2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-含解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文

科）

题号—二三总分

得分

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.集合M={2,4,6,8,10},N={x|-l<x<6},则Mf!N=（）

A.{2,4}B.{2,4,6}C.[2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查了集合的交集运算，属于基础题.

【解答】

解：•••M=[2,4,6,8,10},/V={x|-1<x<6},

MDN={2,4}.

2.设（1+2i）a+b=2i,其中a,b为实数，贝女）

A.a=1,b=-1B.a=1,b=1

C.a=—1»b=1D.a=-1,b=—1

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的运算，涉及复数相等的条件，属基础题.

【解答】

解：•.•（l+2i）a+b=2i,其中a,b为实数，

A（a+6）+2ai=2i,

(a+b=0得於二:，故A正确•

12a=2

3.已知向量五=(2,1),b=(-2,4),则|五一3|=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：Q=(2,1),b—(—2,4)，二五一b-(4,-3)•

\a-b\=|(4,-3)|=V424-(-3)2=5.

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：九)，得如下茎叶

图：

甲乙

5

853063

7532746

6421812256666

4290238

)0.1

则下列结论中错误的是()

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了茎叶图，平均数，中位数，用频率估计概率，属于基础题.

【解答】

第2页，共17页

解：首先将茎叶图的数据还原：

甲同学16周各周课外体育运动时长：5.1,5.6,6.0,6.3,6.5,6.8,7.2,

7.3,7.5,7.7,8.1,8.2,8.4,8.6,9.2,9.4,

乙同学16周各周课外体育运动时长：6.3,7.4,7.6,8.1,8.2,8.2,8.5,

8.6,8.6,8.6,8.6,9.0,9.2,9.3,9.8,10.1

甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为：与至=7.4,

乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2x2+8.5+8.6x4+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1小c

=8.5U625>8f

16

甲同学周课外体育运动时长大于8的有6周，故甲同学周课外体育运动时长大于8

的概率的估计值为白=0.375<0.4,

乙同学周课外体育运动时长大于8的有13周，故乙同学周课外体育运动时长大于8

的概率的估计值为工=0.8125>0.6,

故C是错误的.

X+y>2,

5.若x,y满足约束条件x+2yS4,则z=2x-y的最大值是（）

.y>o,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查了线性规划问题，属于基础题.

【解答】

解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示：

将z=2x-y,变形为y=2x—z,这是斜率为2、随z变化的一族平行直线I,

-z是直线I在y轴上的截距，当-z取最小值时，z的值最大.

作出直线l0：y=2%,

将直线I从直线/0位置平移至直线k的位置时，截距-z最小，对应z最大，

即直线I经过如图所示的点C时，z取最大值，

由上/=4得=3即点C坐标为(4,0),

因止匕，Zmax=2X4—0=8.

6.设尸为抛物线C:y2=4x的焦点，点4在C上，点B(3,0),若|AF|=|BF|,则=()

A.2B.2A/2C.3D.3V2

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题.

【解答】

解：易知抛物线C:y2=4x的焦点为F(l,0),于是有\BF\=2,故\AF\=2,注

意到抛物线通径2P=4,

通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AFlx轴，

于是有\AB\=V22+22=2>/2.

第4页，共17页

7.执行右边的程序框图，输出的n=()

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】

B

【解析】

【分析】

本题考查程序框图，属于基础题.

【解答】

解：第一次循环：b=l+lx2=3,a=3—1=2,n=1+1=2,|^—2|=

|(|)2-2|=1>0.01

第二次循环：b=3+2x2=7,a=7-2=5,n=2+1=3,|提一2|=

◎-2|屋>0.01

第三次循环，6=7+2x5=17,a=17—5=12,n=34-1=4,|-2|=

位A2|=+<0.01

故输出几=4

8.右图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大

致图像，则该函数是（）

A-X3+3X-3\力。1\3X

Jx2+ivy\

Bx3-X

zx2+l

-2XCOSX

C.y=2,

Jx2+l

cD.y=2—sin—x

Jx2+l

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别，属于中档题.

【解答】

解：对于8,当x=1时，y=0,与图象不符，故B不正确.

对于C,当#=K时，y=0,与图象不符，故C不正确.

对于D,当x=3时，y=等＞0,与图象不符，故。不正确.

故综合分析A选项符合题意.

9.在正方体48€:。一公/6。［中，E,F分别为4B,BC的中点，则（）

A.平面为EF1平面8叫B.平面1平面4BD

C.平面&EF〃平面4ACD.平面&EF〃平面4GD

【答案】

A

【解析】

【分析】

本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题.

【解答】

解：对于A选项：在正方体ABCD—AiBGDi中，因为EF分别为AB,BC的

中点，易知

第6页，共17页

EFLBD,从而EF1平面BDD、，又因为EFu平面BDDX,所以平面BXEF1平

面BDD1,

所以A选项正确；

对于B选项：因为平面A.BDn平面BDD]=BD,由上述过程易知平面B】EF1平

面

&B。不成立；

对于C选项的直线力&与直线B]E必相交，故平面B[EF"面AXAC有公共

点，从而C的错误；

对于D选项：连接AC,AB】，BiC,易知平面AB、C”平面A^D,

又因为平面ABrC与平面BiEF有公共点B],故平面ABiC与平面BXEF

不平行，所以。选项错误.

10.已知等比数列｛%｝的前3项和为168,a2-a5=42,则。6=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列前n项和中的基本量计算，属于基础题.

根据题干列出等式求得由与q,进而求出a6.

【解答】

解：设等比数列｛an｝首项的,公比q.

由题意，伊+与+驾=168,+二168,

-=42(@1式1-q3)=42

[4(1+q+q2)=168

Qq(l-q)(l+q+q2)=42

s

解得，4=；，%=96,所以a6—arq=3.

11.函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+1在区间［0,2兀］的最小值，最大值分别为()

【答案】

D

【解析】

【分析】

本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题.

【解答】

解：/(x)=cosx+(x+l)sinx+1,则f'(x)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+

l)cosx,

当；当#C(品券)，f(x)<0；当

则/(x)在位信)上单调递增，在")上单调递减，在(等,2司上单调递增,

-*-/何畦值=fe1+2，1(y)~~y，

又f(0)=2，/(2r)=2,

•1•在区间［0,2扪上,f(对最大值=1+2,最小值=一春•

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为()

A.\B.；C.立D.立

3232

【答案】

C

【解析】

【分析】

本题考查圆锥体积，最值计算.

【解答】

解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是

边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r,则r=叱a，

2

第8页，共17页

所以该四棱锥的高五=,所以体积

V=|a2Ji-y,设=t（0<t<2）,

展］卜_授,（/一§），=2［一/，当o<t<?,（严一§），>o,单调递增，

当g<t<2,（/一§），<0,单调递减，所以当t=g0寸，V取最大，此时h=

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.记％为等差数列｛即｝的前几项和•若2s3=3s2+6,则公差d=.

【答案】

2

【解析】

【分析】

本题考查了等差数列前n项和中的基本量计算，属基础题.

【解答】

解：v2s3=3s2+6,:.2（30i+3d）=3（2at+d）+6,・•・d=2.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

【答案】

3

10

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，属于基础题.

【解答】

解：设“甲、乙都入选”为事件A,则P(A)=,=9.

cs1U

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

【答案】

(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-I)2=5或(x-乎+(y-^)2=与或(％-

|)2+3-1)2=詈

【解析】

【分析】

本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题.

圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任

一点的距离为半径，每种情况逐一求解即可.

【解答】

解:设点4(0,0),8(4,0),C(-l,l),D(4,2).

(1)若圆过4、B、C三圆圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,a),

则4+a?=9+(a—1)2=a=3,r=V4+a2=V13，所以圆的方程为(x-2)2+

(7—3)2=13;

(2)若圆过A、B、D三点，同(1)设圆心坐标为(2,a),

则4+a?=4+(a-2)2na=1,r="T漉=V5,所以圆的方程为(x-2)2+

(y-1)2=5;

(3)若圆过4、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+l，线段4。的

中垂线方程

为y=-2x+5,联立得］J=>r=+?=V，所以圆的方程为。一》？+

(4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y=1,

线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立得J(|-4)2+l=y,

所以圆的方程(x—g)+(y—l)2=詈.

第10页，共17页

16.若/。)=ln|a+乙|+b是奇函数，则。=,b=

【答案】

1

~2

ln2

【解析】

【分析】

本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于较难题.

【解答】

解：/(x)=ln[^i|+b=lnp^|+b,

”一…厘+人

f(x)+/(-%)=In+In+2b=0，

|胃善斗2b=o,

故巴=(Q+1)•=>2a+l=0=>a=—,

112

—2b=ln三=-21n2=b=ln2,

4

故a=—|,b=ln2.

三、解答题(本大题共7小题，共80.0分)

17.记△48C的内角A,B,C的对边分另I」为a,b,c,已知sinCsin(4—B)=sin8sin(C—4).

(1)若4=28,求C:

(2)证明：2a2=b2+c2.

【答案】

⑴解：•••4=28,知sinCsinQ4—B)=sinBsin(C-A),

•••sinCsinB=sinBsin(C—2B),又sinB*0,

:.sinC=sin(C—2B),

可得C+C-2B=180°,又•；4=2B,A+B+C=180°,

可解得C=112.5。；

(2)证明：由sinCsin(4-B)=sinBsin(C-4)可化简为：

sinCsinAcosB一sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsin/,

由正弦定理可得QCCOSB-bccosA=bccosA-abcosC,即QCCOSB=2bccosA-abcosC,

由余弦定理可得acxQ"c2-坟=2bcx-abx贮当d,即证得2a2=h24-c2

2ac2bc2ab

【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了

运算求解能力，属于中档题.

18.如图，四面体ABCD中，AD1CD,AD=CD,AADB=^BDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面BEDI平面AC。；

(2)设4B=BD=2,4ACB=60。，点尸在8。上，当^AFC的面积最小时，求三棱

锥产一ABC的体积.

【答案】

(1)证明：因为=AD=CD,BD=BD,

所以AAOB三ACDB,所以AB=BC,

又因为E是AC的中点，所以BELAC,

又因为4D=DC,所以DE_LAC,

又因为BEDDE=E,且BE、DEu平面BED,

所以4c1平面BED,因为4cu平面4CD,

所以平面BED1平面4CD;

(2)解：因为AB=BD=2,Z.ACB=60°,

所以结合(1)可知AB=BC=AC=2,又E为AC的中点,

则BE=V3，

连接EF,

第12页，共17页

DF

因为AADB三△CDB,所以AF=CF,

所以EFJ.4C,

所以在ABED中，当EFl8。时，SMFC最小，

因为ADICC,AD=DC,AC=2,E为4c的中点，所以DE=1,

又DE?+BE2=BD2,所以BEIE。，若EFlBO,在△BE。中EF=及%=血，

BD2

得BF=y/BE2-EF2=|,则“的、BF•EF=2"叵=运,

/22228

因此，Vp-ABC=^A-BEF+^C-BEF=^ABEF-1X手X2=

【解析】本题考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、棱锥的体积等知识，属中档题.

19.某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的

总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m2)和

材积量(63),得到如下数据：

样本数号i12345678910总和

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

勺

材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并计算得，?/2=0038,=1.6158,鹉/%=0.2474.

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横

截面积总和为186nl2.己知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数

据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

附：相关系数「一下京荒K嬴，1.377.

【答案】

解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为a平均一个的材积量为区

则亢=—=0.06,y=—=0.39.

ioJio

_2JL1Xjyi-nxy_0.2474-10x0.06x0.39_0.0134_

22

I1-J(>严声71力一V0.038-10X0.06X/1.6158-10X039)-V0.002x0.0948-

0.0134_0.0134_097

0.01X>/T896—0.01377-'；

(3)设从根部面积总和为X,总材积量为y,则9=三，故y=餐、186=1209(租3).

Yyu.o

【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题.

20.已知函数f(x)=ax-：—(a+l)lnx.

(1)当Q=。时，求/(%)的最大值；

(2)若/(%)恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】

解：(1)当a=0时，f(x)=-：—lnx,定义域为(0,+8).

当Xe(0,1)4广(%)>0JO)单调递增，当Xe(1,+8)时[(x)<Oj(x)单调递减,

故/'COmax=f⑴=-1-0=-1.

(2)/(%)=ax-3-(a+l)lnx,定义域为(0,+<»).

八x)=a+5_等=2-(：*x+i,

令9(%)=a/—(a+l)x+1,%£(0,+8)

①若a=0,g(x)=-%+l,由(1)知/"(%)《一1,此时无零点.

②若a。0,△=(a4-1)2—4a=(a—l)2,

当a=1时，g[x}=(%-l)2>0,f(x)>0,故f(x)单调递增，且f(l)=0,符合题意.

当QH1时，g(x)=0有两个不等的实根，%1=1,%2=I，

若QV0,/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，此时/(%)&/⑴=a-1<0,

此时无零点.

第14页，共17页

若0VQV1,/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,》单调递减，在(1+8)单调递增,

又/(I)=a—1<0,f(，)=1—a+(a+l)/na<0,当％t+8时，/(%)>0,符合题

定、，

若a>l,/Xx)在(0,》上单调递增，在弓,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

又f(l)=a-l>0,/(i)>0,当XT0时，/(x)<0,符合题意.

综上，a的取值范围为(0,+8).

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题.

21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过4(0,-2),8(|,-1)两点

(1)求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点

7，点H满足祈=前，证明：直线HN过定点.

【答案】

22o

解：(1)设E的方程为9+白=1,将4(0,-2),两点代入得

—=122

1,解得a2=3,62=4,故E的方程为土+匕=1.

2+上=134

14az丁乒

(2)由力(0,-2),可得直线AB:y=|x-2

①若过P(l,—2)的直线的斜率不存在，直线为x=l.代入?+3=1,可得M(l,乎),

N(l,_平)，将旷=当代入4B:y=|x_2,可得了(乃+3,苧)，由而=而，

得”(2通+5,乎).易求得此时直线HN:y=(2-平)久-2.过点(0,-2)；

②若过P(l,-2)的直线的斜率存在,设kx-y—(k+2)=0,Mg%),N(x2,y2).

(kx—y—(A+2)=0

2

联立，百y2_1,得(3/+4)x-6fc(2+k)x+3k(k+4)=0,

(34~

,y=6k(2+k)f,=-8(2+k)

yi

的有1123k2+4\%3k2+4_-24k(.

故侣_3k(4+k)“4(4+4k-2/)'旦"1、2+%2丫1-3k2+4()

1X

r2_HT(乃丫2=3k2+4

y—yx

v=2-2＞可得7(等+3,为)，H(3yi+6-Xi，%),

{y3

为一，2

可求得此时“N:y-丫2=(尤-x2)

3y1+6-x1-x2

将(0,-2)代入整理得2(无1+x2)-6(71+y2)+xty2+x2yx-3yly2-12=0

将(*)式代入，得24k+12k2+96+48/c-24/c-48-48/c+24k2-36/c2-48=0,

显然成立.

综上，可得直线HN过定点(0,-2).

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；

(2)分类讨论过点P