数学文化概论

数学文化概论第一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三第一章概论第一节文化与数学文化第二节数学的定义及其重要性第三节数学的语言及其特点第四节数学发展简史第二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三§1.3数学的语言及其特点第三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三抽象性精确性应用的广泛性

§1.3.1数学的特点第四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学的研究对象本身就是抽象的；在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；核心数学主要处理抽象概念和它们的相互关系。1、抽象性有的同学因数学的抽象性而感觉数学枯燥、难学；其实，“抽象”是数学的武器，是数学的优势。我们应该喜爱“抽象”，学会“抽象”的手段。第五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三哥尼斯堡七桥问题——一笔画问题岛1岛2ABDCBCAD模型地—桥—边第六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼。”作为对照的三个例子：①电子管电路→半导体电路→集成电路②托勒密地心说→哥白尼日心说→开普勒三定律③高温超导的上界（朱经武）30ºK→90ºK→120ºK→240ºK2、精确性第七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三关于“晶体的结构有多少种”的讨论

曾经，许多物理学家、化学家、晶体学家给出了各不相同的结论。数学家介入以后，运用“群”的理论，得到了明确的答案：晶体的结构只能有230种。

而且，数学家的推理是如此精确，让人信服，使得之后就不再有人去研究这一问题了，因为结论已经确定无疑。第八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三9华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：①哈雷彗星的发现；②海王星的发现；③电磁波的发现。3、应用的广泛性第九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

古时人们认为彗星的出现是不祥之兆，直到17世纪，英国天文学家哈雷开始计算彗星轨道时，发现1682年、1607年和1531年出现的彗星有相似的轨道，他判断这三颗彗星其实是同一颗彗星，并预言它将在1758年底或1759年初再次出现。1759年，这颗彗星果然出现了。虽然哈雷已在此前的1742年逝世，但为了纪念他，这颗彗星称为“哈雷彗星”。哈雷彗星的回归周期为76年，最近一次的回归是在1986年；下一次回归是在2062年。哈雷彗星的发现第十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

这个太阳系最远的行星（之一），是1846年在数学计算的基础上发现的。天文学家分析了天王星运动的不规律性，推断出这是由其他行星的引力而产生的。勒未累计算出它应处的位置，观察员在指定位置发现了该行星。航海家2号拍摄,1989.8.

海王星的发现第十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三

英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。电磁波的发现24年后，德国物理学家赫兹在振荡放电实验中证实了电磁波的存在，不久，意大利的马可尼和俄国人波波夫又在此基础上独立地发明了无线电报。从此，电磁波走进了千家万户。第十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三语言是表达思想的，是人类相互交流的工具。数学语言则是人们进行数学表达和数学交流的工具。§1.3.2自然语言与数学语言第十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。中国人说汉语，美国人说英语，这些是自然语言；上海人说上海话，四川人说四川话，广东人说广东话，这些也是自然语言。如同生物界有“濒危物种”一样，自然语言中也有“濒危语言”。下面的一个自然段，摘自新华社的一则报道。

国际自然及自然资源保护联盟为衡量濒危物种灭绝的危险程度，制定了一套国际通用的评判标准。英国东英吉利亚大学的威廉·萨沙兰德教授别出心裁地用这套标准，对世界上共约6800种语言进行了分类，发现其中1676种有灭绝的危险。第十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三这些让我们形象地了解到，自然语言是具体的语言，随民族、地域而有所不同。数学语言虽然要以自然语言作为载体，但它是形式化的语言，在形式化的方面，不随民族、地域的不同而不同。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。语言都是用来描述事物的。自然语言可以用来描述事物的各个方面，数学语言则主要用来描述事物的数量关系、空间形式，以及事物的结构、逻辑关系等等。第十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三例如一个工厂有四种产品，要向北京、天津、上海、重庆、武汉、沈阳六地发货。如果采用自然语言，需要具体说上很长一段话，每种产品向每个城市各发货多少。但如果采用数学语言，只要写出一个4行6列的矩阵，每行表示一种产品，每列表示一个城市，交叉点填上相应的发货数量（比如以吨为单位）。所以说，自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。第十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学语言使科学精确化。

以下三段名言是关于这个小标题很好的注释：“数学进入一门科学的程度，反映了这门科学成熟的程度。”“世界这本大书，是用数学的语言写成的。”“要是没有数学语言，宇宙几乎是不可描述的！”第十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三事实上，牛顿用数学语言展示了他的三大定律。爱因斯坦用黎曼几何的语言阐述了他的广义相对论；数学家用群论的语言解决了晶体分类的问题。经济学家用数学语言表述了经济运行的规律。物理中的布朗运动成为概率论中的语言。生物中的遗传基因DNA，原来是数学中的双螺旋线。医学上已经出现“数字化人体”的概念和实物。

现在，任何一个科学工作者要使自己的工作精确化，都必须借助于数学语言。第十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学语言是人类文明的共同语言由于数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，这就使得数学语言成为人类文明的共同语言。例如，对于数学语言（a+b）2=a2+b2+2ab和Sin2x+Cos2x=1表达的意思，任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。第十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学语言是宇宙文明的共同语言地球上不同地域的人类文明发展到某一阶段时，都各自独立地发现了“圆周长与直径的比是一个常数”，各自独立地发现了“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”。地球文明如此，宇宙文明也一定如此；于是自然地想到，数学语言能够成为宇宙文明的共同语言。第二十页，共三十二页，编辑于2023年，星期三上个世纪70年代，美国曾经发射过一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人”取得联系。为了让星外文明了解地球文明，这艘宇宙飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上各种动物、植物、微生物的照片，以及各种年龄、性别、民族的人类照片；还带去了地球上的许多声音，如狂风暴雨的声音、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈”的声音；同时还带去了刻有右边图形的黄金制作（以防锈蚀损毁）的图板。

第二十一页，共三十二页，编辑于2023年，星期三明晰这含有两个方面的意思，一是数学语言是明确的，一是数学语言是有条理的。

数学语言是精确的，是从不含糊的。

“大于”与“大于等于”的涵义，是明确不同的；“都属于集合A”与“有的属于集合A”也是明确不同的；“存在左极限”与“存在极限”也是明确不同的。§1.3.3数学语言的特点第二十二页，共三十二页，编辑于2023年，星期三数学语言又是有条理的。一段话的叙述中，先说哪个层次，后说哪个层次，是有讲究的；一个层次中，先说哪句话，后说哪句话，也是有讲究的。数学语言中必须有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”说成“果”，也不能把此“因”说成彼“因”。第二十三页，共三十二页，编辑于2023年，星期三严谨严谨，是指逻辑推理的严格和谨慎。它是数学的特点之一，也是数学语言的特点之一。

首先是定理的叙述是严谨的。例如算术基本定理叙述为：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。这里，“大于1”的条件不可少，少了就欠严谨；“有限个”三字不可少，少了就欠严谨；“（可以重复）”的注解也不可少，少了就欠严谨；“如果不计次序”的假设也不可少，少了就欠严谨。第二十四页，共三十二页，编辑于2023年，星期三其次是推理的过程是严谨的。

推理的步骤如何，应该表达清楚；每一步的理由是什么，也应该表达充分。许多数学教师在教学中强调，学生推理时应该注意“步骤完整，理由充足”八个字，是击中要害的。例如，一个推理本来应该由六步完成，你只写出了五步，缺一步，就欠严谨；某一步本来应该依据三个理由，你只写出了两个理由，缺一个，就欠严谨。如果某位学生有语言上的这种不严谨，其实是反映了他思维上的不严谨。

第二十五页，共三十二页，编辑于2023年，星期三简洁

数学语言要求简单干净。数学语言和自然语言不同。自然语言允许同义反复，为了描述某一事物的美，往往用一大串意义相近的词汇或并列的语句；为了形容一个人的聪明智慧，也常常用一大串意义相近的词汇或并列的语句。但数学语言则要求用词最少、不允许同义反复。在数学表达中，当一个语句被另一些语句蕴含着的时候，它就是多余的，一定要去掉这个语句。如果可以用三句话把意思表达清楚，就最好不要用四句话。如果可以有甲、乙两种方式叙述同一个意思，那么就最好选择用语较少的那种方式。第二十六页，共三十二页，编辑于2023年，星期三规范

自然语言当然也有约定俗成的规范性；而数学语言则更加鲜明地表现出“规范”的特点。一句话说出来，不能有任何歧义。一个词作为一个概念被定义以后，这个定义就要随着这个词贯彻始终，不能再有任何改变。第二十七页，共三十二页，编辑于2023年，星期三一些数学语言中常用的词语，都有其特定的涵义，长期以来形成了规范。例如“任一个”，“有一个”，“没有”表达的是三种不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表达的也是三种不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表达的也是三种不同的意思；“开区间”、“闭区间”、“左开右闭的区间”表达的也是三种不同的意思。再例如，“包含”是用来说明两个集合之间的关系，“属于”是用来说明元素与集合之间的关系，“包含”与“属于”不能混用。第二十八页，共三十二页，编辑于2023年，星期三“ε—δ”语言、集合论语言、公理化语言都是在不同历史时期产生的数学语言，他们在数学发展史上都发挥了很大的作用。特别是集合论语言、公理化语言，现在已经成为数学语言的核心部分和公用形式，尤其值得重视。第二十九页，共三十二页，编辑于2023年，星期三语言是思维的反映。数学语言的发展反映了人类理性思维的发展，它也是数学对人类文明的重大贡献之一。作为一个大学生，不但应该重视数学知识、数学方法、数学思想的学习，同时也应该重视数学语言的学习和训练。现在的大学生，在作业中习惯性地写出“等号成立”、“问题得证”等词语的大有人在；其实，相应的规范数学语言应该是“等式成立”和“命题得证”。第