙中学2022年高二数学理月考试题含解析

吉林省长春市五龙中学2022年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,,则此三角形解的情况是(

)A.一解

B.两解

C.一解或两解

D.无解参考答案：B2.在等比数列中，则（

）A.210

B.220

C.230

D.240参考答案：D略3.的内角的对边分别为,且．则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．解答： 解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=故选D点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题．5.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1参考答案：A略6.已知，，，则的大小关系为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A7.随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】根据所给的概率分步规律，写出四个变量对应的概率，根据分布列的性质，写出四个概率之和是1，解出a的值，要求的变量的概率包括两个变量的概率，相加得到结果．【解答】解：∵P（X=n）=（n=1，2，3，4），∴+++=1，∴a=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=×+×=．故选D．8.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左右焦点，设椭圆的离心率为，设双曲线的离心率为，若，则（

）

（A）4

（B）3

（C）2

（D）1参考答案：C9.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（

）A．米/秒

B．米/秒

C．米/秒

D．米/秒参考答案：C略10.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是A．若，，则

B．若，，,则C．若，，,则

D．若，，则参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.三个数720,120,168的最大公约数是

。参考答案：24略12.设双曲线的左右顶点分别为、，为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线、的斜率分别为、，则的值为

．参考答案：略13.若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．参考答案：【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值．【详解】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．14.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件，函数，计算=____参考答案：2012【分析】求出二阶导数f″（x），再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．【详解】∵，∴f′（x）＝3x2-3x+3，f″（x）＝6x-3，由f″（x）＝0得x＝，f（）＝＝1；∴它的对称中心为(,1)，则有f（x）+f（1﹣x）＝2．=[]+[]+…+[]＝2×1006＝2012．故答案为：2012．【点睛】本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出函数的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．15.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P在圆外的概率是

.参考答案：略16.有五条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为参考答案：【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先分析可得从五条线段中任取3条的情况数目，再由三角形的三边关系，列举能构成三角形的情况，进而由等可能事件的概率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从五条线段中任取3条，有C53=10种情况，由三角形的三边关系，能构成三角形的有3、5、7，5、7、9，3、7、9三种情况；故其概率为；故答案为．17.在空间坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的单位法向量是_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口；如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/米,新墙的造价为180元/米,设利用的旧墙的长度为x米，总费用为y（单位：元）.（Ⅰ）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

参考答案：解（1）设矩形的另一边长为am则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+

……………6分…..

(II)……….8分当且仅当225x=，即x=24m时等号成立…………..11分∴当x=24m时，修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元…….12分

略19.（本小题满分10分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；

(I)求a的值；

(II)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从线性回归直线方程中的关系，且该产品的成本是每件4元，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入一成本）参考答案：由于，.--------------------------------------2分所以.----------------------------------------4分回归方程为-------------------------------------------------5分（2）设工厂获得的利润为元，依题意得==.------------------------8分当且仅当时，取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.—10分20.已知圆O：,（O为坐标原点），直线:.抛物线C:．(Ⅰ）过直线l上任意一点A作圆O的两条切线，切点为B，C.求四边形ABOC的面积最小值；(Ⅱ）若圆过点(0,2)，且圆心在抛物线C上，HG是圆在x轴上截得的弦，试探究运动时，弦长是否为定值？并说明理由；(Ⅲ)过点的直线分别与圆O交于点D，E两点，若,问直线DE是否过定点？并说明理由．参考答案：（Ⅰ）由已知得四边形ABOC的面积…………4分其中d为圆心O到直线l的距离＝．…………５分∴四边形ABOC的面积最小值为…………6分（Ⅱ）设圆的圆心为，∵圆过，∴圆的方程为…………7分令得：，设圆与x轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由可得，∴…………９分又∵点在抛物线上，∴，∴，即.∴当运动时，弦长为定值4．…………10分方法2：∵，…………8分∴，………9分∵点在抛物线上，∴，∴，∴,∴当运动时，弦长为定值4．…………10分

(Ⅲ)由题知直线PD和直线PE的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线PD的方程，则直线PE的方程为，联立方程，得，得或．∴，同理，…………12分∵x轴上存在一点，∴，同理．…………14分∴，所以，直线DE过定点．…………15分21.已知x＞3，求f（x）=x+的最小值．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】利用基本不等式直接求解表达式的最小值即可．【解答】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴f（x）=x+=x﹣3++3≥2+3=4+3=7，当且仅当x=5时取等号，∴f（x）=x+的最小值为7．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力，注意表达式的变形是解题的关键．22.如图，已知直线l交抛物